层次分析法(AHP)

w(0) 2
=
3
M2
=
3 15
= 2.4662
w(0) 3
=
3
M3
35
4) 计算A的最大特征值 λmax 由 Aw = λmaxw
∑ ⎡
⎢
n
a1
j
w
j
⎤ ⎥
∑∑ Aw
=
⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
j =1
n
a2 jwj
j =1
"
n
anj w j
j =1
⎥ ⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡ λmax w1
⎢ ⎢
λmax
w2
⎢"
⎢ ⎣
λmax
wn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
a22 "
"
a2
n
⎥ ⎥
" "⎥
⎢⎣an1
an2
"
a
nn
⎥ ⎦
计算该矩阵的最大特征值及对应的特征向量的步骤
如下：
1）计算矩阵A的每一行元素的乘积Mi
n
∏ Mi = ai1ai2 "ain = aij ,i = 1, 2,", n
j =1
33
11
2)
计算
Mi 的
n 次方根
w(0) i
n
1
∏ w(0) i
பைடு நூலகம்26
矩阵 A 的特征向量
假设A是n阶矩阵，如果数 λ 和n维非零列向量 x，使关系式
Ax = λx
成立，这样的数 λ 称为方阵A的特征值，非零向量 x称为A的对应于 λ 的特征向量。
27
9
矩阵 A 的特征向量
假设A是n阶矩阵，如果数 λ 和n维非零列向量 x，使关系式
Ax = λx
成立，这样的数 λ 称为方阵A的特征值，非零向量 x称为A的对应于 λ 的特征向量。
∑ ∑ ∑ λmax
⎛
=
1
⎜ ⎜
n⎜
n
a1 j w j
j =1
w1
+
n
a2 jwj
j =1
w2
+"+
n
anj w j
⎞ ⎟
j =1
⎟
wn ⎟
⎜⎝
⎟⎠
36
12
例 求判断矩阵
⎡1 1/ 5 1/ 3⎤
A = ⎢⎢5 1
3
⎥ ⎥
⎢⎣3 1/ 3 1 ⎥⎦
的最大特征值及其对应的特征向量。
37
例 求判断矩阵
2
问题的本质
定量信息要求较少，但要对
包含的要素
相互间的逻 辑关系
掌握透彻。
步骤：
1） 对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构 模型；
总目标Æ子目标Æ评价准则Æ方案
3
1
2）对同一层次的要素以上一级的要素为准则进行 两两比较，根据评定尺度确定其相对重要程 度，并据此建立判断矩阵；
3）确定各要素的相对重要度； 4）对重要度进行综合，对各方案进行优先排序。
⎡a11 a12 " a1n ⎤
A
=
⎢⎢a21 ⎢"
a22 "
"
a2
n
⎥ ⎥
" "⎥
⎢ ⎣an1
an2
"
⎥ ann ⎦
称为判断矩阵。
19
若假设在准则H下要素 A1，A2，…，An的权 重分别为 w1, w2,…,wn，即w = ( w1,w2,…,wn)T, 则 aij=wi/wj， aij 应该满足：
C1：通车能力； C2：方便过往行人及当地居民； C3：新建或改建费用不能过高； C4：具有安全性； C5：保持市容美观。
9
3
改变闹市区交通环境（G）
通
方
车
便
能
市
力
民
C1
C2
改
安
市
建
全
容
费
性
美
用
C4
观
C3
C5
天
地
搬
桥
道
迁
A1
A2
A3
10
企业核心竞争力Z
一
个
市场营销Y1
生产技术Y2
经营管理Y3
完
全
相
31
由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量 即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对 应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于 H的相对重要度。
求A的最大特征 值和其对应的特 征向量
单位化
得权重 向量W
32
1. 方根法
设某一AHP判断矩阵为
⎡a11 a12 " a1n ⎤
A
=
⎢⎢a21 ⎢"
( ) [ ] 重，即已知 A = aij n×n ＝
wi / wj n×n
⎡ w1 / w1 w1 / w2 " w1 / wn ⎤
求
＝
⎢⎢w2 / w1 ⎢"
w2 / wn "
" "
w2
/
wn
⎥ ⎥
"⎥
⎢⎣wn / w1
wn / w2
"
wn
/
wn
⎥ ⎦
W = (w1 , w2 ,..., wn )T
同的下层要素，称为完全独立性结构。
一
个
经济－生态效益最佳
完 全
独
经济效益
生态效益
立 性
工 产实 实 全 业 品现 现 员 总 销利 利 劳 产 售润 税 动 值 收总 总 生
物 物 产 产 产 产 产 产包 环
能 能 污 污 污 污 品 品装 保
