工程制图第六章曲线曲面体的投影
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曲面立体的投影
线上，如图4-13(b)所示。因圆柱水平投影具有积聚性，
所以这三点的水平投影一定都在圆上，根据其位置判断
可见性即可，再根据三等关系即可求出侧面投影。
Page 22
单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
Page 23
作图步骤如下：点a′为可见点，根据点a′的位置分析，其侧面投影 位于前轮廓线素线上，可过点a′作水平线交前轮廓素线于一点(即a″点)， 根据三等关系可求出水平投影a。同理，c′点位于右轮廓素线上，根据 水平投影的积聚性，从c′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为c点， 根据三等关系可求出点c″的位置，其侧面投影为不可见点，需要用小 括号括起来。b′点位于后左平面上，根据水平投影的积聚性，从b′点向 圆柱水平投影作垂线交于一点即为b点，再根据三等关系可求出点b″的 位置。
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曲面立体的投影
1.素线法 圆锥面由许多素线组成，圆锥面上任一点必在经过该点的素线 上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。 2.纬圆法 由回转面的形成可知，母线上任一点的运动轨迹为圆，且该圆 垂直于旋转轴线，这样的圆称为纬圆。圆锥体上任一点一定在与其 等高的纬圆上，因此可借助该点的纬圆求出该点的投影。
曲面立体的投影
2.投影分析 （1）俯视图。俯视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大水平面①的投影。球被分为上、下两部分，上部分可见， 下部分不可见。 （2）主视图。主视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大正平面②的投影。球被分为前、后两部分，前部分可见， 后部分不可见。 （3）左视图。左视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大侧平面③的投影。球被分为左、右两部分，左部分可见， 右部分不可见。
Page 29
113-教学课件-曲面体投影
③ 画出与各素线 V 投影相 切的包络线。这是一根抛物 线。
④ 判别曲面 V 投影的可见 性，即判别各素线 V 投影的 可见性。
双曲抛物面的应用
双曲抛物面
屋面
岸坡过渡
6 圆柱正螺旋面（简称：正螺旋面）
•圆 柱 正 螺 旋 面 ( 锥状）的 形成
当一直母线沿
一条圆柱螺旋线
及该螺旋线的轴
线滑动，并始终
9 8 7
形，即相应踏面在 H 面上的实形投影。至此，完 成螺旋楼梯的 H 投影。
6
在 V 面轴线上定导程 S ，且将 S 作 16 等分，
5
并将所得分点编号 0~16 。
4
2 、画各踢面的 V 投影。每一踢面均是垂直于 H
3
面的矩形，矩形下边线的序号与 V 面上中轴线上
2
的等分序号相同，根据其 H 投影可画出 V 投影。
1
1 0
9 轴线左侧的踢面可见 , 右侧踢面不可见，画成虚 线。轴线右侧的底面可见。
16
10
这里，每一矩形踢面的上边线位置即是同级踏 面的 V 投影积聚位置，踏面积聚投影长度由相应
15 14 13
11 12
踏面的 H 投影确定。 3 、在 V 投影中画可见的螺旋线。 4 、改正图线，完成全图。
可见性参考
直母线 SA 绕相交的轴线 S O 旋转形成圆锥
面S
AO
直母线 AB 绕交 叉的轴线 OO 旋 转形成单叶双曲 面O
A
O B
O
B
A
O
2 、单叶双曲回转面的投影作图
由于母线上每一点的
a′
回转的轨迹是纬圆，
母线的任一位置都称
为素线，所以回转面
e′
④ 判别曲面 V 投影的可见 性，即判别各素线 V 投影的 可见性。
双曲抛物面的应用
双曲抛物面
屋面
岸坡过渡
6 圆柱正螺旋面（简称：正螺旋面）
•圆 柱 正 螺 旋 面 ( 锥状）的 形成
当一直母线沿
一条圆柱螺旋线
及该螺旋线的轴
线滑动，并始终
9 8 7
形，即相应踏面在 H 面上的实形投影。至此，完 成螺旋楼梯的 H 投影。
6
在 V 面轴线上定导程 S ，且将 S 作 16 等分，
5
并将所得分点编号 0~16 。
4
2 、画各踢面的 V 投影。每一踢面均是垂直于 H
3
面的矩形，矩形下边线的序号与 V 面上中轴线上
2
的等分序号相同，根据其 H 投影可画出 V 投影。
1
1 0
9 轴线左侧的踢面可见 , 右侧踢面不可见，画成虚 线。轴线右侧的底面可见。
16
10
这里，每一矩形踢面的上边线位置即是同级踏 面的 V 投影积聚位置，踏面积聚投影长度由相应
15 14 13
11 12
踏面的 H 投影确定。 3 、在 V 投影中画可见的螺旋线。 4 、改正图线，完成全图。
可见性参考
直母线 SA 绕相交的轴线 S O 旋转形成圆锥
