25.3利用频率估计概率
25.3利用频率估计概率
学生结合统计表和 统计图思考
地，频率会趋于稳定， “正面朝上”的频率越来越接近 0.5. 这也与我们计算 的概率是一致的，就用 0.5 这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 其实， 历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上 数学家做掷币试验的数据统计表（看书 P141 表 25-3）. 4.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照 “正面朝上” 的研究方法， 很容易总结得出： “反面向上” 的频率也相应稳定到 0.5. 5.归纳：即抛掷一枚质地均匀的硬币时， “正面向上”与“反面向上”的可能 性相等（各占一半）. 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 m/n 会稳定在某个 常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率, 记作 P（A）= p. 思考： ①课本 142 页思考. ②频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计 事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数 (事件发生的概率)附近， 说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不 同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. ③阅读课本 142 页文字，并思考：如何灵活选用利用频率估计概率与利用公 式求概率. （二）利用频率估计概率的应用 课本问题 1 分析：1 幼树移植成活率问题是概率问题吗？ 2 同样条件下，问题中移植的幼树成活可能性相等吗？ 3 填表后观察幼树移植的成活率在哪个常数上下摆动？ 课本问题 2 分析：1 本问题是概率问题吗？ 2 试估测柑橘的损坏率是多少？完好的概率是多少？ 3 柑橘完好的质量是多少？ 4 这批柑橘的总进价是多少？实际成本的单价是多少？ 5 如何计算利润？售价应定为多少可获利润 5000 元？ 三、课堂训练 完成课本 142、145 页练习 四、小结归纳 1.本节学习的概率问题有什么特点？ 2.利用频率估计概率与利用公式求概率分别适用于什么样的问题？如何灵活 选择方法求事件的概率？ 五、作业设计 复习巩固作业和综合运用为全体学生必做； 拓广探索为成绩中上等学生必做； 学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习. 补充作业：. 板 课题 利用频率估计概率 教 学 反 思 应用 书 设 计
人教版数学九年级上册25.3 用频率估计概率(教学课件)
1
2
3
4
5
频数
17
28
15
16
24
【详解】解：石块标记3的面落在地面上的频率是
15
100
3
于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是 20．
=
3
，
20
课堂练习 （利用频率估计概率）
某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼、150条罗非鱼，该鱼塘主人通过
多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5附近，若该鱼塘主人随
课堂练习 （利用频率估计概率）
柑橘总质量 n
/ 千克
损坏柑橘质量
m / 千克
柑橘损坏的频率
（m/n）
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
0.103
500kg时损坏概率为_________，
150
15.15
0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
于是可以估计柑橘损耗概率为
某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能
够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为
多少元比较合适？
【提示】1.柑橘在产品运输、存储途中会有破损，公司必须将破损带来的损失折算到没有
破损柑橘的定价中，才能保证实际获得的利润。
2.利润=产品重量×完好率×(定价-实际成本)
但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概
率的随机事件的范围扩大。
01
用频率估计概率
区别
联系
频率
九年级数学人教版(上册)25.3 用频率估计概率
知识点 2 用频率估计概率
3．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1 000 次，经过统计得“凹
面向上”的频率约为 0.53，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸
面向上”的概率约为( D )
验是(B )
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．抛掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 6 C．在“剪刀、石头、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D．不透明袋子中装有 1 个红球和 2 个黄球，这些球只有颜色上的区 别，从中随机取出一个球是黄球
6．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种 树苗移植的成活情况进行调查统计，绘制了如图的统计图，根据图 中的信息解决下列问题：
A．0.53
B．0.51
C．0.50
D．0.47
4．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共 20 个， 除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验 后发现摸到红色球、黄色球的频率分别稳定在 10%和 15%，则箱子 里蓝色球的个数很可能是 15 个．
5．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的 频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么最有可能符合这一结果的试
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
知识点 1 频率与概率的关系 1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列 说法正确的是( D ) A．频率就是概率 B．Байду номын сангаас率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
25.3 用频率估计概率
