北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习
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1 PPT-北邮随机信号分析第3章(随机过程的线性变换)2017 (1)
信号处理系统输出信号基本定理分析方法限带过程系统设计第3章随机过程的线性变换第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹ 3.1.1 变换的基本概念n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n⏹随机过程的变换n⏹定义给定一个随机过程X (t )，按照某种法则，对它的每一个样本函数x (t )，都指定一个对应函数y (t )，得到一个新的随机过程Y (t ) ，记为：T 就叫做从随机过程X (t ) 到Y (t ) 的变换。
TY t ()X t ()Y t ()=T X t ()⎡⎣⎤⎦ x 1t () x 2t () x 3t ()x 4t ()y 1t ()y 2t () y 3t ()y 4t ()n⏹线性时不变变换LY t () X t ()Y t ()=L X t ()⎡⎣⎤⎦ L A 1X 1t ()+A 2X 2t ()⎡⎣⎤⎦=A 1L X 1t ()⎡⎣⎤⎦+A 2L X 2t ()⎡⎣⎤⎦Y t +ε()=L X t +ε()⎡⎣⎤⎦n⏹时不变性：n⏹线性：其中A 1, A 2为随机变量，X 1(t ), X 2(t )为随机过程。
第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹ 3.1.1 变换的基本概念n⏹ 3.1.2 线性变换的基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n⏹定理1若，其中L 是线性变换，则。
通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理(第3章)
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习53页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
【北邮考研通信原理课件】第三章 随机过程
3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t
北邮杨鸿文老师通信原理讲义-3
这就是(7.3.19)式。它可以严格证明（证明从略） 。 一个无限长信源序列真正包含的信息量每符号只有 H ∞ ( X ) 这么多， 但用最简单的方法 表示时平均每符号需要 H 0 ( X ) 个比特，冗余了 H 0 ( X ) − H ∞ ( X ) 比特，冗余的程度为
R=
H0 ( X ) − H∞ ( X ) H∞ ( X ) ，称此为冗余度或者相对剩余度。又称η = 为信源效率。 H0 ( X ) H0 ( X )
我们举例来说明这些结果的含义。设有一篇文章有 10 万汉字。假设汉字共有 8000 个， 则这篇文章表达成二进制需要 10 × log 2 8000 ≈ 162kByte ，但如果汉字的冗余度是 68%，
4
那么我们可以指望用大约 52kByte 来保存这篇文章。
1/1
<清北启航
>
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<清北启航
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<清北启航
北京邮电大学电信工程学院 《通信原理 II》
>
Lecture Notes-3-2005/02/28
一 信道的概念
指所研究问题中从发送端到接收端之间的一切环节。 不同的情 信道是一个抽象的概念， 景下， “发送端”和“接收端”所指不同，因而信道的含义也不同。例如在某个无线通信系 统中， 发送天线到接收天线之间的电波传遍空间是信道， 这个信道也叫狭义信道或者传输媒 质。调制器输出到解调器输入的一切环节是信道，这个信道也叫调制信道，它包含了上下变 频器、放大器、收发滤波器、收发天线、传输媒质等环节。从编码器的输出到译码器输入的 一切环节也是信道，这个信道叫编码信道，它包括了调制解调器以及调制信道。
1. 恒参信道与随参信道
如下图所示。 这里发送信号或者接收信号可能是模 发送信号经过信道成为了接收信号， 拟信号（时间连续、取值连续） ，也可能是数字信号（时间离散、取值可能连续或者离散） 。 注意取值连续的数字信号可以理解为进制数趋于无限的情形。
R=
H0 ( X ) − H∞ ( X ) H∞ ( X ) ，称此为冗余度或者相对剩余度。又称η = 为信源效率。 H0 ( X ) H0 ( X )
我们举例来说明这些结果的含义。设有一篇文章有 10 万汉字。假设汉字共有 8000 个， 则这篇文章表达成二进制需要 10 × log 2 8000 ≈ 162kByte ，但如果汉字的冗余度是 68%，
4
那么我们可以指望用大约 52kByte 来保存这篇文章。
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北京邮电大学电信工程学院 《通信原理 II》
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Lecture Notes-3-2005/02/28
一 信道的概念
指所研究问题中从发送端到接收端之间的一切环节。 不同的情 信道是一个抽象的概念， 景下， “发送端”和“接收端”所指不同，因而信道的含义也不同。例如在某个无线通信系 统中， 发送天线到接收天线之间的电波传遍空间是信道， 这个信道也叫狭义信道或者传输媒 质。调制器输出到解调器输入的一切环节是信道，这个信道也叫调制信道，它包含了上下变 频器、放大器、收发滤波器、收发天线、传输媒质等环节。从编码器的输出到译码器输入的 一切环节也是信道，这个信道叫编码信道，它包括了调制解调器以及调制信道。
1. 恒参信道与随参信道
如下图所示。 这里发送信号或者接收信号可能是模 发送信号经过信道成为了接收信号， 拟信号（时间连续、取值连续） ，也可能是数字信号（时间离散、取值可能连续或者离散） 。 注意取值连续的数字信号可以理解为进制数趋于无限的情形。
通信原理第3讲随机过程
脉冲噪声产生原因