面S
AO
直母线 AB 绕交 叉的轴线 OO 旋 转形成单叶双曲 面O
A
O B
O
B
A
O
2 、单叶双曲回转面的投影作图
由于母线上每一点的
a′
回转的轨迹是纬圆，
母线的任一位置都称
为素线，所以回转面
e′
曲面建筑形体的投影ppt课件
3 圆球截交线例题
38
20c2h4e/n7m/3e0ihua
7 曲面建筑形体的投影
39
20c2h4e/n7m/3e0ihua
7 曲面建筑形体的投影
40
20c2h4e/n7m/3e0ihua
7 曲面建筑形体的投影
a' (c') c
a' a"
s a
投影分析
(1)圆锥各表面的投影特性 (2)圆锥的投影 (3)圆锥表面上的四根特殊位置素线
11
20c2h4e/n7m/3e0ihua
7 曲面建筑形体的投影
3 圆锥表面上的点和线
如图所示，已知圆锥面上一点M的正面投影m'，求点M的水 平投影m和侧面投影m"。
解题分析
由于圆锥面的三面投 影均无积聚性，且点M 也不在特殊位置素线上， 故必须通过作辅助线的 方法求解。
(2) 确定圆弧BC的半径,求出它的水平及侧面投影
(3) 描点求曲线AB的投影(特殊点D、一般点E)
(4) 判别可见性,依次光滑连线
20c2h4e/n7m/3e0ihua
7 曲面建筑形体的投影
四、球面及其表面上定点
1 球面（体）的形成
球面是圆母线绕其本身的任一直径为轴旋转一周形成。
素线
回转轴 母线
H投影, 仍是H投影椭圆的长轴; 当夹角大于45°时, 空间椭圆长轴的H投影, 改变为H投影
椭圆的短轴; 当夹角等于45°时, 空间椭圆的H投影成为一个与圆柱底
圆相等的圆。
25
20c2h4e/n7m/3e0ihua
c'
b'
d'
a'
e'
第六章 曲线曲面投影方法
控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
工程制图曲面立体的投影(含截交线和螺旋面)讲述
圆柱面上取点
已知圆柱面上点的一个投 影，求其余投影。
圆 柱 面 上 取 点
a
（c） （c"） b"
a"
Va
a" A
W
（b） b a
c
aH
圆柱面上取点，可利用H面投影的积聚性来求其余投影。注 意后半圆柱面的V面投影不可见，右半圆柱面的W面投影不可见。
圆锥的投影
圆锥
V
s
s"Байду номын сангаасS
W
s
最左 素线
s"
最左 a 素线
求前后素线 交点
求一般点
(e) f (g)
d
a
a"
e" c"
g"
d" f" b"
例 7
求底圆 交点
b(c) c g e a f d
b
抛物线
[例8] 圆锥被两个正垂面截切的画 法
求前后 素线交点 求椭圆 短轴端点 面求 交两 线截 平
b
e c (f) g (d) (h)
a
求椭圆长 短轴端点
分析：一条截交线 是椭圆，另一截交线 是等腰梯形。
[例6] 由两视图求第三视图。
圆锥截交线
截平面 截平面 截平面与所有 截平面平行 位置 垂直于锥轴 素线都相交 于一条素线 截平面平行 于两条素线
圆 锥 截 交 线
截平面 通过锥顶
截交线 形状
圆
椭圆
抛物线
双曲线
三角形
投 影 图 与 立 体 图
[例7] 圆锥被正垂面截切的画法
求最高点
分析：截平面平行于最左素线， 因此截交线是抛物线。
《曲线和曲面的投影》课件
3
斜投影
通过斜光线在投影平面上的投影，将曲线的形状展示在二维平面上。
曲面的投影
平面投影
将曲面投射到平面上，展示其在 不同角度下的形状。
柱体和圆锥的投影
掌握将柱体和圆锥在平面上的投 影技巧，准确表达其形态。
球体的投影
熟悉球体投影的方法，理解球体 在投影平面上的变化。
曲线和曲面投影的例题
练习题一
通过给定的曲线或曲面，求其在不同投影方法下的投影图。
深入探讨曲线和曲面投影在工程、建筑等领域的实际应用情况，拓宽视野。
参考文献
课本
论文
其他相关资料
练习题二
考察对投影方法的理解，通过给定的投影图恢复出原曲线或曲面的形状。
练习题三
应用所学的投影知识解决实际问题，探索曲线和曲面投影在现实中的应用价值。
总结
1
投影的概念
了解投影的基本概念，掌握投影的定义和作用。
2
曲线和曲面的投影方法
细致总结曲线和曲面的各种投影方法，理解它们之间的区别和特点。
3
实际应用场景
《曲线和曲面的投影》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨曲线和曲面的投影。学习曲线的投影方法 以及不同曲面的投影技巧，并通过实例掌握这些概念。
曲线的投影
1
等轴测投影
通过等轴测图来表达曲线的投影，包括正等轴测投影和斜等轴测投影。
2投射到平面上，得到曲线的正射投影图。
7、画法几何及工程制图-第六章 曲面立体
a' b' d" c"
b' a' b'
D A B C B
c" d"
c"
C
a'
A
D
a' d a c
b' d"
c"
d
b
a
b
c
３、圆柱体投影图的画法
注意 三个投影 图之间的 对应关系。
3. 圆柱表面取点——利用积聚性作图
a ’ A
a”
a’
a”
a
a
二、圆锥
1. 圆锥面的形成—— 动直线绕与其相交的固定轴线旋转的轨迹
O’
O’’
O
