积分变量变换的应用
4二重积分的变量交换
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2()
A
②二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd o
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
常见区域D'的确定
y
(1)D : x2 y 2 2Rx (如图)
r 2 2Rr cos
O R 2R x
D : , 0 r 2R cos
2
2
y
2R
(2)D : x2 y 2 2Ry (如图)
R
r 2 2Rr sin
O
x
D : 0 , 0 r 2Rsin
③二重积分化为二次积分的公式（３）
习惯上：设 x x(u, v), y y(u,v)
(2)求出J (u, v) (x, y) (u, v)
若是设u u(x, y), v v(x, y), 求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
D
例 9 求广义积分 ex2dx .
0
2
D2 S
D1
ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy
D1
S
1 (1 ea2 ) (
a ex2 dx)2
D2
1 (1 e2a2 )
4
0
4
(2) 在 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
定积分的变量替换法
定积分的变量替换法是高等数学中一个非常重要的概念。
它可以将一个复杂的积分问题转化为一个容易求解的简单积分问题。
本文将从定积分的基本概念入手，介绍变量替换法的原理和应用，并结合具体例子进行讲解。
一、定积分的基本概念在介绍变量替换法前，我们需要先了解一些定积分的基本概念。
定积分是数学中一种重要的概念，它可以表示曲线下面的面积。
因此，它在数学中有着非常重要的应用。
定积分的表达式为：$$\int_a^bf(x)dx$$其中，$a$和$b$为定积分的上下限，$f(x)$为被积函数。
二、变量替换法的原理和应用在解决一些复杂的积分问题时，我们可以使用变量替换法。
变量替换法的基本思想是将被积函数中的自变量进行一些变换，从而将原问题转化为一个更加容易求解的积分问题。
变量替换法的核心是利用函数的连续性和单调性。
对于一个一元函数$f(x)$，如果它在某个区间上是连续且单调的，那么我们可以找到一个函数$g(x)$，使得$g(x)$在这个区间上的导数存在且不为0，并且$f(x)$可以表示为$g(x)$的复合函数形式$f(g(x))$。
这时，我们可以进行如下的变量替换：$$y=g(x)$$从而有：$$dy=g'(x)dx$$那么原来的积分问题就可以转化为以下问题：$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)dy$$也就是将原来的积分问题转化为了一个简单的积分问题，从而方便求解。
三、具体例子分析下面我们通过一个例子来说明变量替换法的具体应用。
求积分：$$\int_0^{\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}$$我们可以进行变量替换：令$y=x^2+1$，则$dy=2xdx$，从而有：$$\int_0^{\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2}\int_1^{4}\frac{1} {y}dy=\frac{1}{2}\ln4$$通过变量替换法，我们将原来的积分问题转化为了一个简单的积分问题，从而方便求解。
二重积分中的变量替换与面积计算
二重积分中的变量替换与面积计算在进行二重积分计算时，有时候我们需要进行变量替换来简化积分的计算过程。
本文将介绍二重积分中的变量替换方法，并结合实例说明如何进行面积计算。
1. 变量替换的基本原理在二重积分中，常常使用变量替换来改变积分区域的形状，从而使计算更加简便。
变量替换的基本原理是通过一个函数映射，将原来的变量替换为新的变量，从而改变积分的区域。
2. 变量替换的步骤（1）确定新的变量与原变量之间的映射关系。
（2）计算新变量在原变量范围内的取值范围。
（3）计算雅可比行列式，即求出原变量与新变量间的变换因子。
（4）进行变量替换，将原变量用新变量表达。
（5）改变积分范围，并进行求解。
3. 面积计算的实例下面通过一个具体实例来说明二重积分中的变量替换与面积计算。
例 1：计算曲线 y = x³与 y = 8x 的交点围成的面积。
解答：首先，我们需要求出两条曲线的交点，在此例中，交点即为方程x³= 8x 的解。
解得 x = 2。
然后，我们进行变量替换，令 u = x³，v = y。
根据变量替换的步骤，我们可以计算出雅可比行列式为 J = 3x²。
接下来，将原方程 y = 8x 转换为新变量 u 和 v 的形式，即 v = 8u^(1/3)。
根据变量替换，可得出交点坐标为 (u, v) = (8, 4)。
此时，在 u-v 平面上，交点形成一个闭合区域。
下一步，我们改变积分范围，将 x 的范围变为 u 的范围，即将 x 从 -∞ 到∞ 变为 u 从 0 到 8。
计算面积的二重积分为：S = ∬(u, v) dA = ∫(0-8) ∫(0-8^(1/3)) 3x² dy dx= ∫(0-8) 3x² (8u^(1/3)) dx= 24 ∫(0-8) x^(5/3) dx= 24 * (8/(5/3)) * (8^(5/3))= 768 * (8/5)因此，曲线 y = x³与 y = 8x 的交点围成的面积为 768 * (8/5) 平方单位。
重积分的变量变换.
