高中数学选修2-1知识点总结及其应用(最全)
人教版高中 数学选修二 全册知识点 归纳总结3篇

人教版高中数学选修二全册知识点归纳总结第一篇:数学选修二必修内容详解第一章函数及其应用1.函数及其概念:定义域、值域、图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性等2.函数的运算:加法、减法、乘法、除法、复合函数、反函数等3.函数的应用:函数模型、函数方程、函数关系、函数表示、函数求值等第二章三角函数1.三角函数的基本概念:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割2.三角函数的相互关系:借助单位圆解释正弦、余弦函数,借助正切函数解释余割、正割函数3.三角函数的简单运算:倍角公式、半角公式、和差公式、化简公式、合并公式、差积定理等4.三角函数的应用:角度关系、角度测量、三角函数图像、三角函数方程、三角函数求解等第三章解析几何1.二维平面直角坐标系的基本概念:点、直线、圆等2.二维坐标系中的直线方程:斜截式、截距式、一般式、交点式等3.圆的相关概念:圆的标准方程、圆的一般方程、圆心、半径、切线等4.解析几何的应用:确定方程、矢量运算、空间几何、曲线分析等第四章微积分1.导数及其基本概念:导数定义、导数运算、高阶导数、柯西—罗尔定理等2.微积分基本定理:牛顿—莱布尼茨公式、区分反函数、定积分、不定积分等3.微积分应用:函数极值、函数图像分析、相关变化率、微分方程、微积分定理等以上是数学选修二的必修内容,掌握这些知识点,能够帮助学生扎实掌握高中数学基本概念和方法,为进一步发展数学能力打下基础。
第二篇:数学选修二选修内容详解第五章数列及其应用1.数列的概念:等差数列、等比数列等2.数列的性质:通项公式、求和公式、收敛性、发散性等3.数列的应用:数学归纳法、数列问题的解答、计算器计算数列等第六章概率论与数理统计1.随机事件及其概率:基本概念、事件关系、样本空间等2.概率分布及其函数:二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等3.抽样分布及其统计推论:抽样中心极限定理、参数估计、假设检验等4.应用:概率模型、统计图表、数据分析、随机模拟等第七章矩阵论与线性代数1.基本知识:矩阵基本运算、行列式、逆矩阵、秩等2.线性方程组:高斯消元法、矩阵表示、特解、齐次线性方程组、基础解系等3.特征值和特征向量:特征方程、特征值、特征向量、对角化、相似变换等4.应用:向量分析、投影、方程求解、几何变换、矩阵算法等以上是数学选修二的选修内容,掌握这些知识点,能够帮助学生进一步拓展数学领域,学会使用不同的数学方法解决实际问题。
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1

浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量,是平面几何与立体几何中研究的重要数量.空间距离的求解是高中数学的重要内容,也是历年高考考查的重点和热点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中,要充分利用图形的特点和概念的内在联系,做好各种距离间的相互转化,从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容,也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括:(1)两点之间的距离;(2)点到直线的距离;(3)点到平面的距离;(4)两条异面直线的距离;(5)与平面平行的直线到平面的距离;(6)两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法,难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段,异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功,否则这种方法很难运用自如,因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法,使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦,使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法:1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中,用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊,便于建立空间直角坐标系,可写出两点的坐标,然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时,通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点,直线是此顶点所对的一条边,利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形(或等边三角形)、直角三角形、一般三角形三类,最关键的步骤是算出三角形的面积,然后用等面积法计算即可。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理)巩固练习重点题型(常考知识点命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件和结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,能判断四种命题的真假;3.能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.要点诠释:1.不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“x>2”,“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起立”、“π是有理数吗?”、“今天天气真好!”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p,则q”的形式,或“如果p,那么q”的形式.其中p是命题的条件,q是命题的结论.要点诠释:1.一般地,命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么,因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题:“若p,则q”;逆命题:“若q,则p”;实质是将原命题的条件和结论互相交换位置;. 否命题:“若非 p ,则非 q ”,或“若 ⌝p ,则 ⌝q ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定;逆否命题:“若非 q ,则非 p ”,或“若 ⌝q ,则 ⌝p ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释:对于一般的数学命题,要先将其改写为“若 p ,则 q ”的形式,然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释:(1)互为逆否命题的两个命题同真同假;(2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一:命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题(1)末位是 0 的整数能被 5 整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(△4)ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;(5)余弦函数是周期函数吗?【思路点拨】依据命题的定义判断。
高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)

数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =',即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。
容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=;2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1(或0n )时成立,这是递推的基础;B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修2-1知识点高二

高中数学选修2-1知识点高二在高中数学选修2-1课程中,学生将会学习一系列关于函数和三角函数的知识。
这些知识点对于高二学生来说是非常重要的,因为它们在未来的学习和应用中起着关键的作用。
本文将详细介绍高中数学选修2-1的知识点,旨在帮助学生更好地理解并掌握这些内容。
知识点一:函数函数是数学中的基本概念之一,也是高中数学的核心内容之一。
在高中数学选修2-1中,我们将会学习函数的定义、性质和运算规则等方面的内容。
函数的定义:函数是一种对应关系,它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素上。
一个函数可以用以下形式表示:f(x) = y,其中x是自变量,y是对应的因变量。
函数的性质:函数有一些基本性质,比如定义域、值域、单调性和奇偶性等。
理解这些性质可以帮助我们更好地分析和描述函数的特点。
函数的运算规则:在高中数学选修2-1中,我们还将学习函数的四则运算和复合运算。
这些运算规则可以帮助我们简化函数表达式,并进行函数的组合和拆分等操作。
知识点二:三角函数三角函数是数学中又一个重要的概念,它在几何学和物理学等领域具有广泛的应用。
在高中数学选修2-1中,我们将会学习正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的性质和应用等方面的内容。
正弦函数:正弦函数是一个周期性函数,它的图像表现为一条波浪线。
正弦函数的定义域是全体实数,值域是闭区间[-1,1]。
理解正弦函数的性质和变化规律,可以帮助我们在几何学中解决三角形相关的问题。
余弦函数:余弦函数也是一个周期性函数,它的图像与正弦函数非常相似,只是在垂直方向上有所平移。
余弦函数的性质和应用在物理学中有着广泛的应用,比如描述物体在弹簧的作用下的运动等。
正切函数:正切函数是一个奇函数,它的图像表现为一条无穷的曲线。
正切函数有一些特殊的性质,比如在某些点上它的值是无穷大,这在解决一些特殊的几何问题时非常有用。
知识点三:函数的图像与变换在高中数学选修2-1中,我们还将学习函数的图像与变换等方面的内容。
高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结学好立几并不难,空间想象是关键。
点线面体是一家,共筑立几百花园。