注意球体表 面的转向素线在 三个投影图中的 对应位置
例： 已知球面上的A、B、C 的一个投影，求其余投影。
a'
(b')
a"
(b")
c'
c"
b
(c)
a
四、圆环体的投影
１、圆环体的形成
圆环体是 由圆作为母线 围绕同平面内 的一根轴线旋 转一周而形成 的回转体。 母线上各 点围绕轴线旋 转的轨迹是同 心圆。 轴线
画法几何及工程制图
第六章 曲面立体 1、曲面体的投影
由曲面或曲面和平面围成的立体称为曲面立体。
§6-1 曲面体的投影
工程中常见的曲面立体是回转体，回转体由回转面或回 转面和平面围成。 回转面由一动线（直线或曲线）绕一定直线旋转一周形 成的曲面。
O
顶圆 轴线 母线 素线 喉圆
纬圆 赤道圆 底圆
O
•回转体
s"
S
b' a' b'
D A B C B
c" d"
c"
C
a'
A
D
a' d a c
b' d"
c"
d
b
a
b
c
３、圆柱体投影图的画法
注意 三个投影 图之间的 对应关系。
3. 圆柱表面取点——利用积聚性作图
a ’ A
a”
a’
a”
a
a
二、圆锥
1. 圆锥面的形成—— 动直线绕与其相交的固定轴线旋转的轨迹
O’
O’’
O
注意球体表 面的转向素线在 三个投影图中的 对应位置
例： 已知球面上的A、B、C 的一个投影，求其余投影。
a'
(b')
a"
(b")
c'
c"
b
(c)
a
四、圆环体的投影
１、圆环体的形成
圆环体是 由圆作为母线 围绕同平面内 的一根轴线旋 转一周而形成 的回转体。 母线上各 点围绕轴线旋 转的轨迹是同 心圆。 轴线
画法几何及工程制图
第六章 曲面立体 1、曲面体的投影
由曲面或曲面和平面围成的立体称为曲面立体。
§6-1 曲面体的投影
工程中常见的曲面立体是回转体，回转体由回转面或回 转面和平面围成。 回转面由一动线（直线或曲线）绕一定直线旋转一周形 成的曲面。
O
顶圆 轴线 母线 素线 喉圆
纬圆 赤道圆 底圆
O
•回转体
s"
S
第六章曲线与曲面的投影
2、投影画法
例：圆柱螺旋线投影的画法和螺旋线的展开。
按螺线的形 成原理作图
二、螺
旋
面
螺旋面是直母线 作螺旋运动时的轨迹。 螺旋面有正螺旋面、 斜螺旋面和可展螺旋 面等。
（一）、正螺旋面 以圆柱螺旋线及其 轴线为导线，直母线沿 此两条导线滑动时始终 垂直于轴线所得的轨迹， 即为正螺旋面。
按照正螺旋面的形成规律，可以得到如下两个结论： 1、以垂直于轴线的平 面截正螺旋面，截交线 是直线。
和导面。
素线：母线在某
一时刻的位置。 N
导线
A B
母线
C
A1 M
素线
B1
C1
a n m b
c
a1 b1
c1
曲面的形成可以是多种多样的
例1、圆柱面的几种形成方法。
动画演示
动画演示
例2、圆锥面的形成，如图6-9。
圆锥面可看作由 直母线绕和它相交 的轴线回转而成。
圆锥面可看 作由变径圆母 线沿过圆心的 轴线平移而成。
OK2=ok
•
C K2 D1
•
M
M为D1B中点 MK=ML=MB 短轴平行BL 长轴平行KB
•L
§6-3
一、曲面的形成
曲 面 概 述
曲面可认为是动线运动时的轨迹，动线也叫
母线。母线为直线时所形成的曲面叫做直纹面，
为曲线时所形成的曲面叫做曲纹面。
母线作规则运动时所形成的曲面叫做规则曲
面。控制母线运动的点、线、面叫做定点、导线
二、投影画法
回转面必须用点划线画出轴线 的投影，然后画出投影的轮廓线或某 些极限位置素线的投影和纬圆的投影。 对单个的回转面一般使轴线为投
影面垂直线，这样在平行于轴线的投
曲面体投影及曲面体上的点和线
Q
P
平面与圆柱相交
例5、补画侧面投影
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
例6、补画侧面投影
● ● ● ●
例7、补画侧面投影
虚实分界点
例8、补画正面投影
2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ 、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
例3、求圆柱截交线
1'
4'
5'
3' 2'
yyy
4
12 3
5
4" 1" 5" 3"
2"
yyy
解题步骤
1.分析 截交线为矩形、 椭圆及圆和直线的组合 ；截交线的水平投影为 已知，侧面投影为矩形 、椭圆和直线的组合；
（4）光滑地连接各 点，并判断可见性.
（5）整理轮廓。
例25—副题
a"
a
a
a 局部放大图
例26：补全正面投影
空投间影分分析析：：
由四于棱相柱贯的线四是个两棱立面体分表别面与 圆的柱共面有相线交，，所前以后相两贯棱线面的与侧圆 柱面轴投线影平积行聚，在截一交段线圆为弧两上段，直 线水；平左投右影两积棱聚面在与矩圆形柱上轴。线垂 直，截交线为两段圆弧。
左半面 可见
右半面 不可见
圆柱表面取点
c' a'
(b' )
P
平面与圆柱相交
例5、补画侧面投影
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
例6、补画侧面投影
● ● ● ●
例7、补画侧面投影
虚实分界点