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
北京邮电大学 移动通信原理课件完整版
14
BUPT Information Theory & Technology Education & Research Center
• 就接入网而言，客观上看可分为有线接入与无 线接入，这里仅讨论无线接入，再细致一些无 线接入又可分为室内无线接入比如红外、蓝牙 等；小范围的无线局域网接入比如IEEE802.11 系列等；中等及大范围的蜂窝移动接入和覆盖 全球的卫星接入。 • 本书讨论内容仅限于陆地系统的蜂窝移动网， 它是实现宏伟的个人通信蓝图的第一步，仅这 一步目前已经历了第一代(1G)、第二代(2G)系 统，正在向第三代(3G)系统过渡。
第一章 绪 论
• §1.1 移动通信的主要特点
• 移动通信是通信领域中最具有活力，最具有发 展前途的一种通信方式。它是当今信息社会中 最具有个性化特征的通信手段。它的发展与普 及改变了社会也改变了人类的生活方式，它让 人们领悟到现代化与信息化的气息。 • 移动通信，顾名思义其最本质的特色是“移动” 二字，就是说这类通信不是传统静态的固定式 通信，而是动态的移动式通信。
2
BUPT Information Theory & Technology Education & Research Center
• 传统的固定式通信，又称为有线通信。它的最 大特点是静态的，信道是封闭的，且是人造 的，从而是优质的。它的最大缺点是缺乏动态 性，不适应现代人快节奏的生活需求，特别是 快速移动的需求。 • 无线通信针对上述静态的缺点，以开放式传播 来传递信息，它的代价是牺牲了全封闭式的优 质人造信道，换取了无需采用固体介质专用线 路的开放式传输的灵活性，但是信道的开放性 必然引起了信道的时变性和随机性，从而大大 降低了通信容量和质量。
通信原理 随机过程 ppt
误差函数
2 erf x π
互补误差函数
x
0
exp t dt
2
(3.3 - 11)
2 erfc x 1 - erf x π
x
exp t
dt
2
(3.3 - 13)
当x 1时， erfc x
1 x π
e
x2
安庆师范学院物理与电气工程学院
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
如果存在
F1 ( x1; t1 ) P (t1 ) x1
(3.1 1)
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1 x2
(3.3 - 14)
7
3.1 概率分布知识回顾 8正态随机变量
Q函数
f(t)
1 Q x 2π
x
t2 exp dt x 0 2 (3.3 15)
称为Q函数
0x
t
F ( x)
1 2
t2 1 exp 2 dt 1 2 1 Q( x)
方差特性：
D[c] 0, c为常量 D[cX ] c 2 D[ X ] X , Y相互独立 : D[ X Y ] D[ X ] D[Y ]
c. 协方差：C[XY]表示X和Y之间相关性强弱的数字特性
C[ XY ] E[( X a X )(Y aY )]
2 erf x π
互补误差函数
x
0
exp t dt
2
(3.3 - 11)
2 erfc x 1 - erf x π
x
exp t
dt
2
(3.3 - 13)
当x 1时， erfc x
1 x π
e
x2
安庆师范学院物理与电气工程学院
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
如果存在
F1 ( x1; t1 ) P (t1 ) x1
(3.1 1)
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1 x2
(3.3 - 14)
7
3.1 概率分布知识回顾 8正态随机变量
Q函数
f(t)
1 Q x 2π
x
t2 exp dt x 0 2 (3.3 15)
称为Q函数
0x
t
F ( x)
1 2
t2 1 exp 2 dt 1 2 1 Q( x)
方差特性：
D[c] 0, c为常量 D[cX ] c 2 D[ X ] X , Y相互独立 : D[ X Y ] D[ X ] D[Y ]
c. 协方差：C[XY]表示X和Y之间相关性强弱的数字特性
C[ XY ] E[( X a X )(Y aY )]
第3章_随机过程
偶函数
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
2013-8-1
通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
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通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
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通信原理
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北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习共53页文档
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
学习
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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E( X Y ) E( X ) E(Y )
E(XY)称相关函数
物理意义
描述两维随机变量(X,Y)的相互关系
几个概念
独立
f(x,y)=f(x)f(y)
不相关
COV(X,Y)=0
正交
E(XY)=0
3.2 随机过程
一、概念 二、统计特性
一、概念
样本函数：
样本空
S1
间
随机过程
S2
x1(t)
2
P ()d
A2 2
3.4 高斯随机过程与高斯白噪声
信道中的噪声
脉冲噪声 窄带噪声
起伏噪声
热噪声 散弹噪声 宇宙噪声
起伏噪声为高斯随机过程
一、 高斯随机变量
的一个实现 Sn
t
随机过程：
x2(t)
样本函数
的集合
t (t)
任意时刻 的取值为随 机变量
xn(t) t
tk