点在线面用属于,线在面内用包含。
四个公理是基础,推证演算巧周旋。
下面是为大家整理的关于高中立体几何知识点总结,希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高中立体几何知识点总结1点在线面用属于,线在面内用包含。
四个公理是基础,推证演算巧周旋。
空间之中两条线,平行相交和异面。
线线平行同方向,等角定理进空间。
判定线和面平行,面中找条平行线。
已知线与面平行,过线作面找交线。
要证面和面平行,面中找出两交线,线面平行若成立,面面平行不用看。
已知面与面平行,线面平行是必然;若与三面都相交,则得两条平行线。
判定线和面垂直,线垂面中两交线。
两线垂直同一面,相互平行共伸展。
两面垂直同一线,一面平行另一面。
要让面与面垂直,面过另面一垂线。
面面垂直成直角,线面垂直记心间。
一面四线定射影,找出斜射一垂线,线线垂直得巧证,三垂定理风采显。
空间距离和夹角,平行转化在平面,一找二证三构造,三角形中求答案。
引进向量新工具,计算证明开新篇。
空间建系求坐标,向量运算更简便。
知识创新无止境,学问思辨勇攀登。
多面体和旋转体,上述内容的延续。
扮演载体新角色,位置关系全在里。
算面积来求体积,基本公式是依据。
规则形体用公式,非规形体靠化归。
展开分割好办法,化难为易新天地。
高中立体几何知识点总结2三角函数。
注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。
1.证明一个数列是等差(等比)数列时,最后下结论时要写上以谁为首项,谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时,如果一端是常数,另一端是含有n的式子时,一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子,一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时,当n=k+1时,一定利用上n=k时的假设,否则不正确。
利用上假设后,如何把当前的式子转化到目标式子,一般进行适当的放缩,这一点是有难度的。
简洁的方法是,用当前的式子减去目标式子,看符号,得到目标式子,下结论时一定写上综上:由①②得证;3.证明不等式时,有时构造函数,利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系,一般不需要去建系,更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时,要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。
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高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章:会合与函数观点1、会合三因素:确立性、互异性、无序性。
2、常有会合:正整数会合:N*或N,整数会合:Z ,有理数会合: Q,实数会合: R.3、并集 . 记作:A B.交集.记作: A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B);A B B B A;简略逻辑:或:有真为真,全假为假。
且:有假为假,全真为真。
非:真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题:若 P则 q;抗命题:若q 则 p;否命题:若┑ P 则┑q;逆否命题:若┑ q 则┑ p。
常用变换:① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证:x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集,假如依据某种确立的对应关系 f ,使对于会合A中的随意一个数 x ,在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应,那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数,记作: y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零,底大于零不等于1值域:利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值,6、函数单一性:(1)定义法:设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数;f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤:取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法:设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,若f (x) 0 ,则f ( x)为增函数;若f ( x)0 ,则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数:f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数,则y f x 在区间,0 上也是递加函数.若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数,则yf x 在区间 ,0 上是递减函数.函数的几个重要性质:① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R , 都 有f ax f ax 或 f ( 2a-x ) =f ( x ),那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称;函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称;函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ;② ( x n )' nx n 1 ;③ (sin x) ' cos x ; ④ (cos x) ' sin x ; ⑤ ( a x ) 'a xln a ; ⑥ ( e x) 'e x; ⑦ (log a x)'1 ;⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例( 1) (u v)'u ' v '.( 2) (uv)' u 'v uv ' .( 3) ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用:1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 :函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ,相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程,设切点为x 1, y 1 ,则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ,再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义:极值是在 x 0 邻近全部的点,都有f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值;极值是在 x 0 邻近全部的点,都有 f ( x) > f (x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法:①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) > 0,右边 f ' (x) < 0,那么 f ( x 0 ) 是极大值;②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) < 0,右边 f ' (x) > 0,那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值(极大或许极小值)(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较,此中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

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④若 a = b , b = c ,则 a = c ; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数是( )
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中,必有 AC = A 1 C1 ;
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A.4 B.3 C.2 D.1 解:C. 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,由于向量可以平移,故两个向量相 等,不一定有起点相同、终点相同,故命题①错误;两个向量的模长相等,两个向量不一定相等,还要 考虑方向因素,故命题②错误;命题③④正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为 1 , 但是方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错. 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中,下列各式运算结果为 BD 1 的是(
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
(3)因为 M 是 AA 1 的中点,所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
人教A版高中数学选修2-1课件:3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系

探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
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【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
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(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.
