最新空间向量的坐标
空间向量的坐标与运算
空间向量的坐标与运算空间向量是向量的一种特殊形式，用于表示空间中的位置和方向。
在三维空间中，我们可以用三个坐标轴来表示空间向量的三个分量，分别是x、y和z轴的坐标。
通过对空间向量的坐标进行运算，我们可以进行各种有趣的空间几何计算。
首先，我们来看一下空间向量的表示。
一个三维向量可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别是向量在x、y和z轴上的坐标。
如果我们在空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以通过这两点的坐标求出空间向量AB的坐标。
坐标运算是对空间向量的坐标进行运算。
常用的坐标运算有加法、减法、数量乘法和点乘。
首先，让我们来看一下向量的加法和减法。
如果有两个向量A(x1,y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的坐标和分别是(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的坐标相加就是分别将对应坐标相加。
同样，向量的减法也是使用相同的方式。
接下来，我们来看一下向量的数量乘法。
向量的数量乘法是将向量的坐标分别乘以一个标量。
如果有一个向量A(x, y, z)和一个标量k，那么A乘以k的结果就是(kx, ky, kz)。
最后，我们来看一下向量的点乘。
向量的点乘也叫数量积，结果是一个标量。
如果有两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果等于x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
点乘的结果可以用来判断两个向量之间的夹角、平行性等。
除了以上的基本运算外，我们还可以进行其他更复杂的运算，如叉乘、模长计算等。
叉乘是两个向量的乘积，结果是一个新的向量。
叉乘的结果正交于原来的两个向量，并且模长与原向量之积等于原向量之间的夹角的正弦值。
空间向量的坐标和运算在几何学、物理学等许多学科中都有广泛的应用。
通过对坐标的运算，我们可以计算两点之间的距离、判断两个向量之间的关系等。
在计算机图形学、计算机游戏等领域，也经常使用空间向量的坐标和运算来表示和处理三维图形。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是指具有大小和方向的箭头，用于描述空间中的物理量。
为了方便表示和计算，我们需要将空间向量转化为坐标形式。
本文将介绍空间向量的坐标表示与计算方法。
一、空间向量的坐标表示在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来表示空间向量。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别记作x轴、y轴和z轴。
一个空间向量可以表示为一个三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，假设有一个空间向量a，它的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)。
我们可以通过计算两点坐标的差值，得到向量a 的坐标表示：a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)二、空间向量的计算1. 加法运算空间向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的和向量c可以计算如下：c = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)2. 减法运算空间向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的差向量c可以计算如下：c = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)3. 数乘运算空间向量的数乘运算是指将向量的每个坐标分量与一个标量相乘得到一个新向量。
设有一个向量a和一个标量k，其坐标表示为(a1, a2, a3)，则它们的数乘结果向量b可以计算如下：b = (k * a1, k * a2, k * a3)4. 内积运算空间向量的内积运算是指将两个向量的对应坐标分量相乘后相加得到一个标量。
设有两个向量a和b，其坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的内积结果为一个标量c，计算如下：c = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b35. 外积运算空间向量的外积运算是指将两个向量进行叉乘得到一个新向量。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件(共19张PPT).ppt
(0,y,0)
(0,0,z)
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
新知讲授
八个卦限及坐标的符号
Ⅲ
z
yoz 面
6
zox 面
Ⅱ
Ⅳ
xoy 面
o
Ⅵ
x
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
点P所在卦限 Ⅰ
(+,+,+) (-,+,+)
坐标符号
Ⅵ
点P所在卦限 Ⅴ
(+,+,-) (-,+,-)
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
Oห้องสมุดไป่ตู้
1
•
B•
(2,-2,-1)
1
x
•
1
• A(1,4,1)
y
•
A1(1,4,0)
新知讲授
特殊位置的点的坐标
5
z
•
F
C
•
1
•
O•
• A1
E
1
•
•
D
B
y
x
点P的位置
坐标形式
原点O
X轴上A
y轴上B
z轴上C
(0,0,0)
D1 B1 中点，求证： EF DA1
15
16
例题讲解
例 3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1
中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1,C1D1上，
空间直角坐标系向量的坐标表