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角 度，用概率分布和数字特征来描述。
二、统计特性
概率分布 数学期望（均值） 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布
随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机变量， 则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1 的概率为ξ(t)的一维概率分布函数：
的问题大为简化。
例题(例3-1)
设一个随机相位的正弦波为 (t) Acos(ct )
其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随 机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。
【解】
(1)先求(t)的统计平均值： A2
a(t) 0; R( ) cos c 2
(2) 求(t)的时间平均值
O
t
O
t
3.3 平稳随机过程及其特点
定义
若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概率 密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随机 过程 （严平稳）
特点
统计特性与时间起点无关（广义平稳的定义）
a (t)a;
R(t1,t2)R(τ)
特点(续)
各态历经性：设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统 计平均= x (t)的算术平均
F1(x1,t1) P{(t1) x1}
ξ (t)的一维概率密度函数：
f1 (x1 , t1 )
F1 ( x1 , t1 ) x1
概率分布(续)
ξ (t)的n维概率分布函数和n维概率密度 函数分别是：
Fn(x1, x2 xn;t1,t2 tn) P{(t1) x1,(t2) x2 (tn) xn}
定义
D( X ) E x E( X )2 [x E( X )]2 f (x)dx E ( X 2 ) E ( X )2
物理意义
表示随机变量与均值的偏离程度
方差一般也
2 X
表示，其平方根
X
称为标准方
用差
随机变量X的协方差
定义
C O V ( X , Y ) Ex E ( X )y E ( Y )
第三章 随机过程
随机变量 随机过程 平稳随机过程及其特点 高斯过程与高斯白噪声 随机过程通过系统 窄带高斯过程与窄带高斯白噪声 正弦波加窄带高斯噪声
3.1 随机变量
一、概念 二、统计特性
随机变量X，概率密度函数f(x) 三、数字特征
——数学期望 ——方差 ——协方差
随机变量X的数学期望
K02
功率谱曲线下的面积
-fH
O
fH f
例题
求随机相位正弦波ξ(t)=AcoΒιβλιοθήκη (wct+θ)的自相关函数
和功率谱密度,在(0, 2π)内均匀分布。
解：
证明(t)是广义平稳过程
求自相关函数
A2
R( ) cos
功率谱密度
P
()
A2
2
c 2 [ (
c
)
(
c
)]
平均功率
S R(0) 1
3. 方差
D((t)] E{(t) E[(t)]}2 2 (t)
物理意义：表示随机过程在某时刻的取值 （随机变量）对该时刻的期望的偏离程度
(t)
σ (t )
1(t) 2 (t) n (t)
t 0
4.协方差函数
B(t1,t2 ) E{[(t1) a(t1)][(t2 ) a(t2 )]}
fn (x1, x2
xn ;t1,t2
tn )
nFn (x1, x2 x1x2
xn ; t1, t2 xn
tn )
2.数学期望 （均值）
E[(t)]
xf1 (x,t)dx a(t)
物理意义：表示随机过程在各个时刻 的摆动中心（平均值）
(t)
a (t )
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
(3)比较统计平均与时间平均
特点(续)
以相关函数表示随机过程的物理特性
R(t1, t2 ) E[(t1 ) (t2 )] x1x2 f2 (x1, x2 ;t1,t2 )dx1dx2
ξ(t)的平均功率：S = E[ξ2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞)
lim a a
1 T 2 x(t)dt
T T
T 2
lim R() R()
1 T 2 x(t)x(t )dt
T T
T 2
意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所
有可能状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样
本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使
“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算
相关函数其他性质
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0) R(0)为上界
特点(续)
以相关函数表示随机过程的频域特性
ξ(t)的功率谱： P ()
R( )e jd
即：P () R()
维纳-辛钦关系
ξ(t)的平均功率：
S 1
2
P
()d
P ( f )df
Po()
即：平均功率=
n0 2
定义
E(X ) xf (x)dx
物理意义
表示随机变量的均值
性质
C是常数，则E(C)=C。
C是常数，则E(C·X)=C·E(X)。
X、Y是任意两个随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
X、Y是两个互相独立的随机变量， 则 E(X·Y)=E(X)·E(Y)。
随机变量X的方差
物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系
5.相关函数
R(t1,t2 ) E[(t1)(t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
物理意义：表示随机过程在两个时刻的
取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓， 两个时刻取值的相关性越大，R值越大
s(t)
s(t)