例8、补画正面投影
2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ 、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
例3、求圆柱截交线
1'
4'
5'
3' 2'
yyy
4
12 3
5
4" 1" 5" 3"
2"
yyy
解题步骤
1.分析 截交线为矩形、 椭圆及圆和直线的组合 ；截交线的水平投影为 已知，侧面投影为矩形 、椭圆和直线的组合；
（4）光滑地连接各 点，并判断可见性.
（5）整理轮廓。
例25—副题
a"
a
a
a 局部放大图
例26：补全正面投影
空投间影分分析析：：
由四于棱相柱贯的线四是个两棱立面体分表别面与 圆的柱共面有相线交，，所前以后相两贯棱线面的与侧圆 柱面轴投线影平积行聚，在截一交段线圆为弧两上段，直 线水；平左投右影两积棱聚面在与矩圆形柱上轴。线垂 直，截交线为两段圆弧。
左半面 可见
右半面 不可见
圆柱表面取点
c' a'
(b' )
建筑形体的投影-曲线与曲面
实例分析
以具体的建筑形体为例，分析其曲 面组合方式及相应的投影特性，如 建筑外立面的复杂曲面造型、室内 装饰中的曲面元素等。
Part
04
建筑形体中曲线与曲面应用实 例
建筑设计中曲线元素运用
流动感与动态美
曲线元素在建筑设计中能够带来流动感和动态美，打破直线的呆板与单调。例如，扎哈·哈迪德设计的 广州歌剧院，其外形采用了流线型的曲线设计，使整个建筑显得灵动而富有张力。
质感表现
通过表现建筑形体的质感，可以让人 更加直观地感受到建筑的材质和细节 ，提高真实感。
结合其他视觉元素丰富效果
配景设计
通过添加适当的配景元素，如人物、 植物、车辆等，可以让建筑形体更加 生动和具有情境感。
特效处理
运用一些特效处理技巧，如模糊、透 视、渐变等，可以增强建筑形体的动 感和空间感，提高视觉冲击力。
Part
02
曲线投影特性分析
平面曲线投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形状取决于其与投影面的相对位置关系。当平面曲线平 行于投影面时，其投影形状与原图一致；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影 形状会发生变化。
投影大小
平面曲线在投影面上的大小与原图大小成比例关系。当平面曲线平行于投影面 时，其投影大小与原图大小相等；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影大小会 发生变化。
Part
03
曲面投影特性分析
平面曲面投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形 状取决于其与投影面的相 对位置。
投影大小
平面曲线在投影面上的大 小会随其与投影面的距离 变化而变化。
投影方向
平面曲线的投影方向与其 所在平面的法线方向有关。
空间曲面投影特性
STEP 01
以具体的建筑形体为例，分析其曲 面组合方式及相应的投影特性，如 建筑外立面的复杂曲面造型、室内 装饰中的曲面元素等。
Part
04
建筑形体中曲线与曲面应用实 例
建筑设计中曲线元素运用
流动感与动态美
曲线元素在建筑设计中能够带来流动感和动态美，打破直线的呆板与单调。例如，扎哈·哈迪德设计的 广州歌剧院，其外形采用了流线型的曲线设计，使整个建筑显得灵动而富有张力。
质感表现
通过表现建筑形体的质感，可以让人 更加直观地感受到建筑的材质和细节 ，提高真实感。
结合其他视觉元素丰富效果
配景设计
通过添加适当的配景元素，如人物、 植物、车辆等，可以让建筑形体更加 生动和具有情境感。
特效处理
运用一些特效处理技巧，如模糊、透 视、渐变等，可以增强建筑形体的动 感和空间感，提高视觉冲击力。
Part
02
曲线投影特性分析
平面曲线投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形状取决于其与投影面的相对位置关系。当平面曲线平 行于投影面时，其投影形状与原图一致；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影 形状会发生变化。
投影大小
平面曲线在投影面上的大小与原图大小成比例关系。当平面曲线平行于投影面 时，其投影大小与原图大小相等；当平面曲线倾斜于投影面时，其投影大小会 发生变化。
Part
03
曲面投影特性分析
平面曲面投影特性
投影形状
平面曲线在投影面上的形 状取决于其与投影面的相 对位置。
投影大小
平面曲线在投影面上的大 小会随其与投影面的距离 变化而变化。
投影方向
平面曲线的投影方向与其 所在平面的法线方向有关。
空间曲面投影特性
STEP 01
建筑工程制图(第六章)
平面多边形
1、平面切割四棱锥
由于截平面P是正垂面，所以截交线的正面投影积聚成直线， 水平投影和侧面投影都是四边形 ( 类似形 )，只要求得四棱锥的 四条棱线与截平面的交点，依次连接即可完成作图，如图所示。
(a) 直观图
(b) 截交线的求法