消 有 量 增 等 有 有 回重 投
耗毒
长 标 毒 毒 收复 资
wi / wj n×n
⎡ w1 / w1 w1 / w2 " w1 / wn ⎤
＝
⎢⎢w2 / w1 ⎢"
w2 / wn "
" "
w2
/
wn
⎥ ⎥
"⎥
⎢⎣wn / w1
wn / w2
"
wn
/
wn
⎥ ⎦
22
三、相对重要度及判断矩阵的最 大特征值的计算
在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要
知道Ai关于H 的相对重要度，也＝ 就是Ai关于H 的权
6
2
层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上 一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的 每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全 相关结构。
目标层A
目标
准则层C 准则1 准则2 准则3
方案层P 方案1 方案2 方案1
完全相关性结构图
7
一个完全相关性结构的案例
（实用决策分析p.213）
某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于 稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政 府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家 研究，制定出三种可供选择的方案：
13.5. 层次分析法（AHP）
1
13.5 层次分析法（AHP）
层次分析法（AHP, the analytic hierarchy process）是20世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的 一种多目标评价决策法。
特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程 数学化。
基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和因 素，在同层次各要素间简单地进行比较、判断和计 算，以获得不同要素和不同备选方案的权重。
量有
率 系 量 有 利使 回
结
构 的 案
例
入额 额 产
害
数
害 用用 报
率
量
率 率次 率
数
15
5
也有由上述两种结构结合的混合结构。
引一 个
混
合
总人口数
结 构
的
出生率
死亡率
案 例
生育能力
计生政策
传统习惯 期望寿命
决 策
理
论
导
保健水平
食物营养
国民收入
污染程度
16
二、判断矩阵
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算 各要素权重的重要依据。
层
主导产品市场占有率
面
核心业务 主导产品的市场地位
市场营销网络的健全程度
销售收入增长速度
与经销商、供应商关系的维持
12
4
指标Y2的各个分层指标（12～21）
科研创新 生产运作
主要技术人才的业务水平 科技创新激励机制的有效性 科技投入占销售收入比重 科研开发管理水平 “三废”治理的有效性 生产工艺先进性 产品生产能力利用率 主要产品单耗 全员劳动生产率
A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马 路；
A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横 道；
A3：搬迁商场。
现试用决策分析方法对三各备选方案进行选择。
8
这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环 境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定 了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选择标 准：
1）aii = 1 2) aij = aji 3) aikakj = aij
20
2) 判断尺度
判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重 要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所 示。
判断 尺度
定义
判断 尺度
定义
1 对H而言，Ai和Aj 同样重要
7
对H而言，Ai比Aj
重要的多
3 对H而言，Ai比Aj 稍微重要
9
对H而言，Ai比Aj
绝对重要
5
对H而言，Ai比Aj 重要
2，4， 6，8
介于上述两个相 邻判断尺度之 间
21
7
三、相对重要度及判断矩阵的最 大特征值的计算