25.3 用频率估计概率学习目标：1. 理解用频率来估计概率的方法；2. 了解概率的实验背景及其现实意义. 学习重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率 学习难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率 学习过程: 一、自主学习1、在生产的100件产品中，有95件正品，5件次品。
从中任抽一件是次品的概率为( ). A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.952、小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？（用两种不同方法求解）二、合作学习 1.实验：小组合作完成教材P140实验，并记录在下表中：实验次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 正面向上的频数m 正面向上的频率m n描点：思考：（1）分析上面图像可以得出频率随着实验次数的增加，稳定于 左右. （2）从试验数据看，硬币正面向上的概率估计是（3）根据推理计算可知，抛掷硬币一次正面向上的概率应该是结论: 对于一般的随机事件，在大量重复试验时，随着实验次数的增加，一件事件出现的频率，总在一个 数的附近摆动，我们就可以用这个数去估计此事件的概率。
归纳：50 100 150 200 250 300 350 400 450 500……试验次数n 正面向上的频率mn 0.5 1一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率稳定于某个常数p,那么事件A发生概率的概率：P(A)= p通常我们用频率估计出来的概率是一个近似值，即概率约为p。
2、运用：P143问题1：某林业部门要考察某种幼树在一定条件的移植成活率，就采用什么具体做法？某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率．(1)它能够用列举法求出吗？为什么？(2)它应用什么方法求出？(3)请完成下表，并求出移植成活率．移植总数（n）成活数（m）成活的频率（mn）10 8 0.8050 47 ____270 235 0.871400 369 ____750 662 ____1500 1335 0.8903500 3203 0.9157000 6335 _____900 8073 _____14000 12628 0.902由上表可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.所以估计幼树移植成活的概率为．四、拓展训练问题2、某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，•进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．柑橘总质量（）/千克损坏柑橘质量（）/千克柑橘损坏的频率（mn）50 5.50 0.110100 10.50 0.105150 15.50 _____20019.42 _____250 24.25 _____300 30.93 _____350 35.32 _____400 39.24 _____450 44.57 _____500 51.54 _____四、小结1、弄清一种关系——频率与概率的关系当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.2、了解一种方法——用多次试验频率去估计概率3、体会一种思想——用样本去估计总体；用频率去估计概率五、作业1．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求概率是用( )．A．通过统计频率估计概率B．用列举法求概率C．用列表法求概率D．用树形图法求概率2. 在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作为替代物的是（）A.一颗均匀的骰子B.瓶盖C.图钉D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）3. 不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方法不可行的是（）A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”，“红”然后反复抽取B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面积为红色的2倍，然后反复转动转盘4．在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱。
25.3利用频率估计概率 TXC
m ) n
估计移植成Leabharlann 率0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿ ．
移植总数（n） 10 成活数（m） 8 成活的频率 ( 0.8
m ) n
50 47 0.94 900 棵. 1.林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_______ 270 235 0.870 2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少 0.923 400 369 556 棵. 向林业部门购买约_______ 0.883 750 662 1500 3500 7000 9000 14000 1335 3203 6335 8073 12628 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
m ) n
估计移植成活率
0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿ ．
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
25.3用频率估计概率 (1)
(2)设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P(红球)= 8 . 8 1
m m
5
解得m=40，∴白球接近40-8=32(个)
用频率估计概率在实际生活中的应用广泛， 其实质是用部分(样本)特征估计总体，解题的关键是准确计 算出部分事件出现的频率或概率、根据题意确定合理的估计 方法，然后由概率的意义结合方程进行相关计算.特别地， 为了考察某一对象的分布情况，往往要了解其数量，而有时
3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了 某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一 结果的试验可能是（ ）
(A)掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 (B)从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到 红球的概率
(C)抛一枚硬币，出现正面的概率
(D)任意写一个整数，它能被2整除的概率
的概率是0.41；
(2)不知道哪个更准确.因为试验数据可能有误差，不能确定 误差偏向(这两个小组的试验条件可能不一致).