高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结1高考数学解答题部分主要考查七大主干知识:第一,函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二,*面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。
第三,序列及其应用。
这部分是高考的重点和难点部分,主要产生一些综合题。
第四,不平等。
本文主要考察不等式的解法和证明,很少单独考察,主要是通过解题中的大小比较。
是高考的重点和难点。
第五,概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。
第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明*行或垂直,求角和距离。
第七,解析几何。
是高考的难点,计算量大,一般包含参数。
高考数学基础知识的考查全面,突出重点。
扎实的数学基础是成功解题的关键。
鉴于数学高考对基础知识和基本技能的强调,必须全面系统地复习高中数学基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、规律、公式,形成记忆和技能。
以恒变。
数学思想方法考试是在更高层次上对数学知识的抽象和概括的考试,是与数学知识相结合的。
对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用**的数学观点**材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。
在临近高考的数学复习中,考生们更应该从三个层面上整体把握,同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修,可归纳为12个章节,75个知识点细化为160个小知识点,而这些知识点又是纵横交错,互相关联,是“你中有我,我中有你”的。
高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结高中数学是一门重要的学科,对于我们的逻辑思维和解决问题的能力培养具有重要意义。
以下是对高中数学必修和选修的全部知识点进行的精华归纳总结。
一、集合与函数(一)集合1、集合的概念:一些确定的、不同的对象构成的整体。
2、集合的表示方法:列举法、描述法、韦恩图。
3、集合的运算:交集、并集、补集。
(二)函数1、函数的概念:设 A、B 是非空数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的三要素:定义域、值域、对应法则。
3、函数的性质单调性:设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂,当 x₁<x₂时,都有 f(x₁)<f(x₂)(或 f(x₁)>f(x₂)),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数)。
奇偶性:设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域 D 内任意一个x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域 D 内任意一个 x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数。
二、基本初等函数(一)指数函数1、指数函数的概念:函数 y=a^x(a>0 且a≠1)叫做指数函数。
2、指数函数的图象和性质(二)对数函数1、对数函数的概念:函数y=logₐx(a>0 且a≠1)叫做对数函数。
2、对数函数的图象和性质(三)幂函数1、幂函数的概念:形如y=x^α(α 为常数)的函数叫做幂函数。
2、常见幂函数的图象和性质三、立体几何(一)空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积(二)点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质2、空间中直线与直线的位置关系3、空间中直线与平面的位置关系4、空间中平面与平面的位置关系四、平面解析几何(一)直线与方程1、直线的倾斜角和斜率2、直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
人教课标版高中数学选修2-1:《空间向量的数量积运算》教案-新版

3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标(一)核心素养通过本节课的学习,同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律,能借助图形进行空间向量的运算,并通过空间几何体加深对运算的理解.会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模,并能熟练应用于立体几何证明与求值.(二)学习目标1.了解向量夹角的定义,掌握空间向量数量积的运算法则及运算律.2.掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法.3.培养学生数形结合的思想和空间想象能力,并能解决向量的综合问题.(三)学习重点1.空间向量的数量积运算法则及运算律.2.空间向量的模长公式和夹角公式.3.空间向量数量积在立体几何中的应用.(四)学习难点1.利用空间向量的数量积求模与夹角.2.将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第90页至第91页,填空: 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则AOB ∠叫做向量a ,的夹角,记作><,. 如果2,π>=<,那么向量,互相垂直,记作⊥. 已知两个非零向量,,则><b a b a ,cos ||||叫做,的的数量积,记作⋅. 零向量与任何向量数量积为0. 特别地,⋅=><,cos ||||2||=.(2)写一写:和平面向量类似,空间向量的数量积满足哪些运算律? ①数乘结合律:)()(b a b a ⋅=⋅λλ, ②交换律:⋅=⋅, ③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.和平面向量类似,空间向量的数量积有哪些性质? ①若为单位向量,则⋅=><,cos ||; ②若,⊥⇔⋅0=; ③==a ||;④若,为非零向量,则>=<,cos ||||a ba b ⋅; ⑤||||||≤⋅(当且仅当a ,b 共线时等号成立). 2.预习自测(1)已知向量,满足:3||=,2||=,⋅6-=,则>=<,( )A .0B .3πC .2πD .π 【知识点】空间向量的夹角公式.【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ,∴>=<b a ,π.【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式.【答案】D .(2)在正三棱柱111C B A ABC -中,若12BB AB =,则1AB 与B C 1所成角的大小为()A . 60B . 90C . 75D . 105【知识点】空间向量的垂直.【解题过程】设m BB =||1,则m AB 2||=,∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ,故1AB 与B C 1所成角的大小为 90.【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0.【答案】B .(3)在平行六面体1111D C B A ABCD -中,4=AB ,3=AD ,51=AA , 90=∠BAD ,6011=∠=∠DAA BAA ,则=||1AC .【知识点】空间向量的模长. 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=,故=||1AC 85.【思路点拨】利用空间向量的模长公式,转化为数量积的运算. 【答案】85.(4)已知线段AB ,BD 在平面α内,AB BD ⊥,线段α⊥AC ,且a AB =,b BD =,c AC =,则C ,D 间的距离为 .【知识点】空间向量的模长. 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=,故C ,D 间的距离为222c b a ++.【思路点拨】利用空间向量的模长公式,转化为数量积的运算. 【答案】222c b a ++.(二)课堂设计1.知识回顾(1)空间向量线性运算法则和运算律;(2)共线向量定理的两种表达形式;(3)共面向量定理的两种表达形式.2.问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过,两个非零向量a r ,b r 一定是共面向量.那在平面向量中,我们是怎样定义两个向量的夹角的呢?