2、平面切割四棱柱
截平面P与四棱柱的4个棱面及上底面相交，截交线是五边形， 如图所示。
(c) 两曲面体相贯
相交型建筑形体
1 两平面体的表面交线
2 平面体与曲面体的表面交线
3 两曲面体的表面交线
4 两曲面形体表面交线的特殊情况
1、两平面体的表面交线
如图所示为烟囱与坡屋面相交的形体，其形体可看成是由 四棱柱与五棱柱相贯，相贯线是封闭的空间折线，折线的每 一段分别属于两立体侧面的交线，折线上每个顶点都是一形 体上的棱线与另一形体侧面的交点。因此，求两平面体的相 贯线实际上是求两平面的交线或直线与平面的交点。
[例4.1] 如图所示，求作高低房屋相交的表面交线。
2、平面体与曲面体的表面交线 平面体与曲面体相交，其交线是由几段平面曲线组成的空 间曲线。
【例4.2】 如图4-11所示，求作圆锥形薄壳基础的表面交线。
(a) 求特殊点
(b) 求一般点
3、两曲面体的表面交线
两曲面体表面的相贯线，一般是空间曲线，特殊情况下 可能是平面曲线或直线。相贯线上的每个点都是两形体表 面的共有点，因此，求作两曲面体的相贯线时，通常是先 求出一系列共有点，然后依次光滑连接相邻各点。
第六章 立体表面的交线
第一节 立体表面上点的投影
第二节 立体表面截交线 第三节 立体表面相贯线
第一节 求立体表面上点、线的投影
1.1 平面立体上点和直线的投影
第六章 曲线曲面投影方法
斜椭圆柱面
几种柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点 （锥顶）而形成的曲面称 为锥面。
锥面的相邻两素线为 过锥顶的相交直线，位于 同一平面内，所以是可展 曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线
s
●
●
s
k
k
过锥顶作一 条素线。
一、直线面
1 可展直线面
1） 柱面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
1：圆柱的直径ｄ
2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高； 左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高
作图步骤
6.1.2 圆锥螺旋线
一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线
曲面的轮廓线对不 同投影面各不相同。 如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
6.5.1 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如： 按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类， 则可分为可展曲面和不可展曲面。
[工学]画法几何及土木工程制图06-曲线和曲面-文档资料
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解：水平投影为线段，长度等
于d，重合在PH上；正面投影和 侧面投影为椭圆，长轴竖直，长
度等于d，短轴水平，长度根据水 平投影作出。利用圆的辅助投影
可作出椭圆上的一些中间点。
第六章 曲线和曲面
9
§6-1 曲线
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜 于三个投影面时，圆的 任一投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于 圆的直径d。
直纹面
第六章 曲线和曲面
29
§6-3 直纹面
四、双曲抛物面
直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某
一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。 双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投
影，而不必画出导平面。
第六章 曲线和曲面
30
§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
第六章 曲线和曲面
16
§6-2 曲面概述
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面； 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。
第六章 曲线和曲面
17
§6-2 曲面概述
根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。
22
§6-3 直纹面
直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋
转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、 柱状面等属于非旋转直纹面。
