倒易点阵

4 晶向指数与晶面指数：
• 晶体中连接基元的直线和平面分别称为 晶向和晶面，国际上通用密勒指数 (W.H.Miller)来标识晶向和晶面。
• (1) 晶向指数：从点阵坐标原点引出一条 直线，使其平行于待标识的晶向；找出 该直线上任意一点的坐标；将三个坐标 值按比例化为互质的整数并加方括号(坐 标值为负时在相应指数上加“-”号，例 如[u v w])。
(1-43)
倒易矢量及其基本性质：
• 倒易矢量：以某一倒易阵点为坐标原点 (倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点 重合)，以a*,b*,c*分别为三条坐标轴的
单位矢量建立坐标系，由倒易原点向任 意倒易阵点(倒易点)的连接矢量叫倒易矢 量，用r*HKL表示：
• r*HKL=Ha*+Kb*+Lc*
(1-47)
a2
子面为(1010)。
a2
六方晶系的四数值晶向指数[uvtw]和晶 面指数(hkil)均只有3个值是独立的：
t=-(u+v)
(1-39)
I=-(h+k)
(1-40)
5 干涉指数: 干涉指数是材料衍射分析中
常用的参数之一，它能同时标识出晶面 的空间方位和晶面间距。
将(hkl)晶面间距记为dhkl，则晶面间距 为dhkl/n (n为整数) 的虚拟晶面的晶面 指数为(nh nk nl)，记为(HKL), 称干涉 指数。
第三节 材料结构基础(二) • 一 晶体结构
• 1 空间点阵的概念：
• 结构基元：能体现晶体周期性的最小物 质结构(分子，原子，原子团等)。基元的 确定有一定的随意性。
• 晶体：结构基元在三维空间有规则排列 形成的固体。
• 将结构基元抽象为几何点(阵点)便得到一 个空间阵列(点阵)；将阵点用直线连接成 的空间格子叫晶格。
hν=ΔΕ=E2-E1
(2-1)
式中：E2为高能级能量， E1为低能级能量
• 辐射能量被吸收的程度(吸光度)与光的频 率ν或者波长λ的关系曲线称为吸收光谱。
• 不同物质的粒子能态(能级结构，能量大 小等)各不相同，因而具有表明自己独有 特征的吸收光谱。
• 通过对材料的吸收光谱分析，可以掌握 材料的成份。
• =H2a*2+K2b*2+L2c*2+2HKa*•b*
• +2HLa*•c*+2KLb*•c*
(1-49)
• 此公式为普适公式，适用于各种晶系。
立方晶系的晶面间距：
• 立方晶系中：
• a*=b*=c*=1/a； α=β=γ=90o
• 代入式(1-49)得：
• 1/d2HKL=(H2+K2+L2)/a2 • 或：
干涉指数与晶面指数：
• （HKL)= (nh nk nl)= n(hkl), 由此可知：干涉 指数可以看成是带有公约数的晶面指数。即广 义的晶面指数。将干涉指数按比例化为互质整 数时(n=1)，不论晶面间距如何，干涉指数均还 原为晶面指数(hkl)。
• 干涉指数表示的晶面不一定真有结构基元存在。 引入干涉指数的概念是为了简化实际工作过程 (如简化布拉格方程；建立倒易阵点与正点阵晶 面的对应关系等)。
空间所有相互平行(方向一致)的晶向， 其晶面指数相同，称之为晶向组。
• 将晶体中方位不同但基元排列状况相同 的所有晶向组合称为一个晶向族，用 <uvw>表示。如立方晶系的<100>族包 含6个晶向组：
<100>=[100]+[010]+[001]+[100]+[010]
+[001]
• (2) 晶面指数：找出待标识晶面在三条坐 标轴上的截距并取其倒数，将它们化为互 质的整数并加圆括号(若某截距为负，则在 相应指数上加“-”)，如(h k l)。(h k l)表示 的也不是一个晶面，而是空间所有相互平 行(方向一致)的一组晶面，称之为晶面组。
二 倒易点阵
• 1 倒易点阵的定义：
• 对于一个由点阵基矢a, b, c 定义的空间点 阵(可称为正点阵)，如果存在另一个由点 阵基矢a*,b*,c*定义的空间点阵，满足：
• a·a*=b·b*=c·c*=K(常数，通常取1）
• a·b*=a·c*=b·a*=b·c*=c·a*=c·b*=0
•
(1-42)