(抢答) 已知两个非零向量,,在空间任取一点O ,作OA a =uu r r ,OB b =uu u r r ,则AOB ∠叫做向量,的夹角,记作><,.如果2,π>=<,那么向量,互相垂直,记作⊥.也就是说,两个空间向量夹角的定义与平面向量一致.【设计意图】两个非零向量一定是共面,因此向量夹角的概念自然地从平面到空间,让学生体会概念的类比过程,为数量积的定义作好准备.●活动② 巩固理解,深入探究同样的,那数量积的定义呢?(抢答) 已知两个非零向量a ,b ,则><,cos ||||叫做a ,b 的的数量积(inner product ),记作a b ⋅r r .零向量与任何向量数量积为0.特别地,2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r .【设计意图】通过抢答,使学生深入探究,进而得到数量积定义.●活动③ 深入探究,发现规律和平面向量类似,空间向量的数量积满足哪些运算律?(抢答) ①数乘结合律:)()(⋅=⋅λλ, ②交换律:⋅=⋅, ③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.【设计意图】类比平面向量,得出空间向量数量积的运算律,理解更加深入.探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究,研究性质和平面向量类似,空间向量的数量积有哪些性质?(抢答) ①若为单位向量,则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ;(解释:1||=,转化为投影) ②若,为非零向量,则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ;(解释:,cos 022a b ππ<>==r r ,)③||==;(解释:,0cos 01a b <>==r r ,) ④若,为非零向量,则||||,cos b a b a >=<;(解释:定义的变形式) ⑤||||||≤⋅(当且仅当,共线时等号成立).(解释:,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ,)【设计意图】通过类比,得到空间向量数量积的各种性质,并给予合理解释,突破难点. ●活动② 巩固理解,深入探究以上五个性质中,大家认为最重要的有哪些,它们有什么作用?(抢答)第②条,0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ,可用于证明空间向量垂直;第③条,||=,是空间向量的模长公式;第④条,||||,cos b a b a >=<,是空间向量的夹角公式.【设计意图】让学生进行思考,在深刻理解性质的同时,指出公式的作用,为后面的计算打好基础.探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习,由于两个向量必然共面,所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致.同时,我们理解了数量积的三个重要应用是?(抢答)模长、垂直、夹角.它们都是向量a ,b 的二次运算,是非线性的.【设计意图】通过学生归纳知识点和定理,培养学生数学对比、归类、整理意识. ●活动② 互动交流、初步实践例1 设,,是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题中:①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ;②=||22a b b a =r r r r ; ④22||4||9)23()23(-=-⋅+.正确的是( )A .①②B .②③C .③④D .②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律.【数学思想】转化思想.【解题过程】向量的数量积不满足结合律,所以①不正确;由向量的数量积的定义知,②正确;,不一定共线,向量不一定相等,所以③不正确;利用数量积的运算律,④正确.【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律.【答案】D .同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E ,F ,G 分别为AB ,AD ,DC 的中点,则以下运算结果为2a 的是( )A .⋅2B .⋅2C .CA FG ⋅2D .CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】由已知可得3,π>=<, 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π. 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算.【答案】B .【设计意图】通过空间几何体中的向量,让学生对数量积的定义和运算更加熟练. 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中,OB =OC ,且3π=∠=∠AOC AOB ,则><BC OA ,cos 的值为( )A .0B .21C .22D .23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】设a OA =,b OB =,c OC =,由已知得3,,π>=>=<<,且||||=. 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=, 所以0||||,cos =>=<BC OA .【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长.【答案】A .同类训练 已知空间向量,,两两夹角为 60,其模都为1,则|2|+-等于( )A .5B .5C .6D .6【知识点】空间向量的模长公式.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵1||||||===c b a , 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ,∴21=⋅=⋅=⋅, ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=, ∴|2|+-5=. 【思路点拨】先计算⋅,⋅,⋅,再利用模长公式展开计算.【答案】A .【设计意图】运用向量的夹角和模长公式,学生对数量积的运算更加熟练,基础更加牢固. ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ,P A 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是P A 在平面α内的射影,α⊂l 且OA l ⊥,求证:PA l ⊥.【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】取直线l 的方向向量,同时取向量PA ,,∵OA l ⊥,∴0=⋅.∵α⊥PO ,且α⊂l ,∴PO l ⊥,∴0=⋅. 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=,∴PA l ⊥.【思路点拨】将向量用,来表示,从而利用数量积解决垂直问题.这是三垂线定理的向量证法,同理也可用来证明:若PA l ⊥,则OA l ⊥.【答案】见解题过程.同类训练 已知m ,n 是平面α内的两条相交直线,如果m l ⊥,n l ⊥,求证:α⊥l .【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】在α内任作一直线g ,分别在l ,m ,n ,g 上取非零向量l ,m ,,. ∵m 与n 相交,∴向量,不平行,由向量共面的充要条件知,存在唯一的有序实数对),(y x ,使y x +=. ∵0=⋅m l ,0=⋅n l ,∴y x ⋅+⋅=⋅0=,即g l ⊥.∴l 垂直于α内的任意直线,∴α⊥l .【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为,的线性组合,从而利用数量积证明0=⋅g l ,再由线面垂直的定义可证.这是线面垂直判定定理的向量证法.【答案】见解题过程.【设计意图】垂直问题的证明是常见题型,通过数量积的计算,避免了立体几何中辅助线的添加,极大地降低了难度.3. 课堂总结知识梳理(1)已知两个非零向量,,在空间任取一点O ,作=,=,则AOB ∠叫做向量,的夹角,记作><,.如果2,π>=<b a ,那么向量,互相垂直,记作⊥. (2)已知两个非零向量,,则><,cos ||||叫做,的的数量积(inner product ),记作⋅.零向量与任何向量数量积为0.特别地,⋅=><,cos ||||2||=.空间向量的数量积满足的运算律有:①数乘结合律:)()(⋅=⋅λλ,②交换律:⋅=⋅,③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.