一、柱面
直母线l 沿着一条 导曲线运动，且始终平 行于某一固定方向T， 这样形成的曲面称为柱 面。柱面的所有素线均 互相平行，画柱面的投 影时需画出外形线的投 影（轮廓素线）。
于d，重合在PH上；正面投影和 侧面投影为椭圆，长轴竖直，长
度等于d，短轴水平，长度根据水 平投影作出。利用圆的辅助投影
可作出椭圆上的一些中间点。
第六章 曲线和曲面
9
§6-1 曲线
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜 于三个投影面时，圆的 任一投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于 圆的直径d。
直纹面
第六章 曲线和曲面
29
§6-3 直纹面
四、双曲抛物面
直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某
一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。 双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投
影，而不必画出导平面。
第六章 曲线和曲面
30
§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
第六章 曲线和曲面
16
§6-2 曲面概述
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面； 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。
第六章 曲线和曲面
17
§6-2 曲面概述
根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。
22
§6-3 直纹面
直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋
转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、 柱状面等属于非旋转直纹面。
一、柱面
直母线l 沿着一条 导曲线运动，且始终平 行于某一固定方向T， 这样形成的曲面称为柱 面。柱面的所有素线均 互相平行，画柱面的投 影时需画出外形线的投 影（轮廓素线）。
曲线、曲面和立体的投影
F c
b a d e f
返回
f
三、曲面、曲面立体及其表面上的线和点
㈠ 曲面的形成和分类
规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的 轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直 线段，也可以是曲线段；曲面的分类：
按母线是直线还是曲线，曲面可分为：直纹面和曲线面； 按母线的运动方式，曲面可分为：回转面和非回转面； 按曲面的可展性，曲面可分为：可展曲面和不可展曲面；
返回圆柱体表面上的线和点圆柱体表面上的线和点返回22圆锥体的投影圆锥体的投影返回用素线法在锥面上定点用素线法在锥面上定点返回用纬圆法在锥面上定点用纬圆法在锥面上定点返回圆锥体表面上的线和点圆锥体表面上的线和点返回3圆台的投影圆台的投影返回44圆球体的投影圆球体的投影返回圆球面上的线和点圆球面上的线和点nn返回55圆环体圆环体返回环面上的线和点环面上的线和点返回单单叶叶双双曲曲回回转转面面返回11柱面面22锥面面33双曲抛物面双曲抛物面44柱面面直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面称为柱面
直导线L2
母线 曲导线L1 椭圆柱 斜圆柱 返回
2、锥 面
直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形 成的曲面称为锥面。
母线 导点
曲导线
椭圆锥
斜圆锥 返回
3、双曲抛物面
直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面 运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。
V A
D
B
C c
a
H
b
d 返回
双 曲 抛 物 面 的 画 法
Ⅳ′ d′ a′
Ⅰ′
o′
c′ Ⅲ′
Ⅱ′
b′
Ⅳ d
工程制图 第六章 曲线曲面体的投影
第六章 曲线曲面体的投影
1
2
回转体及其表面定点
平面与回转体截交
3
回转体的相贯
第一节 回转体及其表面定点
图 6-6
圆 柱 体 圆 锥 体
常见回转体
圆 球 体 圆 环 体
直 观 图 母线:与轴线平 母线:与轴线相 行的直线 交的直线 轴线:直线 轴线:直线
母线:圆或圆弧 轴线:圆的直径 母线:圆或圆弧 轴线:不经过圆心而 与之同平面的 直线
7(8) 1(2)
5(6) 8
6
2
5
7 1 (3)
3(4)
(4)
2
8 6
4
1
7 5 3
