机械臂正运动学方程的DH表示法及逆运动学
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• 两关节Z轴相交，它们之间没有公垂线（或 者说公垂线距离为零）。这时可将垂直于 两条轴线构成的平面的直线定义为X轴（相 当于选取两条Z轴的叉积方向作为X轴）， 可简化模型；
7
关节变量 • 在图（a）中， 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在
Z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一
条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角 表示
S n1 =sin n1
16
• 比如，一般机器人的关节2与关节3之间的 变换可以简化为：
C3
2T3
A3
S
3
0
0
S3C3 C3C3
S 3
0
S 3 S 3 C3S3
C3
0
a3C3
a3
S3
d3 1
17
推广到n个自由度
——确定x轴 • 当关节不平行或相交时，z轴通常是斜线，
但总有一条距离最短的公垂线，它正交于 任意两条斜线。在公垂线方向上定义本地 参考坐标系的x轴。 • 如果an表示Zn-1与Zn之间的公垂线，则xn的 方向将沿an
6
给每个关节指定本地参考坐标系
——特殊情形
• 两关节Z轴平行，就会有无数条公垂线，此 时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条， 可简化模型；
=
25
26
0 1
15
Cn1
An1
Sn1 0
0
Sn1Cn1 C n1C n1
S n1 0
S n1S n1 Cn1Sn1
C n1 0
an1C n1
an1Sn1
dn1 1
• 上式中：C n1=cos n1
• 从参考坐标系开始，我们可以将其转换到 机器人的基座，然后到第一个关节，第二 个关节… …，直至末端执行器。
14
• 从而得到结果如下：
nTn1 An1 Rotz,n1 Tran0,0, dn1 Tranan1,0,0 Rotx, an1
Cn1 Sn1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 an1 1 0
18
19
20
lad321i24i
21
22
• 在机器人的基座和手之间的总变换为：
RTH A1 A2 A3 A4 A5 A6
C12C46 C12S46 S12 l4S12 l3S12 l6S12 l5C4C12
S12C46
S12 S46
C12
l3S12 l4C12 l6C12 l5C4S12
0 0
S
n1
0
0
Cn1 0 0
0 1 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0
0 1 0
0
0
d n 1 1
Βιβλιοθήκη Baidu
0 0
1 0 0
0 1 0
0
0
C n1
Sn1
0
0
1
0 0
S n1 0
C n1 0
• 在机器人的基座上，可以从第一个关节开始变换 到第二个关节，然后到第三个关节……，再到机 器人的末端执行器。
• 若表把示每变个 换变 的换 矩定 阵义。为在机i器1T人i 的，基则座可与以手得之到间许的多总
变换则为：
RTH RT11T2 2T3n1Tn A1 A2 A3 An
其中n是关节数
3
4
给每个关节指定本地参考坐标系
——确定z轴
• 如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的
方向。绕Z轴的旋转角 是关节变量；
• 如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向。 沿Z轴的连杆长度d是关节变量；
注意：在每一种情况下，关节n处的Z轴下标为n-1。 例如，表示关节n+1的Z轴是Zn
5
给每个关节指定本地参考坐标系
• 所以任何一组关节和连杆都可以构成一个 我们想要建模和表示的机器人。
2
基本思路
• 首先给每个关节指定一个参考坐标系，然 后，确定从一个关节到下一个关节（一个 坐标到下一个坐标）来进行变换的步骤。
• 如果从基座到第一个关节，再从第一个关 节到第二个关节直至到最后一个关节的所 有变换结合起来，就得到了机器人的总变 换矩阵。
cos(a) sin(a) 0 cos(b) 0 sin(b) 1 0
0
sin(a)
cos(a)
0
0
1
0
0
cos( g )
sin(g)
0
0 1 sin(b) 0 cos(b) 0 sin(g) cos(g)
S46 C46 00
0 l2 l5S4 01
23
机械臂的逆运动学
• 当机器人的末端姿态以 RPY 角( a , b, g)给
定后，可得与之相对应的旋转矩阵，再结
合末端位置输入，即给定了机器人末端相
对于基础坐标系的相对变换矩阵 为：
0T6
24
RPY角（a，b，g）
Rxyz (a,b, g) R(z, a) R( y,b) R(x, g)
两个相邻的Z轴之间的角度（也叫关节扭转）
8
坐标变换
• 假设现在位于本地坐标系 xn zn ，那么通
过四步标准运动即可到达下一个本地坐标 系 xn1 zn1
旋转平移平移旋转
9
1.旋转
10
2.平移
11
3.平移
12
4旋转
13
• 在n+1和n+2坐标系间严格地按照同样的四 个运动顺序可以将一个坐标变换到下一个 坐标系。
机械臂正运动学方程的D-H表 示法及逆运动学
学校：沈阳理工大学 专业：2011级模式识别与智能系统 报告人：刘晓莉
1
前提
• 假设机器人由一系列关节和连杆组成。这 些关节可能是滑动（线性）的或者是旋转 （转动）的，它们可以按任意的顺序放置 并处于任意的平面。
• 连杆可以是任意的长度（包括零），它可 能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。
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关节变量 • 在图（a）中， 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在
Z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一
条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角 表示
S n1 =sin n1
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• 比如，一般机器人的关节2与关节3之间的 变换可以简化为：
C3
2T3
A3
S
3
0
0
S3C3 C3C3
S 3
0
S 3 S 3 C3S3
C3
0
a3C3
a3
S3
d3 1