(3)空间向量的数量积的性质有:①若e 为单位向量,则a e ⋅=><,cos ||;②若a ,b 为非零向量,则a b ⊥⇔a b ⋅0=;③||==a ,b 为非零向量,则||||,cos b a >=<;⑤||||||≤⋅(当且仅当,共线时等号成立).重难点归纳(1)空间向量的数量积是向量的二维计算,是三个实数的乘积,不满足结合律.(2)空间向量的数量积主要解决向量的垂直,模长和夹角问题,在立体几何中应用非常广泛.(三)课后作业基础型 自主突破1.下列命题中正确的是( )A .222)(⋅=⋅ B .||||||≤⋅C .)()(⋅⋅=⋅⋅D .若)(-⊥,则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】对于A 项,><=⋅,cos )(222222≤,故A 错误;对于C 项,数量积不满足结合律,故C 错误;对于D 项,有0)(=-⋅,所以⋅=⋅,但不一定等于0,故D 错误.B 项是数量积的性质.【思路点拨】深刻理解各种概念和运算.【答案】B . 2.已知,为单位向量,其夹角为 60,则=⋅-)2(( )A .1-B .0C .1D .2【知识点】向量数量积的运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵1||||==,>=<, 60, ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= .【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则.【答案】B . 3.在三棱锥BCD A -中,2===AD AC AB , 90=∠BAD , 60=∠BAC ,则=⋅( )A .2-B .2C .32-D .32 【知识点】空间向量数量积的运算.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=.【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A .4.在三棱锥ABC D -中,已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=,则ABC ∆是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ,∴22||||AC AB =,即AC AB =.【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形.【答案】B .5.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若+=与的夹角 为 .【知识点】空间向量的夹角.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵+=,∴点O 是BC 中点,故BC 为直径,根据圆的性质,有 90=∠BAC ,即<AB ,> 90=.【思路点拨】利用几何性质,点O 是BC 中点,BAC ∠是直角所对的圆周角.【答案】 90. 6.已知,,中每两个向量的夹角都是3π,且4||=a ,6||=b ,2||=c ,试求出||++的值.【知识点】向量模长公式.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=,∴||++10=. 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算.【答案】10.能力型 师生共研7.已知23|=a ,4|=b ,+=,λ+=,43,π>=<,若⊥, 则=λ .【知识点】向量垂直与数量积的关系. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵⊥,∴0=⋅,即⋅+)(0)(=+λ,则0)1(22=⋅+++λλ,即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ,∴064=+λ,23-=λ. 【思路点拨】利用向量垂直的性质,列出方程求解.【答案】23-. 8.直三棱柱111C B A ABC -中, 90=∠BCA ,M ,N 分别是11B A ,11C A 的中点,1CC CA BC ==,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A .101 B .52 C .1030 D .22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设=.=,CC =1,1||||||===,∴0=⋅=⋅=⋅,∵BM +=,+=,∴BM ⋅432=+=,又∵26||=BM ,25||=AN ,∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=. 【思路点拨】将与用.,表示,再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值.【答案】C .探究型 多维突破9.在正三棱柱111C B A ABC -中,若侧面对角线11BC AB ⊥,求证:11AB C A ⊥. 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设=,=,BB =1,m ==||||,n =||, ∵11BC AB ⊥,且11BB AB AB +=+-=,=1BC +, ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ,∴222n m =, ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ,∴11AB C A ⊥. 【思路点拨】将1AB ,1BC ,C A 1用,,表示,再把垂直关系与数量积为零进行转化. 【答案】见解题过程.10.三棱柱111 C B A ABC -中,2221===AC AB AA , 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ,在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11?若存在,试确定O 点的位置;若不存在,说明理由.【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设a AB =,b AC =,AA =1,假设存在点O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11,不妨设n BB m +=1,则)(n m -+=m n n ++-=,而+=m n n ++-=)1(,∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=, 要使⊥O A 1平面C C BB 11,只需⊥O A 11BB ,⊥O A 1BC ,即01=⋅A ,0)(1=-⋅A , ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ,])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅,解得43=m ,21=n ,+=O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11.【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1,利用垂直条件列式解出m ,n 的值,从而确定点O 的位置.【答案】见解题过程.自助餐1.下列命题中,①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ;③⋅+=+⋅)()(;④a b b a 22=. 其中真命题的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个【知识点】向量数量积的概念和运算. 【数学思想】转化思想.【解题过程】①②③正确,④不正确,因为与的方向不一定相同,故不一定相等. 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算. 【答案】C .2.已知向量,满足2||=,2||=,且与-2互相垂直,则>=<, .【知识点】向量数量积的运算,夹角公式. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵与a b -2互相垂直,∴0)2(=-⋅,即022=-⋅,∴2=⋅b a ,∴22||||,cos =>=<b a ,故 45,>=<b a . 【思路点拨】先求出b a ⋅,再利用向量夹角公式.【答案】 45.3.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足0=⋅,0=⋅,0=⋅,则BCD ∆( )A .是钝角三角形B .是锐角三角形C .是直角三角形D .无形状不确定【知识点】数量积定义的应用.