第六章 排列组合

C
m n 1
C C
m n
m 1 n
例1 解方程
n 1 n 1 n n Cn 3 Cn 1 Cn 1 Cn 2 （1）
k k C19 C1911 （2）
2. 组合恒等式 定理6
1 Ckki Ckk r 1 ． i 0 r
（我国元朝数学家朱世杰在1303年左右发现的.）
法1 法2
Ckki Ckki11 Ckki1
(1 x)k (1 x)k 1 (1 x)k r
(1 x)k r 1 (1 x)k x
法3 组合数意义．
有a1 有 a2 无a1 无a 2
a1a1a1 a1a1 a1a2 a3 am1am
a1a1a1 a1a3 a1a2a3 am1am2
an1an an an an1an1 anm2anm1
an an an an an an1 anm2 anm1
例3 设集合 M a, b, c, d ，N 0,1, 2 ． （1）从到的映射有多少种？ ． （2）从到上的映射（满射）有多少种？
答案 （1） （2）
R34 34 81
3 C4 P3 6 6 36 3
§6.3 组合
一、异元素的不重复组合 n 定义5 组合 组合数 Cnm m
n! 是 ． n ! n ! nk !
例1 今有一等奖品一个，相同的二等奖品3 个，相同的三等奖品5个，发给9位学 生，令每人得一个，共有多少种可能的 分配法？ 例2 某市区有南北路8条，东西路5条，布局 十分整齐，有人从市区西南角A走向东 北角B，要走最近路程，共有多少路 线？ 析 令表示东西路一段，表示南北路一段． 引伸：若中心处一公园.
4.教学难点分析：
有限制条件的排列和组合应用题的解法 是教学的难点．
§6.1 加法原理和乘法原理
• 分类加：
• 分步乘：
• 集合解释：
§6.2 排列
一、相异元素的不重复排列 定义1: 排列 m m 排列数 Pn 或 An m 定理1: Pn n(n 1)(n 2) (n m 1) m m 1 m2 分析: P nP 1 n(n 1) P 2 n n n n(n 1)(n 2)(n m 1).
推论1
n个不同元素的环状全排列的种数是
Pnn (n 1)! n 推论2 不计顺逆方向时，从 n 个相异元素取 出的 m 元环形排列的种数是
P n! 2m 2m n m !
m n
例1
a， ， ， ， 五人围着一张圆桌就坐． b c d e
（1）共有多少种就坐方式？ （2）若限定， b相邻，共有几种就坐 a 方式？ （3）若限定， b不相邻，共有几种就 a 坐方式？ 例2 平面内共有6个点，且每3点都不在一条 直线上，以这6点为顶点． （1）可以连接多少条含4条线段的封闭折 线？ （2） 可以连接多少条含4条线段的不封闭 折线？
例6 由数码1，2，3，4，可以组成多少个大 于1234的四位数？
三、相异元素的环状排列 定义3 从 n 个不同元素中,不重复地任取 m 个元素，不分首尾地依次排成一个环 状（或一条封闭曲线），叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的环状排 列，这样取出的所有环状排列的个数 叫做从 n 个不同元素 m中取出的鳱环 状排列数.
二、相异元素的重复排列
定义2 从 n个不同元素中，充许重复地任取 m个按一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出的 m 元素可重复排 列（简称重复排列）．这样取出的重 m 复排列的个数，可用符号 Rn 表示． 定理2 R n
m n m
例5 有3部车床的车间，接受5个不同的零 件，每部车床都能单独完成零件的加 工，问有多少种分配法?
n 1
三、相异元素的重复组合
定义6 从 n个不同元素里，允许重复地任取 m 个元素，不计順序地并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出的 m元可重 复组合（简称重复组合）.这样取出的 m Hn m 元素重复组合的个数，可用符号 表示.
