《辗转相除法与最大公约数》PPT教学课件
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2020/12/10
开始 输入：a,b
i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
i=i+1
b=b/2 i=i+1
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2020/12/10
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到
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2020/12/10
更相减损术:168-93=75，
93-75=18，
75-18=57，
57-18=39，
39-18=21，
21-18=3，
18-3=15，
15-3=12，
12-3=9，
9-3=6，
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6-3=3.
例3：用辗转相除法和更相减损术求210与714 的最大公约数.
END
8
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思考8:如果用当型循环结构构造算法， 则用辗转相除法求两个正整数m，n的最 大公约数的程序框图和程序分别如何表 示？
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2020/12/10
开始
输入m，n
INPUT m，n
n=r
WHILE r>0
r=m MOD n
m=n
m=n
r>0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
n=r WEND PRINT m END
8251=6105×1+2146
r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
5
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思考5:上述求两个正整数的最大公约数
的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.
结束
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练习1：利用辗转相除法求两数4081与
20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
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更相减损术
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤：
Y
WEND
a=a/2,b=b/2 DO
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
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例2 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与93的最大公约数.
辗转相除法：168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6.
2
思考2:对于8251与6105这两个数，由于 其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105这 两个数的公约数和6105与2146的公约数 有什么关系？
3
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思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333，
1813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4+0.
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辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数或这个数与约简的 数的乘积就是所求的最大公约数。
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例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解）
一般地，用辗转相除法求两个正整数m，
n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来
构造算法？其算法步骤如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数
等 于m；否则，返回第二步.
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思考6:该算法的程序框图如何表示？
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7。
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2020/12/10
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？ 更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
1.4 辗转相除法 与最大公约数
人教B版数学选修4-6《初等数论初步》
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知识探究（一）:辗转相除法
思考1:18与30的最大公约数是多少？你 是怎样得到的？
先用两个数公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来即为最大公 约数.
2020/12/10
开始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
结束
7
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Hale Waihona Puke Baidu
思考7:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
结束
INPUT m，n
DO
r=m MODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0
PRINT m
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开始 输入：a,b
i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
i=i+1
b=b/2 i=i+1
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小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到
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更相减损术:168-93=75，
93-75=18，
75-18=57，
57-18=39，
39-18=21，
21-18=3，
18-3=15，
15-3=12，
12-3=9，
9-3=6，
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6-3=3.
例3：用辗转相除法和更相减损术求210与714 的最大公约数.
END
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思考8:如果用当型循环结构构造算法， 则用辗转相除法求两个正整数m，n的最 大公约数的程序框图和程序分别如何表 示？
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2020/12/10
开始
输入m，n
INPUT m，n
n=r
WHILE r>0
r=m MOD n
m=n
m=n
r>0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
n=r WEND PRINT m END
8251=6105×1+2146
r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
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思考5:上述求两个正整数的最大公约数
的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.
结束
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练习1：利用辗转相除法求两数4081与
20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
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更相减损术
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤：
Y
WEND
a=a/2,b=b/2 DO
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
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例2 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与93的最大公约数.
辗转相除法：168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6.
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思考2:对于8251与6105这两个数，由于 其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105这 两个数的公约数和6105与2146的公约数 有什么关系？
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思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333，
1813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4+0.
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辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数或这个数与约简的 数的乘积就是所求的最大公约数。
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例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解）
一般地，用辗转相除法求两个正整数m，
n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来
构造算法？其算法步骤如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数
等 于m；否则，返回第二步.
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2020/12/10
思考6:该算法的程序框图如何表示？
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7。
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思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？ 更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
1.4 辗转相除法 与最大公约数
人教B版数学选修4-6《初等数论初步》
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2020/12/10
知识探究（一）:辗转相除法
思考1:18与30的最大公约数是多少？你 是怎样得到的？
先用两个数公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来即为最大公 约数.
2020/12/10
开始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
结束
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Hale Waihona Puke Baidu
思考7:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
结束
INPUT m，n
DO
r=m MODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0
PRINT m
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