流体动力学是研究流体运动规律的学 科，其中涉及到速度、加速度等向量 概念。通过向量的运算，可以计算流 体的运动规律和流体对物体的作用力。
在控制系统中，控制信号通常是一个 向量，可以用向量表示其在各个方向 上的分量。通过向量的运算，可以设 计控制系统的反馈回路，实现系统的 稳定性和动态性能优化。
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向量的投影
向量的投影是向量在某个方向上的分量，可以用来计算向量的长度、 角度等几何量。
向量在物理学中的应用
力的合成与分解
在物理学中，力是一个向量，可以用向量表示其在各个方向上的分力。通过向量的加法和数乘，可以将多个力合成一 个力，也可以将一个力分解为多个分力。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量概念，可以用向量表示其在各个方向上的分量。通过向量的加法和数乘，可以计 算物体的速度和加速度。
点P的坐标
在空间直角坐标系中，点P 可以用三维实数来表示， 记作(x, y, z)。
向量表示
向量OP可以用起点O和终 点P的坐标来表示，记作[x, y, z]。
向量的模
向量OP的模是空间中点P 到原点O的距离，记作 |OP|。
02
向量及其坐标表示
向量的定义与性质
定义
向量是既有大小又有方向的量，通常 用有向线段表示。
计算
向量的坐标等于向量在各坐标轴上的投影的坐标的代数和。
03
向量的运算
向量的加法
总结词
向量加法是空间几何中基本的向量运算之一，其结果是一个向量。
详细描述
向量加法是将两个向量的起点设为同一点，然后按照向量箭头的指向，把第一个向量的终点与第二个 向量的起点相连，所得到的向量即为这两个向量的和。向量加法的结果是一个向量，其大小等于两个 被加向量的长度之和，方向与原来的两个向量相同。
课件2：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
以空间中两两__垂__直____且相交于一点 O 的三条直线分别
定义
为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标__原__点____，x 轴、y 轴、z 轴叫
【基础自测】
1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，
则 x 的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：C
2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
方法归纳 解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如， 设向量 a＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练 3 (1)(变条件)若将本例(1)中“c∥B→C”改为 “c⊥a 且 c⊥b”，求 c.
做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面_，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、___x_O_z___平面
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝ __1_3_5_°___，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间 直角坐标系中，让右手拇指指向____x____轴的正方向， 食指指向____y____轴的正方向，中指指向____z____轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
空间向量的坐标表示
A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c
空间向量的坐标
方向余弦通常用来表示向量的方向.
向量模长的坐标表示式
p
Q
R
向量方向余弦的坐标表示式
方向余弦的特征
特殊地，单位向量可表示为
向量 例3 设已知两点 和 . 计算 的摸 ，方向余弦和方向角. 解
例4 设已知两点 和 . 求方向和
三 向量的模与方向余弦的坐标表示式
二 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标
一 向量在轴上的投影与投影定理
空间向量的坐标
一、向量在轴上的投影与投影定理
.
AB
AB
AB
u
u
AB
u
AB
AB
=
=
l
l
l
l
l
l
，即
的值，记作
上有向线段
叫做轴
那末数
是负的，
轴反向时
与
是正的，当
向时
轴同
与
，且当
满足
如果数
或者记作
一致的单位向量 .
解
因为
于是
设 为和 的方向一致的单位向量，那么由于
=
即得
解 例5 设有向量P1P2 ，已知|P1P2|=2 ，它与x 轴和y 轴的夹角分别为 和 ，如果的 P1 的坐标为(1,0,3)，求P2的坐标.
证明
01
02
03
04
05
关于向量的投影定理（2）
（可推广到有限多个）
如图所示，由向量加
证明
法的三角形法则可知
由标轴上的分向量与向量的坐标
由上节课例3，有
M
M
R
M
N
M
=
+
N
空间向量的坐标及应用
空间向量的坐标及应用空间向量指的是在三维空间中有大小和方向的量。
空间向量可以用坐标表示，坐标分别表示向量在x、y和z轴上的投影。
设空间向量为aa，则它的坐标表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁表示在x轴上的投影，a₂表示在y轴上的投影，a₃表示在z轴上的投影。
空间向量的坐标表示很重要，可以用于计算向量的长度、夹角、投影等。
具体应用如下：1. 向量的长度：根据勾股定理，空间向量aa的长度为aa= √(a₁²+ a₂²+ a₃²)。
通过坐标计算向量的长度，可以用于判断向量的大小、求解力的大小等。
2. 向量的夹角：设空间向量aa和aa之间的夹角为a，则aaaa = (aa·aa) / ( aa aa)。
通过坐标计算向量之间的夹角，可以用于判断向量的方向、求解物体的夹角、求解力的方向等。
3. 向量的投影：设空间向量aa在空间向量aa上的投影为aa，则aa= (a a·aa) / aa²×aa。
通过坐标计算向量的投影，可以用于求解向量在某个方向上的分量、求解物体在某个方向上的运动等。