定理8
分析:
m m H n Cn m1
A
B
a1a1a1 a1a2 a1a2a3 am1am1
例1:求证:(1) (2)
P mP P r(P
m n r n 1
m 1 n r 1 n
P r 1 P Pr r !
m n 1 r 1 n 1
P5 1 n 例2:解不等式2＜ P 3 ≤42 n 1
例3 用0，1，2，3，4，5，6能作成多少个没有重 复数字的四位偶数？ 例4 今安排5例火车停在5条铁道上，如果甲车不许 停在第一道，乙车不许停在第五道，问有几种 排法？
有a3 无a3

有 a r 无 a r
法4 对r作数学归纳法 ( r 0 )
例1 设 m, n N ，求和:
*
m(m 1) (m 1)(m 2) (m n 1)(m n)
分析:
2C
2 m 1
2C
2 m 2
2C
2 m n
Pnm m Cn 定理5 m!
n m Cn1 推论1 （上标减1的变形） C nm
m n
n m1 推论2 （下标减1的变形） C Cn1 m
m n
例1 平面内有条直线，其中有三条互相平 行，此外没有任何两条平行，也没有任 何三条共点，问共有多少个交点？ 例2 6本不同的书，按下列条件分配，各有 多少种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙3人，每人2本. （2）分为3份，每份两本. （3）分为3份：一份1本，一份2本，一 份3本. （4）分给甲、乙、丙3人：1人得1本，1 人得2本，1人得3本.
C C C C (1) C 0.
0 n 1 n 2 n 3 n n n n
推论
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 1 3 5 Cn Cn2 Cn4 Cn Cn Cn 2n1
例6 证明
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n n n
例7 同样掷三粒骰子，会出现多少种不同的 结果？ 析：1，2，3，4，5，6六个数字中允许重’ 复地选取三个数字的问题． 例8 求5元素不定方程 x1 x2 x3 x4 x5 8 的 非负整数解的组数. 析：令 xi 1 yi , i 1, 2,,5 ，则
y1 y2 y3 y4 y5 8 5 13
小结
一、两个计数原理
二、有限制条件的排列应用问题的解法 三、有限制条件的组合应用问题的解法 四、有限制条件的排列和组合综合问题的解 法
第六章 结束
2 2 2 2 2 C22 C32 Cm1 Cm 2 Cm 2 (C22 C32 Cm )
3 3 (Cm n 1 Cm 1 )
1 n(3m 2 3mn n 2 1) 3
定理7
0 1 2 n Cn Cn Cn Cn 2n
例3 从几双不同的鞋中任取 2r 2r n ） （ 只，问分别满足以下条件的取法各有多 少种？ （1）取出鞋中没有成对的鞋； （2）取出的鞋中恰有一双成对的鞋； （3）取出的鞋中恰有k（k≤r）双成对的 鞋.
二、组合性质与组合恒等式 1. 组合性质 性质1 性质2
m n Cn Cn m
n! n(n 1)(n 2)3 2 1.
n! 推论1 P n m !
m n
约定
0! 1
m n m 1 n
推论2 （上标减1的变形） P (n m 1) P
n P Pnm1 推论3 （下标减1的变形） nm
m n
Pnm nPnm1 1 推论4 （上、下标同时减1的变形）
第六章排列与组合
1.目的与要求：
通过本章的教学，使学生理解排列与组 合的概念，掌握有限制条件的排列和组合应 用题的解法．
2.教学内容与时间安排：
第一节 分类计数原理和分步计数原理 （1学时） 第二节 排列 （4学时） 第三节 组合 （2学时）
3.教学重点分析：
有限制条件的排列和组合应用题的解法 是教学的重点．
a1
三、不尽相异元素的全排列 定义4 把 n 个不尽相异的元素按照一定的顺 序排成一列，叫做 n 个不尽相异元素 的全排列． n 定理4 如果在 n个元素中，有 n1 a1， 2个 a 2 个 … ak 个 nk ，且 n1 n2 nk n ， 那么这 n 个不尽相异元素的全排列数
将13看成13个球，用4个隔板隔开.
四、多项式定理 定理9
(a1 a2 am ) n n! n n a1n1 a2 2 amm n1 n2 nm n ( n1 )!( n2 )! nm !
其中 表示对所有满足 n1 n2 nm n 的非负整数组 n1 , n2 , , nm 求和.