不等式章末小结

不等式章末小结

预习案

一、 知识梳理 （一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (4)乘法法则： (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法

一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，

则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

a

b x x 221-

==

无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

∅

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解

（四）基本不等式2a b

ab +≤

1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2、基本不等式2

a b

ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”

二、

一试身手

1.已知-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3

,a 2

的大小关系是 .

2. 下列结论正确的是 .

①不等式x 2

≥4的解集为{x |x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}

③不等式(x -1)2

＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}

④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2

+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}

3. 若实数x ，y 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,

0,

01x y x y x 则z =3x +2y

的最小值是 . 4. 若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 .

导学案

一、 学习目标

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、 学习过程

（1） 课内探究

（2） 典型例题

一、一元二次不等式的解集

例1 已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；

(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.

►变式训练1 解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.

二、利用基本不等式求最值

例2 (1)设0

(2)求3a －4

＋a (a <4)的取值范围；

(3)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2

y

的最小值．