4. 平面与直线的判断：设平面的法向量为aa，平面上的一点为a，直线上的一点为a，空间向量aa为aaa，则aa在平面aaa上的投影为零。
通过坐标计算向量的投影，可以用于判断平面与直线的关系。
5. 镜面反射：设平面的法向量为aa，入射光线的方向向量为aa，反射光线的方向向量为aa，则根据反射定律，aa= aa−2(aa·aa) ×aa。
通过坐标计算向量之间的夹角和投影，可以求解光线的反射方向，用于设计反射镜、求解光线的传播等。
6. 空间直线的判断：设空间直线上的一点为a，直线的方向向量为aa，则空间点a在直线aaa上的条件为aaa·aa= 0。
通过坐标计算向量之间的点积，可以判断空间点与直线之间的关系。
7. 面积与体积：设平行四边形的两条边为aa和aa，则平行四边形的面积为a a×aa，其中aa×aa表示向量的叉积。
向量的空间坐标
i i j j k k 0;
k
i j k, j )( x2 i y2 j z2 k )
x1x2 ( i i )
y1y2 ( j j ) z1z2 ( k k )
( y1z2 z1y2 ) i (z1x2 x1z2 ) j
ko
j
r
i
P
B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
任意向量的坐标表达式
设 a M1M2，则向径
r1 OM1 x1 i y1 j z1 k
r2 OM2 x2 i y2 j z2 k
z
R
M1• k P i oj
x
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
例2 已知空间中有三点A(1,0,1), B(0,1,1),C(1,1,1).求AB 与AC之间的夹角.
解 AB (1,1,0), AC (0,1,0).设 AB,AC ，则
cos
AB AC
1
2.
| AB || AC | 2 1 2
3 .
4
叉乘的坐标表示 介绍行列式的概念
二阶行列式：
用叉乘判断两个向量是否共线？ 例4 设 a （5,6,0), b （1,2,3). 问a与b 是否共线？ 解 因为
i jk
a b 5 6 0 18i 15 j 4k 0,
1 23
故 a 与 b不共线.
习题5-2 2. 4.6.9.11.13.
向量的混合积的坐标表示
设 a （x1, y1, z1), b （x2, y2, z2 ), c （x3, y3, z3), 则
a b {ax bx ,ay by , az bz }
空间向量的坐标表示法
2－3 空間向量的坐標表示法空間向量的坐標表示法要點整理要點整理甲、空間向量的坐標表示法1. 空間向量的表示法：設P (x 1 , y 1 , z 1) , Q (x 2 , y 2 , z 2)– y 1 , z 2 – z 1)，||。
2. 方向角：= (a , b , c )為一向量，若從x 軸、y 軸、z 的有向角分別為α、β、γ（0 ≤ α , β , γ ≤ π），則α , β , γ3. 方向餘弦：若α , β , γ= (a , b , c )的方向角，則稱cos α =222c b a a ++，cos β =222c b a b ++，cos γ的方向餘弦。
【註】 (1)任意非零向量的方向餘弦必滿足cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1，且sin 2α + sin β + sin γ = 2α| cos β| cos γ)。
4. 分點公式：設P (a 1 , b 1 , c 1)，Q (a 2 , b 2 , c 2)，R 為直線PQ 上一點，滿足RQ PR := m : n 。
(1)若P −R −Q (R 為PQ 的內分點)，則R 的坐標為),,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma ma ++++++= 。
(2)若P −Q −R (R 為PQ 的外分點)，則R 的坐標為,,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma na −+−−+−−+−。
乙、空間向量的內積1. 內積：= (a 1 , a 2 , a 3)= (b 1 , b 2 , b 3)，= || cos θ = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3。
2. 內積性質：(1)⋅ (2) ⋅+) =+⋅。
(3)⋅= || || cos0° = |2。
(4)⇔。
3. 向量的夾角： 若均非零向量，且其夾角為θ（0 ≤ θ < π），則cos θ= =232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++++。
空间向量运算的坐标表示 课件
2．对空间两向量夹角与距离的四点说明： (1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范 围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此 钝角互补的锐角． (2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向
量的夹角余弦值都是 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，只是坐标运算
时空间向量多了一个竖坐标． (3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面
向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个 竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根 据向量的减法推出向量A→B(空间任意两点)的坐标表示，然 后再用长度公式推出 A、B 两点间的距离．
3．a∥b(b≠0)⇔aaa123＝ ＝＝λλλbb12b， ，3，这一形式不能等价于ab11＝ab22
在解题过程中，把向量的坐标相等转化为方程组，注 意对应坐标相等，此步是解题的基本功，是考试中不能失 分的步骤．
归纳升华 1．解题时注意进行等价转化． 2．对于公式中的一些特殊情形要记清，不要漏掉， 如 a，b 夹角为 180°时． 3．注意解答题的规范性，不要漏掉必要的步骤，保 证解答的完整，不失分．
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b12＋b22＋b23
.