用频率估计概率与古典概率定义是统一的，
用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频数数值的
变化(集中)趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数附近，
这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确，频率只是一
又无法直接求解，这时就利用频率与概率的关系，结合方程
解决概率问题.
3.(2010·梧州中考)为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从
鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放
归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5
条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为(
(A)3 000条 (B)2 200条 (C)1 200条
【解析】选B.从图象知道，这一随机事件发生的频率稳定在
25.3用频率估计概率 课件
练习罚篮次数 罚中次数 罚中频率
30 27 0.900
60 90 150 45 78 118 0.750 0.867 0.787
200 161 0.805
300 400 500 239 322 401 0.797 0.805 0.802
（1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你 能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命 中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8. 温馨提示：师友进行分层次练习,基础性习题由学友直接说给师傅听,师傅指导,纠错,拓展性
求非等可能 列举法 大量重 频率稳定 频率估 性事件概率 不能适应 复试验 常数附近 计概率
用样本(频率)估 计总体(概率)
统计思想
温馨提示：师友交流、总结本节课的知识点、易错点、重难点、解题思路以及蕴含的数学
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过 多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和 42%，则这个水塘里有鲤鱼 310 尾,鲢鱼 270 尾 .
掷硬币试验
(1)抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上” 的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上”的频数 23
46 78 102 123 150 175 200
“正面朝上”的频率 0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些 可能的结果呢？
25.3用频率估计概率解决问题(教案)
在学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，但在启发学生思考问题时，我发现自己提问的方式有时过于直接，可能限制了学生的思维。在今后的教学中，我应该尝试提出更多开放性的问题，激发学生的创新思维。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了频率与概率的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对用频率估计概率的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在完成“25.3用频率估计概率解决问题”这一章节的教学后，我对自己在课堂教学中的表现进行了深刻的反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问方式引导学生思考日常生活中的概率问题，效果还是不错的，学生的兴趣和好奇心被充分调动起来。但在新课讲授过程中，我发现部分学生对频率与概率的概念理解不够深入，可能是我讲解得不够详细，也可能是我没有给学生提供足够的思考空间。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：1.培养学生的数据分析观念，使其能够运用频率估计概率，理解数据背后的随机性，提高数据处理能力；2.培养学生的逻辑推理能力，使其在解决概率问题时，能够运用所学知识进行合理的推理；3.培养学生的数学建模素养，通过构建数学模型来描述和解决现实生活中的概率问题；4.培养学生的数学应用意识，让学生在实际问题中发现、提出、分析并解决概率问题，体会数学与现实生活的紧密联系。通过本节课的学习，使学生能够运用数学知识解决现实问题，提高其数学核心素养。
25.3用频率估算概率(中考真题含解析)(难度等级：3星)
25.3用频率估算概率（中考真题含解析）（难度等级：⭐⭐⭐）一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果)，他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为()A. 6m2B. 7m2C. 8m2D. 9m22.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616; ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618; ③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是()A. ①B. ②C. ① ②D. ① ③3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是()A. 抛一枚硬币，出现正面朝上B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球4.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过95.在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：次数12345678910黑棋数1302342113根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为()A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）6. 公司以3元/kg 的成本价购进10000kg 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为______(精确到0.1)；从而可大约每千克柑橘的实际售价为______元时(精确到0.1)，可获得12000元利润法利润． 柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率mn (精确到0.001)… … … 250 24.75 0.099 300 30.93 0.103 350 35.12 0.100 450 44.54 0.099 50050.620.1017. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为______．8. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为______个．9. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 19179118446292113791846优等品的频率mn0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是______.(精确到0.01)10.某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为______．11.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是______．12.一个不透明的口袋里放有除颜色外均相同的2个红球、3个白球和5个黑球，一次至少摸_______个，才能使摸出的球各种颜色的都有．13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵数m8651356222035007056131701758026430成活的频率mn0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______．14.某种菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：每批粒数n251070130310700150020003000发芽粒数m24960116282639133918062715请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是________(精确到0.1)．15.“π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟试验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有该图形的白纸上，统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率m n ；在相同条件下，大量重复上述试验，当mn显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为4mn。
25.3 利用频率估计概率教案.doc
25．3利用频率估计概率疑难分析：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.复习，引入新课：♦概率事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.♦必然事件发生的概率为1(或100%),记作P(必然事件)=1;♦不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0;♦随机事件(不确定事件)发生的概率介于0~1之间,即0<P(不确定事件)<1.♦如果A为随机事件(不确定事件),那么0<P(A)<1.用列举法求概率的条件是什么?(1)实验的所有结果是有限个(n)(2)各种结果的可能性相等.当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生的可能性不相等时.又该如何求事件发生的概率呢?新课讲解：问题1:某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采取什么具体做法?问题2:某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘,如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售柑橘时(去掉坏的),每千克大约定价为多少元?老师讲解：上面两个问题,都不属于结果可能性相等的类型.移植中有两种情况活或死.它们的可能性并不相等, 事件发生的概率并不都为50%.柑橘是好的还是坏的两种事件发生的概率也不相等.因此也不能简单的用50%来表示它发生的概率.瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４－１７０５）最早阐明了可以由频率估计概率即：在相同的条件下，大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率。
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=p需要注意的是:概率是针对大量重复的试验而言的,大量试验反映的规律并非在每一次试验中出现.更一般地,即使试验的所有可能的结果不是有限个,或各种可能的结果发生的可能性不相等,也可以通过试验的方法去估计一个随机事件发生的概率.只要试验次数是足够大的,频率就可以作为概率的估计值.P142练习：某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；（2）0.75．评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．问题1:国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地将大力开展植树造林活动.为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法?（填P143页的表格并完成表后的填空.）例１：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个表格所示：１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的频率在_____左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，估计Ａ类幼树移植成活的概率为____，估计Ｂ类幼树移植成活的概率为___．２、张小明选择Ａ类树苗，还是Ｂ类树苗呢？_____,若他的荒山需要10000株树苗，则他实际需要进树苗________株？3、如果每株树苗9元，则小明买树苗共需________元．（见幻灯片12、13）问题２、某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率“统计，并把获得的数据记录在下表中了问题１：完好柑橘的实际成本为______元／千克问题２：在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，希望获利5000元,每千克大约定价为多少元比较合适？（见幻灯片14）例2.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?解:根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125.该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.P145练习归纳总结：概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律.布置作业：课后反思：。