例8 已知圆锥及其上的三棱柱通孔的V面投影， 求H，W投影
三、平面与球截交
作图步骤：
画正面投影 画水平投影 正面轮廓线上的点 水平面轮廓线上的点 最前、最后点 (椭圆长轴端点) 一般点 连线
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
表6.3 相贯线的特殊情况
情况 两等径圆柱相交，相 贯线是平面曲线(椭 圆垂直面) 投影图 直观图
当圆柱与圆锥相交， 具有公共内切球时， 相贯线是平面曲线
情况 圆柱与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
投影图
直观图
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
方法： 利用积聚投影 利用辅助平面
利用积聚投影法
利用辅助平面法
例 求水平线AB 与圆球的贯穿点
例 求直线AB 与圆锥的贯穿点
中途返回请按“ESC” 键
平面体与回转体贯穿
例: 求圆锥薄壳基础中,四棱柱与圆锥的相贯线
e 1
c a(d )
1
2
回转体及其表面定点
平面与回转体截交
3
回转体的相贯
第一节 回转体及其表面定点
图 6-6
圆 柱 体 圆 锥 体
常见回转体
圆 球 体 圆 环 体
直 观 图 母线:与轴线平 母线:与轴线相 行的直线 交的直线 轴线:直线 轴线:直线
母线:圆或圆弧 轴线:圆的直径 母线:圆或圆弧 轴线:不经过圆心而 与之同平面的 直线
7(8) 1(2)
5(6) 8
6
2
5
7 1 (3)
3(4)
(4)
2
8 6
4
1
7 5 3
例8 已知圆锥及其上的三棱柱通孔的V面投影， 求H，W投影
三、平面与球截交
作图步骤：
画正面投影 画水平投影 正面轮廓线上的点 水平面轮廓线上的点 最前、最后点 (椭圆长轴端点) 一般点 连线
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
表6.3 相贯线的特殊情况
情况 两等径圆柱相交，相 贯线是平面曲线(椭 圆垂直面) 投影图 直观图
当圆柱与圆锥相交， 具有公共内切球时， 相贯线是平面曲线
情况 圆柱与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
投影图
直观图
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
方法： 利用积聚投影 利用辅助平面
利用积聚投影法
利用辅助平面法
例 求水平线AB 与圆球的贯穿点
例 求直线AB 与圆锥的贯穿点
中途返回请按“ESC” 键
平面体与回转体贯穿
例: 求圆锥薄壳基础中,四棱柱与圆锥的相贯线
e 1
c a(d )
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9
圆锥投影图分析
底面：水平面
锥顶: 圆锥面：
前半个圆锥面 后半个圆锥面 左半个圆锥面 右半个圆锥面
CHENLI
10
例3 圆锥表面上取点-特殊位置点
CHENLI
11
圆锥表面上取点-素线法
CHENLI
12
圆锥表面上取点-纬圆法
CHENLI
13
例4 已知圆锥表面上的线段MN的V面投影，求 另外两面投影
第六章 曲线曲面体的投影
1
回转体及其表面定点
2
平面与回转体截交
3
回转体的相贯
CHENLI
1
第一节 回转体及其表面定点
圆柱体
图 6-6 常见回转体
圆锥体
圆球体
圆环体
直 观 图
回 转
母线:与轴线平 母线:与轴线相
行的直线
交的直线
轴线:直线
轴线:直线
面
形
成
规
律
母线:圆或圆弧 轴线:圆的直径
母线:圆或圆弧 轴线:不经过圆心而
m
k
n
(m) k (n)
k
m
n
CHENLI
14
三、圆球
CHENLI
15
作图步骤： 画轴线 画轮图分析
正面轮廓圆A 侧面轮廓圆B 水平轮廓圆C
CHENLI
17
圆球轮廓圆上点的三面投影
CHENLI
18
一般位置上的点 ——水平圆为辅助线
CHENLI
19
——正平圆为辅助线
m(n)
n
m
n
m
CHENLI
30
例8 已知圆锥及其上的三棱柱通孔的V面投影， 求H，W投影
5(6) 7(8)
6 5
8
7
1(2)
(4) 2 3(4)
1 (3)
2
86 4
75
1
3
CHENLI
31
例8 已知圆锥及其上的三棱柱通孔的V面投影， 求H，W投影
CHENLI
32
三、平面与球截交
作图步骤：
画正面投影 画水平投影
正面轮廓线上的点 水平面轮廓线上的点 最前、最后点 (椭圆长轴端点) 一般点 连线
CHENLI
33
P33,3(4)
b c m
d
n
a 1(2)
mb
cn
d
CHENLI
b (c) m
(d) n
34
d
(d )
c
c
ab
b
a
c b
d
a
CHENLI
35
a
c d (b)
CHENLI
36
6.4 回转体的相贯
与之同平面的 直线
CHENLI
2
一、圆柱
CHENLI
3
作图步骤： 画轴线 画底面和顶面的投影
画轮廓线 正面轮廓线 侧面轮廓线
CHENLI
4
圆柱投影图分析