• 则称由a*,b*,c*所定义的点阵为a, b, c所 定义的点阵的倒易点阵。
显然，正点阵与倒易点阵互为倒易点阵。
• 正点阵的阵胞体积:
• V=a·(b×c) 即 a·(b×c)/V=1
• 由 a·a*=1(取K=1)，得：
•
a*=(b×ຫໍສະໝຸດ Baidu)/V
• 同理： b*=(c×a)/V
•
c*=(a×b)/V
• 布拉菲点阵：在既能表达点阵周期性的同 时又能表达阵胞对称性的基础上，布拉菲 通过数学方法推算出可能存在的阵胞只有 14种，所有晶体均可用这14种阵胞表达的 空间点阵来描述其基元的空间排列规则。 这14种阵胞表达的空间点阵叫布拉菲 (A.Bravais)点阵。
• 按阵胞形状特征将14种布拉菲点阵归纳为7 大晶系。
• a*=b*=c*=1/a ; α*=β*=γ*=90o
• 又 r*HKL=1/dHKL=H2+K2+L2/a , • 因此：
• cosφ=(H1H2+K1K2+L1L2)/(H12+K12+L12•
• H22+K22+L22)
(1-52)
三 晶带 • 晶体中与某一晶向[uvw]平行的所有(HKL)
• (HKL)面上任意两条不平行的直线垂直于r*HKL则 (HKL)r*HKL:
• AB•r*HKL=(1b/K-1a/H)•(Ha*+Kb*+Lc*)=0; • AC•r*HKL=(1c/L-1a/H)•(Ha*+Kb*+Lc*)=0。
• 证明2: dHKL等于(HKL)面于任意坐标轴上 的截距(如OA)在r*HKL[垂直于(HKL)]方向 的投影值：
• dHKL=a/H2+K2+L2
(1-50)
• 由此看出:d2HKL不仅与点阵常数a2有关， 而且反比于晶面干涉指数的平方和。
⑵ 晶面夹角公式：
• 两晶面(H1K1L1)和(H2K2L2)的夹角φ可用 两晶面的法线夹角来表示，也可用两晶面
对应的倒易矢的夹角表示，即：
• cos φ=r*H1K1L1•r*H2K2L2/ r*H1K1L1r*H2K2L2
• 按阵胞中阵点位置分布又分为简单阵胞(初 基阵胞)和复合阵胞(非初基阵胞)。
简单阵胞：阵胞8个角顶位置有阵点，每 一个阵点为毗邻的8个阵胞共有，因此简 单阵胞只占有1个阵点。 • 复合阵胞：除8个角顶外，在面心，体心或 底心位置还有阵点，即复合阵胞含多个阵 点。
• 参看教材P13，P14。点阵符号为相应英语 单词的首字母：P:Primary; I:In; F:Face; C:Chassis(底盘); R:Rhombus(菱形).
• =[H1H2a*2+K1K2b*2+L1L2c*2+K1H2b*•a*+
• L1H2c*•a*+H1K2a*•b*+L1K2c*•b*+
• H1L2a*•c*+K1L2b*•c*]/ r*H1K1L1r*H2K2L2
•
(1-51)
式(1-51)为普适公式，通用于各晶系。
• 对立方晶系而言，有：
• 阵胞与点阵类型：周期性和对称性是晶体 的结构基元规则排列的基本特征。
• 以某一阵点为坐标原点O，一般用三条互 不平行的，最短的阵点连线为坐标的单位 矢量，可得到一个空间坐标系(O-xyz)和 一个平行六面体(V=a×b·c),用这个平行六 面体来表述晶体结构的周期性，称之为阵 胞(晶胞)。
• a,b,c的长度称为点阵常数，b与c，c与a， 及a与b的夹角分别记为α，β，γ。
• ⑵ 如果已知晶体的点阵参数，由(1-44)可 求得相应的倒易点阵参数，从而建立其倒 易点阵；
4 晶面间距与晶面夹角公式：
• ⑴ 晶面间距公式：
• 由 r*HKL=1/dHKL知： • 1/ d2HKL=(r*HKL)2= r*HKL• r*HKL • =(Ha*+Kb*+Lc*)• (Ha*+Kb*+Lc*)
一 辐射的吸收与发射
1 辐射的吸收与吸收光谱：辐射的吸收是 指辐射通过物质时，某些频率的辐射被 组成物质的粒子(原子，离子或分子等) 选择性地吸收从而使辐射强度减弱的现
象。实质是物质粒子吸收辐射能量后由 低能级(一般为基态)向高能级(激发态) 跃迁。被吸收的光子能量等于跃迁前后 两个能级的能量差：
得：Hu+Kv+Lw=0
(1-53)