【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=,∴0||||,cos >>=<BD BC ,故CBD ∠为锐角,同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角. 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定. 【答案】B .4.已知a ,b 是两异面直线,A ,a B ∈,C ,b D ∈,b AC ⊥,b BD ⊥,且2=AB ,1=CD ,则直线a ,b 所成的角为( ) A . 30B . 60C . 90D . 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵++=,∴⋅++=⋅)(12==,故21||||,cos =>=<CD AB ,即 60,>=<CD AB . 【思路点拨】先求出⋅,再利用向量夹角公式. 【答案】B .5.在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ,B ,AC ,BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段,且4=AB ,6=AC ,8=BD ,则CD 的长为 . 【知识点】向量模长的计算. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵++=,∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=,∴292||=CD .【思路点拨】将拆分成已知长度的向量,再使用向量模长公式. 【答案】292.6.在长方体1111D C B A ABCD -中,设11==AA AD ,2=AB ,P 是11D C 的中点,则C B 1与A 1所成角的大小为 .【知识点】向量夹角公式的运用. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=,由题意得211==C B PA ,则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ,故 60,11>=<P A C B . 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式,关键是计算出A B 11⋅.【答案】 60.。
高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质

椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1.椭圆的定义【知识点的认识】1.椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆,其中,这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距.2.椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e=(0<e<1,其中a是半长轴,c是半焦距)的点的轨迹叫做椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线,常数e 叫椭圆的离心率.3.注意要点椭圆第一定义中,椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|=2a}.(1)当2a>|F1F2|时,动点P的轨迹是椭圆;(2)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;(3)当2a<|F1F2|时,动点P没有运动轨迹.【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹,需注意椭圆定义中的限制条件:只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a>|F1F2|时,其轨迹才为椭圆.1.根据定义判断动点轨迹例:如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆分析:根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出|MP|=|PF|,进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹.解答:由题意知,CD是线段MF的垂直平分线.∴|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),又显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.故选A点评:本题主要考查了椭圆的定义的应用.考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用.2.与定义有关的计算例:已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为,则点P到右准线的距离为()A.2B.2C.5D.3分析:先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离,再用第二定义求出点P到右准线的距离d.解答:由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=,离心率e=,再由椭圆的第二定义得=e=,∴点P到右准线的距离d=5,故选C.点评:本题考查椭圆的第一定义和第二定义,以及椭圆的简单性质.例题精讲椭圆的定义例1.'点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=的距离的比是常数,求M的轨迹.'例2.'已知P为⊙B:(x+2)2+y2=36上一动点,点A(2,0),线段AP垂直平分线交直线BP于点Q,求点Q的轨迹方程.'例3.'已知△ABC 的周长等于18,B 、C 两点坐标分别为(0,4),(0,-4),求A 点的轨迹方程.'椭圆的标准方程知识讲解1.椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式:(1)(a >b >0),焦点在x 轴上,焦点坐标为F (±c ,0),焦距|F 1F 2|=2c ;(2)(a >b >0),焦点在y 轴上,焦点坐标为F (0,±c ),焦距|F 1F 2|=2c .两种形式相同点:形状、大小相同;都有a >b >0;a 2=b 2+c 2两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.标准方程(a >b >0)中心在原点,焦点在x 轴上(a >b >0)中心在原点,焦点在y 轴上图形顶点A(a ,0),A ′(﹣a ,0)B (0,b ),B ′(0,﹣b )A (b ,0),A ′(﹣b ,0)B (0,a ),B ′(0,﹣a )对称轴x 轴、y 轴,长轴长2a ,短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴,长轴长2a ,短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)F 1(0,﹣c ),F 2(0,c )焦距|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2﹣b 2|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2﹣b 2离心率e =(0<e <1)e =(0<e <1)准线x =±y =±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上,长轴长为12,离心率为,求椭圆的标准方程.'例2.'写出适合下列条件的曲线方程:(1)求椭圆的标准方程.(2)已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1,F 2距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.'椭圆的性质知识讲解1.椭圆的性质【知识点的认识】1.椭圆的范围2.椭圆的对称性3.椭圆的顶点顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标(如上图):A1(﹣a,0),A2(a,0),B1(0,﹣b),B2(0,b)其中,线段A1A2,B1B2分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即:e=,且0<e<1.②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:e越大越接近1,椭圆越扁平,相反,e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当a=b时,c=0,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.5.