在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要
知道Ai关于H 的相对重要度，也＝ 就是Ai关于H 的权
( ) [ ] 重，即已知 A = aij n×n ＝
⎢ ⎢
w2
/
w1
w1 / w2 w2 / wn
" "
w1 / wn ⎤
w2
/
wn
⎥ ⎥
⎡ w1 ⎤
⎢ ⎢
w2
⎥ ⎥
⎡ w1 ⎤
=
n
⎢⎢w2
⎥ ⎥
⎢"
" " " ⎥⎢#⎥ ⎢#⎥
⎢ ⎣wn / w1
wn / w2
"
wn
⎥ / wn ⎦
⎢ ⎣
wn
⎥ ⎦
⎢⎣wn
⎥ ⎦
AW = nW
知，n为矩阵A的一个特征值，W 是矩阵A 的对应于特 征值n 的特征向量。
=
(
aij )n
j =1
i= 1,2,…,n
34
2)
计算
Mi 的
n 次方根
w(0) i
n
1
∏ w(0) i
=
(
aij )n
j =1
i= 1,2,…,n
3）对向量
w(0)
=
(
w1(0
)
,
w2(0
)
,
...,
w(0) n
)T
作归一化处理，即令
n
∑ wi
=
w(0) i
/
w(0) i
i =1
从而得到另一向量 w = (w1, w2,"wn )T 即为所求。
23
由
⎡ w1 / w1
⎢ ⎢
w2
/
w1
w1 / w2 w2 / wn
" "
w1 / wn ⎤
w2
/
wn
⎥ ⎥
⎡ w1 ⎤
⎢ ⎢
w2
⎥ ⎥
⎡ w1 ⎤
=
n
⎢⎢w2
⎥ ⎥
⎢"
" " " ⎥⎢#⎥ ⎢#⎥
⎢ ⎣wn / w1
wn / w2
"
wn
⎥ / wn ⎦
⎢ ⎣
wn
⎥ ⎦
⎢⎥ ⎣wn ⎦
24
8
由
⎡ w1 / w1
4
一、多级递阶结构
用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般 可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。
目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。 准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子 目标（因素或准则），可以逐层细分。 方案层即解决问题的方案。
5
层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上 一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的 每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全 相关结构。
⎡1 1/ 5 1/ 3⎤
A = ⎢⎢5 1
3
⎥ ⎥
⎢⎣3 1/ 3 1 ⎥⎦
的最大特征值及其对应的特征向量。
解：（1）求A中各行元素之乘积
M1=1/15, M2=15, M3=1
38
M1=1/15, M2=15, M3=1
（2）求Mi 的n次方根（n＝ 3）
w(0) 1
=
3
M1
=
3
1 15
=
0.4055
13
指标Y3的各个分层指标（22～31）
质量保证体系建立健全程度
组织建设 企业文化建设
管理与控制系统的有效性
经
高层领导的战略思维能力
营
资产负债率
管 经营状况 三年利润平均增长率
理
净资产收益率
层
主导产品销售利润率
面
企业发展战略的科学性
发展能力 技术及管理力量的储备
企业对外界环境的适应性
14
如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相
Ai
ai1
ai2
…
aij
…
ain
………………
An
an1
an2
…
anj
…
ann
18
6
aij表示以判断准则H 的角度考虑要素Ai对Aj的相 对重要程度。若假设在准则H下要素 A1，A2，…， An的权重分别为w1,w2,…,wn，即w = ( w1, w2, …, wn)T, 则aij=wi/wj，矩阵
1 … 11 12 … 21 22 … …31
关
MBA
性
论的
文层
次
结
构
模
企业A
企业B 企业C
企业D
型
企业核心竞争力分析层次结构图
11
指标Y1的各个分层指标（1～11）
营销激励机制的有效性
营销策略 企业对目标市场变化的感知程度
市
市场竞争策略的有效性
场
业务手段和方法的健全程度
营
主导产品的品牌信誉
销
与目标市场相关营销资源的积累
1. 建立判断矩阵
设对于准则H，其下一层有 n 个要素 A1， A2， …， An。以上一层的某一要素H 作为判断准 则，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵 的元素值，其形式如下：
17
H
A1
A2
A3
…
An
H
A1
A2
…