人教版数学九年级上册25.3用频率估计概率优秀教学案例
1.设计具有启发性的问题，引导学生主动思考。
2.通过问题链，让学生在解决问题的过程中，逐步深入理解知识。
3.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识。
在教学过程中，我会设计一系列问题，引导学生主动思考。例如，在讲解“抛硬币实验”时，我可以提出以下问题：“你们认为硬币正面朝上的概率是多少？为什么？”，“你们能否设计一个实验，来验证你们的猜测？”。这些问题可以激发学生的思考，让他们在解决问题的过程中，加深对概率的理解。
2.强调频率与概率之间的关系，让学生掌握用频率估计概率的方法。
3.结合生活实际，让学生了解概率在生活中的应用。
在总结归纳环节，我会引导学生对所学知识进行总结。例如，我会让学生回顾：“我们今天学习了什么内容？频率与概率之间的关系是什么？”。通过总结，加深学生对知识的理解。同时，我会强调频率与概率之间的关系，让学生掌握用频率估计概率的方法。此外，我还会结合生活实际，让学生了解概率在生活中的应用。
五、案例亮点
1.情景创设贴近生活，提高学生学习兴趣
在教学过程中，我注重情景的创设，让学生在轻松愉快的氛围中学习。通过设计有趣的游戏、结合现实生活中的一些现象，让学生感受概率的魅力，从而提高他们的学习兴趣。
2.问题导向引导学生主动探索，培养独立思考能力
我设计了一系列具有启发性的问题，引导学生主动思考。在解决问题的过程中，学生需要分工合作、交流讨论，从而培养他们的合作交流能力。同时，通过问题链的设计，让学生在解决问题的过程中，逐步深入理解知识，培养独立思考能力。
在教学过程中，我以“抛硬币实验”作为切入点，让学生通过实际操作来感受频率与概率之间的关系。在实验过程中，学生可以直观地看到，尽管每次抛硬币的结果都是随机的，但随着实验次数的增加，正面朝上的频率会逐渐稳定到一个固定的数值。这个数值，在一定程度上，可以用来估计硬币正面朝上的概率。
专题25.3 用频率估计概率
用频率估计概率
连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数，求出“正面向上”和“反面向上”的频率，分析数据，可探索出频率的变化规律．
一、用频率估计概率
（1）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
（2）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m
n
稳定于某个常数p，那么事件A发生的概
率P（A）=p．
【名师点睛】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m
n
稳定于某个常数p，那么估计事件
A发生的概率P（A）=p．试验得出的频率只是概率的估计值．概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生．。
25.3___利用频率估计概率
25．3 利用频率估计概率附参考答案疑难分析：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A 的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；（2）0.75．评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．例2某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)(2)(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；（2）0.69；（3）0.69；（4）0.69×360°≈248°．评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；（2）频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )A ．90个B ．24个C ．70个D ．32个2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）．A ．11000B ．1200C ．12D ．15 3．下列说法正确的是( )．A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．A ．110、110B ．110、12C ．12、110D ．12、125．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）．A ．10粒B ．160粒C ．450粒D ．500粒6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是53，这个53的含义是（ ）． A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的53； D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为51，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；分)B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（）．A．2元B．5元C．6元D．0元二、填一填9．同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上．11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。
25.3 第2课时 用频率估计概率解决问题
第2课时 用频率估计概率解决问题
第2课时 用频率估计概率解决问题
新 知 梳 理
► 知识点 利用频率估计概率 方法：用在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生
的频率的稳定值来估计这个事件发生的
概率
.
第2课时 用频率估计概率解决问题
重难互动探究
探究问题 用样本的频率解决实际问题
例1 ［教材问题1变式题］ 某养鱼专业户在相同条件下，做鱼
苗放养成活率试验.结果如下表所示：
放养鱼苗数（n） 100 200 300 400 500 600 700 800 1000 成活条数（m） 91 183 266 364 446 545 629 721 903 m 成活频率 n
第2课时 用频率估计概率解决问题
由表中数据估计： （1）放养 2000 条鱼苗，约有多少条不能 成活？由此推测其成活率是多少？ （2）在（1）题中，过了一段时间后，养鱼人为了估计鱼 塘中鱼的数目，先从鱼塘中捕捞出 a 条鱼，并在每条鱼身上做 好记号，放归鱼塘，再从鱼塘中捞出 m 条鱼，其中有 n 条鱼带 am 有记号，则他估计鱼塘中鱼的数目为 条，你认为有道理吗？ n 为什么？
［归纳总结］ 用样本来估计总体是统计的基本思想.在生活 和生产中，为了解总体的情况，我们经常采用从总体中抽取样 本，通过对样本的调查，获得关于样本的数据和结论，再利用 样本的结论对总体进行估计.