o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
变限积分代换原理
变限积分代换原理一、引言在微积分中，变限积分代换原理是一种常用的解决复杂积分问题的方法。
通过引入新的变量和适当的代换，可以将原来的积分问题转化为更简单的形式，从而简化计算过程。
本文将介绍变限积分代换原理的基本概念、应用方法以及相关注意事项。
二、基本概念1. 变限积分变限积分是指积分的上限和下限是变量的情况。
与定限积分不同，变限积分需要考虑变量的变化对积分结果的影响。
2. 代换变量代换变量是指通过引入新的变量来替代原来的积分变量。
通过选择合适的代换变量，可以将原来的积分问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
三、应用方法1. 选择合适的代换变量在进行变限积分代换时，首先需要选择合适的代换变量。
这通常需要根据具体的积分问题来确定。
一般来说，可以选择使得代换后的积分表达式更简单的变量作为代换变量。
2. 进行代换变量的变换选定代换变量后，需要进行相应的变换。
这包括将原来的积分变量替换为代换变量，并对积分上限和下限进行相应的变换。
这样可以将原来的积分问题转化为只含有代换变量的积分问题。
3. 求解代换后的积分在进行代换变量后，可以根据变换后的积分表达式进行求解。
此时，变量的范围通常是代换变量的范围。
通过求解代换后的积分，可以得到原来变限积分的结果。
四、注意事项1. 确保变换的可逆性在进行变限积分代换时，需要确保代换的可逆性。
即变换前后的变量之间存在一一对应的关系。
这样才能保证变换后的积分与原来的积分等价。
2. 注意代换的边界条件在进行代换变量时，需要注意代换的边界条件。
即需要确定代换前后的积分变量的取值范围，并保证变换后的积分变量的取值范围与原来的积分变量的取值范围相对应。
3. 检查计算结果的合理性在求解代换后的积分时，需要检查计算结果的合理性。
特别是在进行复杂的代换变量时，可能会引入额外的误差或歧义。
因此，需要仔细检查计算结果，确保结果的准确性。
五、总结变限积分代换原理是一种常用的解决复杂积分问题的方法。
微积分中的积分变换和变量替换法
微积分是数学中的一个重要分支，其中的积分变换和变量替换法是解决复杂函数积分的关键方法之一。
在解决一些复杂的函数积分时，常常需要通过一些变换和替换来简化积分的求解过程。
本文将重点介绍微积分中的积分变换和变量替换法。
积分变换是一种将原函数转化为其他形式的函数的方法。
通过变换，可以使原函数在新的变量下形式简化，从而使积分的求解更加容易。
积分变换的基本思想是寻找一个适当的函数，将原函数与这个函数的导数相乘，并进行适当的组合。
这样，就得到了一个新的函数，其导数与原函数形成一定的关系。
利用这种关系，可以将原函数变换为新函数，并利用新函数进行积分的求解。
变量替换法是通过引入新的变量来简化积分的求解过程。
当原函数中的变量具有复杂的关系时，可以考虑引入新的变量，使得原函数在新的变量下形式简化。
变量替换的基本思想是通过适当的变量替换，使得原函数的积分变为一个具有已知积分形式的函数的积分。
根据新的变量关系，可以将原函数的积分转化为新函数的积分，从而简化了原函数积分的求解过程。
积分变换和变量替换法的具体应用可以归结为以下几种情况：1.倒置法：当函数的导数可以通过函数本身的倒数表达时，可以通过倒置法将积分转变为一个已知的函数的积分。
例如，当函数的导数为1/x时，可以通过倒置法将积分转变为ln|x|的积分。
2.三角函数替换法：当函数中包含三角函数的幂次或乘积时，可以通过三角函数替换法将积分转变为三角函数的积分。
例如，当函数中包含sin^2(x)或sin(x)cos(x)时，可以通过三角函数替换法将积分转变为三角函数的积分，然后利用三角函数的积分公式求解。
3.指数替换法：当函数中包含指数函数的幂次或乘积时，可以通过指数替换法将积分转变为指数函数的积分。
例如，当函数中包含e^x或e^(-x)时，可以通过指数替换法将积分转变为指数函数的积分，然后利用指数函数的积分公式求解。
通过积分变换和变量替换法，可以将复杂的函数积分转化为简单的函数积分，从而简化了积分的求解过程。
第一类积分换元法
第一类积分换元法第一类积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
通过巧妙地引入新的变量，可以将原来的积分问题转化为更易求解的形式。
以下将详细介绍第一类积分换元法的原理、步骤和应用。
首先，让我们来了解第一类积分换元法的原理。
在使用这种方法时，关键是要找到合适的替代变量。
设原函数为F(x)，要求的不定积分为∫f(x)dx。
我们通过引入新的变量u，将x表示为u的函数，即x=g(u)。