椭圆中的关系:a2=b2+c2.例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程:(1)椭圆的焦点在y轴上,焦距为4,且经过点A(3,2);(2)双曲线的焦点在x轴上,右焦点为F,过F作重直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=3,离心率为.'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,-3).(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ是椭圆C的弦,O是坐标原点,OP⊥OQ,已知直线OP的斜率为,求点Q的坐标.'例3.'如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)若M点为右准线上一点,B为左顶点,连接BM交椭圆于N,求的取值范围;(3)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A)证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若,求k的值;(Ⅲ)求四边形AEBF面积的最大值.'练习2.'椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),点P(1,)在椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O,求△ABM的面积.'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ:上一动点,若|PF|的最小值为1,椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)当PF⊥x轴且点P在x轴上方时,设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M,N,若PF平分∠MPN,则直线l的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为(2,0),离心率为,直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设点C(1,1),当△ABC的面积为1时,求实数m的值.'练习5.'已知椭圆Γ:,B1,B2分别是椭圆短轴的上下两个端点,F1是椭圆的左焦点,P是椭圆上异于点B1,B2的点,若△B1F1B2的边长为4的等边三角形.(1)写出椭圆的标准方程;(2)当直线PB1的一个方向向量是(1,1)时,求以PB1为直径的圆的标准方程;(3)设点R满足:RB1⊥PB1,RB2⊥PB2,求证:△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值.'练习6.'已知曲线Γ:=1的左、右顶点分别为A,B,设P是曲线Γ上的任意一点.(1)当P异于A,B时,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1∙k2是定值;(2)设点C满足=λ(λ>0),且|PC|的最大值为7,求λ的值.'练习7.'已知椭圆C:的左、右焦点分别是E、F,离心率,过点F的直线交椭圆C于A、B两点,△ABE的周长为16.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为原点,圆D:(x-3)2+y2=r2(r>0)与椭圆C交于M、N两点,点P为椭圆C 上一动点,若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点,求证:|OG|∙|OH|为定值.'练习8.'已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)问:是否存在过点M(0,2)的直线l,使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N(-1,0),若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.'练习9.'已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,直线l:y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,A为椭圆C的左顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当△AMN的面积为时,求1的方程.'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点,且过点M(2,1)的椭圆的方程.'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=6,e=;(2)焦点在y轴上,c=3,e=.'练习12.'已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(-1),求椭圆方程.'。
数学选修2-1总结

数学选修2-1总结数学选修2-1总结数学选修2-1是高中数学课程中的一门重要课程,主要涵盖了数列与函数、概率与统计两个部分。
通过学习这门课程,我们能够进一步巩固和拓展数学的基础知识,并培养我们的数学思维能力和解决问题的能力。
以下是对数学选修2-1内容的总结。
第一部分:数列与函数数列与函数是高中数学中非常重要的主题,本部分主要包括数列及其运算、数列的通项公式与递推关系、数列的极限、一次函数与二次函数、指数函数与对数函数以及三角函数等内容。
数列部分主要学习了数列的概念、常数列、等差数列和等比数列等特殊数列的性质和运算。
学习过程中,我们明确了数列的定义和性质,掌握了数列的各种运算规律和方法,并用数学语言对数列进行了描述和解释。
函数部分的核心内容是一次函数与二次函数,这两种函数是我们数学学习中最为常见的函数形式。
通过学习,我们了解了一次函数和二次函数的定义、性质和图像特征,并学会了用函数的方法进行问题的分析和求解。
除了一次函数和二次函数,我们还学习了指数函数与对数函数以及三角函数。
指数函数与对数函数是数学中非常重要的函数形式,有着广泛的应用。
在学习中,我们了解了指数函数与对数函数的定义、性质和运算规律,并学会了运用它们解决实际问题。
三角函数部分,我们主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质和图像特征,并学会了用三角函数解决实际问题。
第二部分:概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支,它研究了事物发生的可能性和对数据的收集与分析。
本部分主要包括事件与概率、随机变量与概率分布、统计与抽样等内容。
在学习概率与统计的过程中,我们学习了事件的概念,了解了事件之间的关系、事件的相互补和事件的运算。
我们也学习了概率的定义和性质,掌握了计算概率的方法,如加法原理、乘法原理和条件概率等。
随机变量与概率分布是概率与统计中的核心概念。
我们学习了随机变量的概念和分类,了解了离散型随机变量和连续型随机变量的定义、性质和常见的概率分布,如二项分布、正态分布等。
高中数学 1.2.1“且”与“或”课件 新人教B版选修2-1

将下列各小题中的命题p,q用“且”联结成新命题,并判 断它们的真假:
(1)p:正方形的四条边相等,q:正方形的四个角相等; (2)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数; (3)p:三角形两条边的和大于第三边,q:三角形两条边的 差小于第三边.
[思路分析] 用逻辑联结词“且”把命题p,q联结起来构 成“p∧q”形式的命题;利用命题“p∧q”的真值表判断其真 假.
[解析] (1)p∧q:30是5的倍数且是8的倍数; 由于命题p是真命题,命题q是假命题,故命题p∧q是假命 题. (2)p∧q:矩形的对角线互相平分且相等. 由于命题p和q都是真命题,故命题p∧q是真命题.
2.数形结合法 从集合的角度看,“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,即 p, q 有且只有一个为真.设满足 p 的集合为 A,满足 q 的集合为 B, 则 p,q 有且只有一个为真时满足如图所示的阴影部分,即∁(A∪ B)(A∩B).若所表示的集合可在数轴上标出,数形结合即可写出 结果.
已知p:x2+4mx+1=0有两个不相等的负实根,q:函数 f(x)=-(m2-m+1)x在(-∞,+∞)上是增函数.若p或q为真,p 且q为假,求实数m的取值范围.
(3)p∧q:x=1是方程x-1=0的根且是方程x+1=0的根. 由于命题p是真命题,命题q是假命题,故命题p∧q是假命 题. [方法总结] (1)写“且”命题时,若两个命题有公共的主 语,写成“且”命题时,后一个命题可省略主语,如例1(1). (2)判断“且”命题真假的方法和步骤:①先判断每一个命 题的真假;②利用真值表判断“且”命题的真假.