第2课时 用频ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ估计概率解决问题
例2
一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将
球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒 中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中 大约有白球（ A ）
25.3利用频率估计概率
P(A)
注： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的 概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;
(5)必然事件的
7000 9000 14000
3203
6335 8073 12628
0.915
0.905 0.897 0.602
90% 从表可以发现,幼树移植成活的频率在_________左右摆动,并 且随着统计数据的增加,这种规律愈加越明显,所以估计幼树 0.9 移植成活率的概率为________
问题2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘，如果 公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（已去掉 损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
0.94 0.94 0.94 0.96 0.87 0.89 0.89 0.9 0.9 0.98
一般地，1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的？
种子个数 100 200 300
发芽种子个数 94 187 282
发芽种子频率
0.94 0.94 0.94
400
500 600 700
338
435 530 624
(2)这一地区男婴出生的概率约为多少? 0.517
升华提高
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的 频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频 率来估计这一事件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
25.3用频率估计概率
课题: 25.3 用频率估计概率课题25.3 用频率估计概率课型新授教学目标知识技能1、理解当事件的实验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。
2、会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率。
过程方法通过实验，认识大量重复试验所取得的频率可作为概率的估计值，培养学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。
情感态度在具体情境下体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，通过问题解决，体验数学知识在生活生产实际中的应用。
重点理解用事件发生的频率估计概率。
难点对大量重复试验频率的趋势稳定性的理解。
教学准备一元硬币、骰子教学过程设计教学过程教师活动学生活动估时自主探究1、问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，都是0.5，这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？引导学生思考、引入课题。
2、实验把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理获得的数据，并记录。
教师巡回指导，引导，归纳。
认真思考问题，解决实际问题，体验数学来源于实践，又服务于实践。
认真思考，组内交流讨论总结解决问题的方法和技巧。
合作、实验、整理、记录、交流。
10自主探究尝试应用3、问题：（见教科书143页问题1 ）4、问题：（见教科书144页问题2 ）教师引导、提示、巡回指导归纳：概率的获取有理论计算和实验估算两种，若无法用理论计算，往往采取实验估算。
随着实验次数的增加，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。
让学生探究完成144页的问题2这类题目既涉及概率同时又于前面的议程知识联系，代表性强。
重点讲评。
出示题组：1、见教科书例142练习；2、见教科书145练习。
教师巡回指导，让学生板演。
认真思考，寻求解决的方法。
自主解决问题，自我反思，合作交流。
解决问题，归纳总结，相互补充。
认真思考，做题，交流。
回答问题1013补偿提高出示题组，见教科书习题25.3的1、4、5、6题。
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25.3.1利用频率估计概率
教学目标：
知识与技能：1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率
观念。
过程与方法：通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。
情感态度与价值观：1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。
2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。
教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。
教学难点：对概率的理解。
设计教学程序：
一、问题情境：
妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！
二、合作游戏：
1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下
面表格一的填写和有关结论的得出。
表格一：
问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？
_________________红色________________________________________.
（2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率.
2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组
（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。
的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。
表格二：
频率
试验次数
30 60 90 120 150 180……
问题:当试验次数较大时,比较数字色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________.
4、得出试验结论。
三、随堂练习。
书本P158页“柑橘的损坏率”填写表25--6
四、拓展提升：解决问题2
1、柑橘的损坏率是多少？
2、到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？
3、把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？
4、设每千克定价为x元，则可以得到的方程是？
五、课堂小结：畅所欲言。
六、课内拓展: 同步练P95页第8题
教学反思
25.3.2利用频率估计概率
郁昌云
教学目标：
知识与技能：了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。
过程与方法：初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。
情感态度与价值观：1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。
2、渗透数形结合思想和分类思想。
教学重点：理解用模拟实验解决实际问题的合理性。
教学难点：会对简单问题提出模拟实验策略。
设计教学程序：
一、问题情境：
小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。
袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。
同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？
问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？
问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？
答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。
问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子：
（1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？
答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。
问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？
答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小
二、问题3：
一个学习小组有6名男生3名女生。
老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。
你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？
下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由：
三、随堂练习。
（1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列
可作为替代物的是（）
A.一颗均匀的骰子
B.瓶盖
C.图钉
D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）
（2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白
色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回
搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方
法不可行的是（）
A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”，“红”然后反复抽取
B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取
C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取
D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面积为红色的2倍，然后反复转动转盘
四、课堂小结：畅所欲言。
教学反思。