式(1-53)称为晶带定理，它表明了晶带轴指 数[uvw]与属于该晶带之晶面的晶面指数 (HKL)的关系。
注意：ruvw是晶带轴[uvw]的坐标矢量，而 r*HKL是晶面组(HKL)法线的坐标矢量(倒 易矢)。
零层倒易平面(电子衍射分析中的一个基 本概念)： • 同一晶带中的各(HKL)晶面都与晶带轴 [uvw]平行，因此它们的倒易矢r*HKL也都 处于同一组倒易平面内(该组倒易平面与 构成[uvw]晶带的各晶面垂直，同时也与 晶带轴垂直)。
晶面构成一条晶带，称为[uvw]晶带。 晶向[uvw]中过点阵坐标原点的直线称为 晶带轴，其矢量坐标表达式为：
• ruvw=ua+vb+wc • 由于同一晶带中各晶面的法线与晶带轴垂
直，也就是各晶面的倒易矢r*HKL与晶带轴 垂直，因此有：
• ruvw•r*HKL=0
由：ruvw•r*HKL= (ua+vb+wc)•(Ha*+Kb*+Lc*)=0
• 两式联解得：u:v=(K1L2-K2L1):(L1H2-L2H1)
• 和：v:w=(L1H2-L2H1):(H1K2-H2K1)
• 两式连比得：
u:v:w= (K1L2-K2L1):(L1H2-L2H1) :(H1K2-H2K1)
•
(1-54)
第二章 电磁辐射与材料的相互作用
• 当电磁辐射与材料相互作用时，会产生辐 射的吸收，发射，散射和光电离等现象， 他们是材料现代分析方法的主要技术基础。
2 辐射的发射与发射光谱
• 辐射的发射是指物质吸收辐射能量后产 生电磁辐射的现象。实质是物质粒子吸 收能量被激发到高能态后，经过短暂停 留(10-8-10-4s)，再返回基态(或低能态)， 多余的能量以电磁辐射的形式释放出来。
• 将晶体中方位不同但原子排列状况相同的 所有晶面组合称为一个晶面族, 用{hkl}表示。
• 例如立方晶系的 {111}=(111)+(111)+(111)+(111)+(111)
• +(111)+(111)+(111)
• 立方系中，凡指数相同的晶向与晶面均相 互垂直，如[110](110), [211](211)等。
• 过倒易坐标原点O*的倒易平面称为零层 倒易平面。
H1K1L1
(H1K1L1) (H2K2L2)
H2K2L2
已知同一晶带俩晶面指数求晶带轴指数：
• 已知：[uvw]晶带中任意两个晶面指数(H1K1L1)和 (H2K2L2)，由晶带轴定理得：
•
H1u+K1v+L1w=0
•
H2u+K2v+L2w=0
• 式中(H,K,L)为倒易点的坐标值。
r*HKL的基本性质：
• rr**HHKKLL垂 等直 于于(H正KL点)的阵面中间相距应d的HK(LH的K倒L)数晶。面, 其长度 • 证明1 : 正点阵中 某一(HKL)晶面与三条坐标轴
的交点为A(1/H, 0, 0); B(0, 1/K, 0); C(0, 0, 1/L)。
3 晶体结构与空间点阵：
• 将空间点阵的阵点复原为结构基元，便 得到晶体结构，即：
• 晶体结构=空间点阵+结构基元。
• 此式为概念表达式，晶体结构不止是结 构基元的简单堆砌，基元与基元之间在 结构上是不可分的。
• 由于结构基元是无穷尽的，因而晶体结 构也是无限的(同一点阵结构因不同基元 而构成不同晶体)。
• OA•r*HKL=dHKLr*HKL= • (a/H+1/K+1/L)•(Ha*+Kb*+Lc*)=1,
• 即： r*HKL=1/dHKL • dHKL=1/r*HKL
(1-48)
r*HKL的两个说明： • ⑴ 一个阵点指数为HKL的倒易点对应正
点阵中一组(HKL)面，(HKL)的方位与晶 面间距由该倒易点相应的r*HKL决定；同样， 正点阵中每一(HKL)对应一个倒易点，该 倒易点在倒易点阵中的坐标(可称为阵点 指数)即为HKL。
(3) 六方晶系晶向指数与晶面指数：除用
密勒指数标识外，根据六方晶系的对称性
特点，还可以采用四轴定向方法标识，称
为密勒-布拉菲指数。
• 以a1,a2,a3和c为坐标轴单
c
位矢量建立四轴坐标系
(O-a1,a2,a3,c),按密勒标 a3 识方法可得到四数值的
晶向指数[uvtw]和晶面指
数(hkil)。如图示绿色原