底面——水平面 顶面——水平面 圆柱面
前半个圆柱面 后半个圆柱面 左半个圆柱面 右半个圆柱面
轮廓线 正面轮廓线 侧面轮廓线
右 后
前 左
CHENLI
5
例1 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的一个投影
求另外两面投影
CHENLI
6
例2 已知属于圆柱面上的线MN的V面投影求另外 两面投影
n 2 1
m
(n)(2) m 1
n
m
1
2 CHENLI
7
二、圆锥
CHENLI
8
作图步骤： 画轴线 画底面的投影
画锥顶
画轮廓线
画正面轮廓线 画侧面轮廓线
CHENLI
1） 直线与回转体贯穿 2） 回转体与平面体相贯 3） 两回转体相贯
CHENLI
37
直线与回转体贯穿
方法： 利用积聚投影 利用辅助平面
CHENLI
38
利用积聚投影法
CHENLI
39
CHENLI
40
利用辅助平面法
CHENLI
41
例 求水平线AB 与圆球的贯穿点
CHENLI
42
例 求直线AB 与圆锥的贯穿点
情况
两等径圆柱相交，相 贯线是平面曲线(椭 圆垂直面)
投影图
直观图
当圆柱与圆锥相交， 具有公共内切球时， 相贯线是平面曲线
CHENLI
60
情况
圆柱与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
投影图
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
CHENLI
直观图
61
习题 P37, 3
CHENLI
62
习题 P37, 4
CHENLI
二、平面与圆锥截交
表6.2 圆锥体截交线
截平面 垂直圆 锥轴线
截平面 与圆锥 上所有 素线相
交
CHENLI
截交线 为圆
截交线 为椭圆
28
截平面 平行于 一素线
截平面 平行圆 锥上的 两素线
截平面 通过圆 锥锥顶
截交线 为抛物
线
截交线 为双曲
线
CHENLI
截交
线为
三角
形
29
例7 求圆锥与正垂面的截交线
CHENLI
43
中途返回请按“ESC” 键
平面体与回转体贯穿
CHENLI
44
例: 求圆锥薄壳基础中,四棱柱与圆锥的相贯线
e c 2 1 a( d) b 3
e c
d
a(b)
d e
a 1
c2 b
3
CHENLI
45
平面体与回转体贯穿
CHENLI
46
例 求两轴线正交圆柱的相贯线
作图步骤： 已知的水平投影
CHENLI
20
——侧平圆为辅助线
CHENLI
21
第二节 平面与回转体截交
一 平面与圆柱截交
二 平面与圆锥截交
三 平面与球截交
CHENLI
22
一、平面与圆柱截交
表6.1 圆柱体截交线
截平面垂直轴线 截平面倾斜轴线 截平面平行轴线
截交线为圆
截交线为椭圆
CHENLI
截交线为矩形
23
例5 圆柱与正垂面相交，求截交线的投影
63
中途返回请按“ESC” 键
习题 P37, 5
空间分析：
截交线为椭圆
作图步骤：
截交线的正面投影 截交线的侧面投影 截交线的水平投影
椭圆长轴的两个端点 椭圆短轴的两个端点 一般位置点 判别可见性连线
CHENLI
24
CHENLI
25
例6 圆柱被若干个面所截，求三面投影。 表6-1
a
a
●
●
● b
●
●
b
●
●
●
a(b)
CHENLI
26
CHENLI
27
和侧面投影
求作正面投影 最左、最右点 最前、最后点 一般点 连线
CHENLI
47
中途返回请按“ESC” 键
利用辅助平面求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
CHENLI
48
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
CHENLI
49
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
CHENLI
50
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
CHENLI
直观图
54
习题 P36,1(3)
CHENLI
55
中途返回请按“ESC” 键
习题 P36, 3
3
4
1
2
1
3
2
4
3(4) 1(2)
CHENLI
56
习题 P36, 3
CHENLI
57
习题 P36, 4
CHENLI
58
习题 P37, 2
CHENLI
59
中途返回请按“ESC” 键
表6.3 相贯线的特殊情况
CHENLI
51
例 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线
CHENLI
52
表6.3 相贯线的特殊情况
情况
两等径圆柱相交，相 贯线是平面曲线(椭 圆垂直面)
投影图
直观图
当圆柱与圆锥相交， 具有公共内切球时， 相贯线是平面曲线
CHENLI
53
情况
圆柱与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
投影图
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