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推广到n个自由度
——确定x轴 • 当关节不平行或相交时，z轴通常是斜线，
但总有一条距离最短的公垂线，它正交于 任意两条斜线。在公垂线方向上定义本地 参考坐标系的x轴。 • 如果an表示Zn-1与Zn之间的公垂线，则xn的 方向将沿an
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给每个关节指定本地参考坐标系
——特殊情形
• 两关节Z轴平行，就会有无数条公垂线，此 时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条， 可简化模型；
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An1
Sn1 0
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Sn1Cn1 C n1C n1
S n1 0
S n1S n1 Cn1Sn1
C n1 0
an1C n1
an1Sn1
dn1 1
• 上式中：C n1=cos n1
• 从参考坐标系开始，我们可以将其转换到 机器人的基座，然后到第一个关节，第二 个关节… …，直至末端执行器。
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• 从而得到结果如下：
nTn1 An1 Rotz,n1 Tran0,0, dn1 Tranan1,0,0 Rotx, an1
Cn1 Sn1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 an1 1 0
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• 在机器人的基座和手之间的总变换为：
RTH A1 A2 A3 A4 A5 A6
C12C46 C12S46 S12 l4S12 l3S12 l6S12 l5C4C12
S12C46
S12 S46
C12
l3S12 l4C12 l6C12 l5C4S12
0 0
S
n1
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Cn1 0 0
0 1 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0
0 1 0
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d n 1 1
Βιβλιοθήκη Baidu
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C n1
Sn1
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S n1 0
C n1 0
• 在机器人的基座上，可以从第一个关节开始变换 到第二个关节，然后到第三个关节……，再到机 器人的末端执行器。
• 若表把示每变个 换变 的换 矩定 阵义。为在机i器1T人i 的，基则座可与以手得之到间许的多总
变换则为：
RTH RT11T2 2T3n1Tn A1 A2 A3 An
其中n是关节数
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给每个关节指定本地参考坐标系
——确定z轴
• 如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的
方向。绕Z轴的旋转角 是关节变量；
• 如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向。 沿Z轴的连杆长度d是关节变量；
注意：在每一种情况下，关节n处的Z轴下标为n-1。 例如，表示关节n+1的Z轴是Zn
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给每个关节指定本地参考坐标系
• 所以任何一组关节和连杆都可以构成一个 我们想要建模和表示的机器人。
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基本思路
• 首先给每个关节指定一个参考坐标系，然 后，确定从一个关节到下一个关节（一个 坐标到下一个坐标）来进行变换的步骤。
• 如果从基座到第一个关节，再从第一个关 节到第二个关节直至到最后一个关节的所 有变换结合起来，就得到了机器人的总变 换矩阵。
cos(a) sin(a) 0 cos(b) 0 sin(b) 1 0
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sin(a)
cos(a)
0
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cos( g )
sin(g)
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0 1 sin(b) 0 cos(b) 0 sin(g) cos(g)
S46 C46 00
0 l2 l5S4 01
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机械臂的逆运动学
• 当机器人的末端姿态以 RPY 角( a , b, g)给
定后，可得与之相对应的旋转矩阵，再结
合末端位置输入，即给定了机器人末端相
对于基础坐标系的相对变换矩阵 为：
0T6
24
RPY角（a，b，g）
Rxyz (a,b, g) R(z, a) R( y,b) R(x, g)
两个相邻的Z轴之间的角度（也叫关节扭转）
8
坐标变换
• 假设现在位于本地坐标系 xn zn ，那么通
过四步标准运动即可到达下一个本地坐标 系 xn1 zn1
旋转平移平移旋转
9
1.旋转
10
2.平移
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3.平移
12
4旋转
13
• 在n+1和n+2坐标系间严格地按照同样的四 个运动顺序可以将一个坐标变换到下一个 坐标系。
机械臂正运动学方程的D-H表 示法及逆运动学
学校：沈阳理工大学 专业：2011级模式识别与智能系统 报告人：刘晓莉
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前提
• 假设机器人由一系列关节和连杆组成。这 些关节可能是滑动（线性）的或者是旋转 （转动）的，它们可以按任意的顺序放置 并处于任意的平面。
• 连杆可以是任意的长度（包括零），它可 能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。