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1.掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2.理解抛物线的简单性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图,以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p >0),那么焦点F 的坐标为(,0)2p ,准线l 的方程为2p x =-. 设点M (x,y )是抛物线上任意一点,点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简,得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式:根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =,22y px =-,22x py =,22x py =-(0)p >。
要点诠释:①只有当抛物线的顶点是原点,对称轴是坐标轴时,才能得到抛物线的标准方程;②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上,且开口方向与一次项的系数的正负一致,比如抛物线220x y =-的一次项为20y -,故其焦点在y 轴上,且开口向负方向(向下)③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍,比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-,故其焦点坐标是(0,5)-。
高中数学知识点总结(选修2-1)

高中数学知识点总结—数学选修2-1第一章:命题与逻辑结构1.命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.2.“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.3.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”.4.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.5.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若q ⌝,则p ⌝”。
6.四种命题的真假性:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系:()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.7.若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.若p q ⇔,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).8.用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧.当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题.用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨.当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题.对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ⌝.若p 是真命题,则p ⌝必是假命题;若p 是假命题,则p ⌝必是真命题.9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ∀∈M ,()p x ”.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立”,记作“x ∃∈M ,()p x ”.10.全称命题p :x ∀∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∃∈M ,()p x ⌝。
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高中数学选修2-1知识点总结及其应用第一章:命题与逻辑结构 知识点:1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”.4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若q ⌝,则p ⌝”。
6、四种命题的真假性:原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系:()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.7、若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ⇔,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧.当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题.用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨.当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题.对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ⌝.若p 是真命题,则p ⌝必是假命题;若p 是假命题,则p ⌝必是真命题. 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ∀∈M ,()p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立”,记作“x ∃∈M ,()p x ”. 10、全称命题p :x ∀∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∃∈M ,()p x ⌝。
全称命题的否定是特称命题。
特称命题p :x ∃∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∀∈M ,()p x ⌝。
特称命题的否定是全称命题。
第二章:圆锥曲线 知识点:1、求曲线的方程(点的轨迹方程)的步骤:建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系;),y 及其他的点;③找出满足限制条件的等式; ④将点的坐标代入等式;⑤化简方程,并验证(查漏除杂)。
2、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F)的点的轨迹称为椭圆。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距。
()12222MF MF a a c +=> 3、椭圆的几何性质: 焦点在x 轴上4、设M 是椭圆上任一点,点M 到F 对应准线的距离为1d ,点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则1212F F e d d M M ==。
5、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距。
()12222MF MF a a c -=< 6、双曲线的几何性质:焦点在x 轴上7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
8、设M 是双曲线上任一点,点M 到F 对应准线的距离为1d ,点M 到F 对应准线的距离为2d ,则1212F F e d d M M ==。
9、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线.10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”,即2p AB =. 11、焦半径公式: 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上,焦点为F ,则02p F x P =+;、若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上,焦点为F ,则02pF x P =-+;若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上,焦点为F ,则02p F y P =+;若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上,焦点为F ,则02p F y P =-+.12、抛物线的几何性质:22222221(1)c c a b b e e a a a a+====+>2a2a关于抛物线焦点弦的几个结论:设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦,1122(,)(,)A x y B x y 、,直线AB 的倾斜角为θ,则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切;⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π; ⑸112.||||FA FB P+= 第三章:空间向量知识点:1、空间向量的概念:(1)在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.(2)向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.(3)向量AB 的大小称为向量的模(或长度),记作AB . (4)模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. (5)与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量,记作a -. (6)方向相同且模相等的向量称为相等向量. 2、空间向量的加法和减法:(1)求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:在空间以同一点O为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ,则以O 起点的对角线C O就是a与b的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.(2)求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点O ,作a O A =,b OB =,则a b BA =- .3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ 与a方向相同;当0λ<时,a λ 与a 方向相反;当0λ=时,a λ 为零向量,记为0 .a λ 的长度是a的长度的λ倍.4、设λ,μ为实数,a ,b是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.分配律:()a b a b λλλ+=+;结合律:()()a a λμλμ=.5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠ ,//a b的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.8、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使x y C A P =A B +A;或对空间任一定点O ,有x y C O P =O A +AB +A;或若四点P,A,B ,C共面,则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=.9、已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a OA = ,b OB =,则∠AOB 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉 .两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈ .10、对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π〈〉= ,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥ .11、已知两个非零向量a和b ,则c o s ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅ .即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0.12、a b ⋅ 等于a 的长度a与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉 的乘积.13若a ,b 为非零向量,e为单位向量,则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉;()20a b a b ⊥⇔⋅= ;()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向,2a a a ⋅=,a ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉= ;()5a b a b ⋅≤ .14量数乘积的运算律:()1a b b a ⋅=⋅ ; ()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ; ()3()ab c a c b c +⋅=⋅+⋅ .15、空间向量基本定理:若三个向量a ,b ,c 不共面,则对空间任一向量p,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++.16、三个向量a ,b ,c 不共面,则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R=++∈ .这个集合可看作是由向量a ,b ,c 生成的,{},,a b c 称为空间的一个基底,a ,b ,c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.17、设1e ,2e ,3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e ,2e ,3e的公共起点O 为原点,分别以1e ,2e ,3e的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量p OP = .存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++.把x ,y ,z 称作向量p在单位正交基底1e ,2e ,3e 下的坐标,记作(),,p x y z =.此时,向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .18、设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则(1)()121212,,a b x x y y z z +=+++. (2)()121212,,a b x x y y z z -=---. (3)()111,,a x y z λλλλ=. (4)121212a bx x y y z z ⋅=++.(5)若a 、b 为非零向量,则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=.(6)若0b ≠ ,则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===.(7)a =(8)cos ,a b a b a b⋅〈〉=(9)()111,,x y z A ,()222,,x y z B =,则d AB =AB19、在空间中,取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示.向量OP称为点P 的位置向量.20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定.点A 是直线l 上一点,向量a 表示直线l 的方向向量,则对于直线l 上的任意一点P ,有ta AP = ,这样点A 和向量a不仅可以确定直线l 的位置,还可以具体表示出直线l 上的任意一点.21、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a ,b .P 为平面α上任意一点,存在有序实数对(),x y ,使得xa yb OP =+,这样点O与向量a ,b 就确定了平面α的位置.22、直线l 垂直α,取直线l 的方向向量a ,则向量a称为平面α的法向量.23、若空间不重合两条直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,则////a b a b ⇔⇔ ()a b R λλ=∈ ,0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅= . 24、若直线a 的方向向量为a ,平面α的法向量为n,且a α⊄,则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=,//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔= .25、若空间不重合的两个平面α,β的法向量分别为a,b,则////a b αβ⇔⇔a b λ=,0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.26、设异面直线a ,b 的夹角为θ,方向向量为a ,b ,其夹角为ϕ,则有cos cos a b a bθϕ⋅==.27、设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n,l 与α所成的角为θ,l 与n的夹角为ϕ,则有sin cos l n l nθϕ⋅==.28、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则向量1n ,2n的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角l αβ--的平面角为θ,则1212cos n n n n θ⋅= .29、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB计算.30、在直线l 上找一点P ,过定点A 且垂直于直线l的向量为n,则定点A 到直线l的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=.31、点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点,n为平面α的一个法向量,则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=.。