温馨提示 1．空间向量坐标的本质：
a＝(x，y，z)的本质是 a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)
3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算 法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运 算律把它化成－2(a·b)，也可先求出 2a，－b 后，再求数 量积．
空间向量9个坐标计算公式
空间向量9个坐标计算公式空间向量是三维空间中的一个重要概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和运动。
在三维空间中，一个向量可以用三个坐标来表示，分别是x、y和z坐标。
通过这三个坐标，我们可以计算出向量的模、方向角和方向余弦等重要性质，从而更好地理解和应用空间向量。
在三维空间中，一个向量可以用以下公式来表示：\[。
\vec{a} = (x, y, z)。
\]其中，\(\vec{a}\)表示向量，\(x\)、\(y\)和\(z\)分别表示向量在x、y和z方向上的分量。
向量的模是指向量的长度，它可以用以下公式来计算：\[。
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}。
\]这个公式就是三维空间中向量的模的计算公式，通过这个公式我们可以计算出向量的长度，从而更好地理解向量在空间中的位置和方向。
除了模之外，向量的方向角也是一个重要的性质。
在三维空间中，一个向量的方向角可以用以下公式来计算：\[。
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。
\]其中，\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)分别表示向量与x、y和z轴的夹角，通过这个公式我们可以计算出向量与坐标轴的夹角，从而更好地理解向量的方向。
除了方向角之外，向量的方向余弦也是一个重要的性质。
在三维空间中，一个向量的方向余弦可以用以下公式来计算：\[。
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。
\]通过这个公式我们可以计算出向量的方向余弦，从而更好地理解向量的方向。
除了以上的性质之外，向量还有很多其他重要的性质，比如向量的加法、减法、数量积、向量积等。
空间向量的坐标运算
7)空间向量的数量积满足的运算律 7)空间向量的数量积满足的运算律
1) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b) 2) a ⋅ b = b ⋅ a (交换律） 3） ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (分配律） a
注意： 注意： 数量积不满足结合律
（a ⋅ b) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c)
z
坐标、 坐标、 坐标。 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
P3
z
•
1
• P
1
x• 1 x P1
• o
y •P 2
y
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。 点作xOy面的垂线， xOy面的垂线
在坐标系xOy中的坐标x xOy中的坐标 依次是P点的横坐标、 点 P0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 纵坐标。再过P点作z轴的垂线， 纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1 在z轴上的坐 就是P点的竖坐标。 标z就是P点的竖坐标。
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z 点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 平面与三个坐标轴的交点分别为P 相应轴上的坐标依次为x,y,z 那么(x,y,z)就叫做点P x,y,z， (x,y,z)就叫做点 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z) P(x,y,z)， 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值
• [例1] 已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)， p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q. • • • • • [解析] p＝a－b ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)； q＝a＋2b－c ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)； p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)
空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
【最新版】
目录
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的坐标表示方法
3.空间向量的坐标运算
4.空间向量的坐标表示在几何中的应用
正文
一、空间向量的基本概念
空间向量，又称为三维向量，是指在三维空间中的点或者箭头。
它可以用三个实数表示，通常分别表示为 x, y, z 坐标。
空间向量可以用来表示空间中的位置、方向和位移等。
二、空间向量的坐标表示方法
空间向量的坐标表示，通常是指用有序的三个实数（x, y, z）来表示一个空间向量。
例如，一个空间向量 A 可以表示为 (2, 3, 4)，其中 2 表示 x 方向上的分量，3 表示 y 方向上的分量，4 表示 z 方向上的分量。
三、空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算主要包括加法、减法、数乘和向量积等。
这些运算都可以通过对应坐标的计算来实现。
例如，两个空间向量 A 和 B 的加法可以表示为 A+B=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)，其中 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 分别是向量 A 和 B 的坐标。
四、空间向量的坐标表示在几何中的应用
空间向量的坐标表示在几何中有广泛的应用，例如在三维几何中，可
以用空间向量表示一个点或者一个面的方向，也可以用来表示一个点或者一个面的位置。
此外，空间向量的坐标表示还可以用来解决一些几何问题，例如求两个向量之间的夹角，求一个向量在另一个向量上的投影等。
空间向量的坐标
oj
x
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
OP OQ zk. OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk.
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
OP xOA yOB zOC.
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
z
A`
B` OA
B
x
D`
C` D
y
C
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么
特点？
１．x轴上的点横
z
坐标就是与x轴交
点的坐标，纵坐标
R(0,0, z)
B(0, y, z) 和竖坐标都是０．
２．xoy坐标平面
C( x,o, z)
O(0,0,0) o
• M(x, y, z)
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
它们与x轴、y轴和z轴分别
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如何确定空中飞行 的飞机的位置？
问题：
给定有序实数组（ 1，2，3）,如何确 定它在空间直角坐标系中的位置？
二.空间中点的坐标
z
R
O P x
M
Q
y
三.空间中点的坐标
z z
坐标和点
00 x x
(x,y,z) M
M (x,y,z)
y y
N
.
在空间直角坐标系O--xyz中，对于空间 任一点M,存在唯一的有序实数组x,y,z，叫做 点M在空间直角坐标系中的坐标， 记作 M(x,y,z)，其中x、 y 、z分别叫做点M的横 坐标、纵坐标和竖坐标。
C
例2：
试在空间直角坐标系中作出下列各点：
A(2,2,0)；B(2,-1,3)；C(-1,3,-2).
课练1：
如 图 建 立 直 角 坐 标 系 , 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,
已 知 A B = 3 , B C = 5 , A A 1 = 2 , 则各顶点的坐z标为:
课练2：
在空间直角坐标系中，作点A(1,3,0)， B(0,2,3),C(1,4,4),D(6,0,0),E (-3,-5,5), F(3,-2,-2)。
分析：A，B点为坐标面XOY，坐标面YOZ上的点； D为X轴上的点；C是第Ⅰ卦限的点；E 是第Ⅲ卦 限的点；F 是第Ⅷ卦限的点。
小结:
1.空间直角坐标系 （原点、轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
2.空间点的坐标 (卦限上的点、坐标轴上
的点、坐标面上的点、原点）
课后作业： 书上 P95 课练 1、2
结束语
谢谢大家聆听！！！
22
A_(_0_,_0_,_0_)_,B_(_3_,_0_,_0__)_
A1 B1
D1 C1
C_(_3_,_5_,_0__) ,D_(_0_,_5_,_0__)_
A
B
Dy
A 1_ ( _ 0_ , _ 0_ , 2_ _ )_B 1_ (_ 3_ ,_ 0_ , _ 2_ )_x
C
C 1_ ( _ 3_ , 5_ ,_ 2_ _ )_ ,D 1_ ( _ 0_ , _ 5_ , _ 2_ )_.
八
(+,-,-)
M点到原点的距离
z
M点到坐标面的距离
M点到坐标轴的距离
到z轴: d1 x2 y2
到x轴: d2 z2 y2
d1
M (x,y,z) 到y轴: d3 x2 z2
d3
00
d2
Q
y
P
N
x
.
.
.
.
例1： 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 棱 长 为 2 ,
则各顶点的坐标为:
z
A_(_0_,_0_,_0_)_,B_(_2_,_0_,_0__)_
A1
D1
B1
C_(_2_,_2_,_0_)_,D_(_0_,_2_,_0_)__
A
A 1_ _ ( _ 0_ , 0_ ,_ 2_ _ ) B 1_ (_ 2_ ,_ 0_ ,_ 2_ )_B
C1
y
D
C 1_ (_ 2_ , _ 2_ , _ 2_ )_ ,D 1_ (_ 0_ ,_ 2_ ,_ 2_ )_.x
空间的点 1 1有序数组 (x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R ,
坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R (0,0,3)
C (1,0,3)
o
x P(1,0,0)
B (0,2,3)
M (1,2,3)
Q(0,y2,0)
A (1,2,0)
（学生活动）
八个卦限及原点、坐标轴、坐标面上点的坐标：
卦限 坐标符号 特殊点
一
(+,+,+)
原点
坐标
(0,0,0)
二
(-,+,+)
X轴上的点
(X,0,0)
三
(-,-,+)
Y轴上的点
(0,Y,0)
四
(+,-,+)
Z轴上的点
(0,0,Z)
五
(+,+,-)
XOY面上的点
(X,Y,0)
六
(-,+,-)
YOZ面上的点
(0,Y,Z)
七
(-,-,-)
ZOX面上的点
(X,0,Z)