然后，我们对F'(x)进行变量替换，得到F'(x)dx=∫f(x)dx。
接下来，我们对F(u)进行求导，得到F'(u)du=∫f(g(u))g'(u)du。
此时，我们可以发现，如果选取u作为新的积分变量，那么f(g(u))g'(u)du就是我们要求的不定积分。
接下来，我们来具体讨论第一类积分换元法的步骤。
首先，选择适当的变换u=g(x)，使得f(x)dx可以表示为g(u)du。
其次，对u进行求导得到du/dx=g'(x)，可以解出dx=du/g'(x)。
然后，将原不定积分∫f(x)dx转化为新变量u的积分∫g(u)du。
最后，将得到的积分结果F(u)表示为关于原变量x的形式F(x)，即可求得所要的不定积分。
第一类积分换元法具有广泛的应用。
例如，在求解含有根式的积分时，通过引入新的变量可以将其转化为更简单的形式。
另外，对于一些复杂的三角函数积分，也常常可以通过合理的选择变量进行简化。
此外，在解决一些带有参数的积分问题时，第一类积分换元法也能够发挥重要的作用。
然而，需要注意的是，在实际应用中，选择合适的变量往往是比较困难的。
这要求我们对函数的性质有深入的了解，并能够灵活运用数学方法。
因此，在使用第一类积分换元法时，需要经过大量的练习和实践，才能熟练运用并解决相应的积分问题。
综上所述，第一类积分换元法是求解不定积分中常用且有指导意义的方法。
通过巧妙地引入新的变量，可以将原积分问题转化为更易求解的形式。
定积分变量代换积分上下限的问题
定积分变量代换积分上下限的问题定积分变量代换积分上下限的问题定积分变量代换是求解定积分的一个重要技巧，可以简化计算过程。
然而，在应用变量代换时，积分上下限的变化常常会导致新的问题，需要仔细处理。
以下是与此问题相关的常见问题及解释说明：1.如何进行变量代换？–变量代换是指通过引入新变量，将原积分中的积分变量换成新变量，以简化积分运算的过程。
通常我们会选择合适的代换变量，使得积分表达式中的某些部分可以进行简化。
2.变量代换后，积分上下限如何变化？–当进行变量代换时，积分上下限的变化是一个重要问题。
一般来说，变量代换会导致积分上下限的变化，新的上限和下限需要通过变量变换函数来计算。
常见的方法是将原积分上下限代入变量变换函数中，并进行相应的计算。
3.如何处理变量代换后的积分上下限？–在处理变量代换后的积分上下限时，需要注意两个问题：•a)上下限的变化：需要根据变量代换的具体形式，计算新的上下限，并与原积分上下限进行对应。
•b)上下限的顺序：在计算新的上下限时，需要保持积分上限大于积分下限的顺序，确保积分的区间是正确的。
4.举例：如何处理变量代换后的积分上下限？–假设我们有一个积分表达式∫[a,b] f(x) dx，需要进行变量代换为∫[c,d] g(t) dt，其中g(t) = h(x)，并已知变换函数关系式t = φ(x)。
在处理积分上下限时，可以按照以下步骤进行：•a)将a和b代入φ(x)得到c和d，即c=φ(a)，d=φ(b)。
•b)检查c和d的大小关系，确保c小于d。
•c)最后，将积分表达式变为∫[c,d] g(t) dt，并按照变量代换后的积分表达式进行计算。
总结：定积分变量代换是简化定积分计算的重要技巧，但在应用变量代换时需要注意积分上下限的变化。
我们需要根据具体的变量代换形式来计算变换后的积分上下限，并确保上限大于下限的顺序。
通过合理处理变量代换后的积分上下限，可以更方便地进行定积分的计算。
定积分换元的注意事项
定积分换元的注意事项定积分换元是求解定积分的一种方法，通过引入新的变量来简化被积函数的形式。
在使用定积分换元时，需要注意以下几个方面。
1. 换元变量的选择：选择合适的换元变量是定积分换元的第一步。
一般情况下，应选择一个能够使被积函数的形式得到简化的变量。
常用的换元变量包括三角函数、指数函数、对数函数等，可以根据被积函数的形式和性质来选择合适的换元变量。
2. 变量的变换：选择了换元变量后，需要进行变量的变换。
这个变换通常是由原变量向新变量的一个函数关系。
变量的变换过程中，需要保证变换是可逆的，也就是可以通过新变量再回到原变量。
3. 边界的变换：在进行换元后，边界的变换也是需要注意的。
换元前后，被积函数的定积分区间可能发生改变。
需要将原积分区间的边界值用换元后的变量重新表示出来。
4. 计算新的微元：在进行变量的变换后，原先的微元dx也需要转换为新的微元。
根据变量的链式法则，dx和新变量的微元之间存在一定的关系。
通过对这个关系的确定，可以计算出新的微元，并在换元后的积分中使用新的微元进行计算。
5. 确定积分限：在换元后，需要确定新的积分上下限。
通常情况下，新的积分上下限可以通过将原积分上下限代入到变换后的积分变量中得到。
6. 反函数的使用：有时候，进行换元可能需要使用到原函数的反函数。
在这种情况下，需要确保所使用的反函数是存在并且可导的。
另外，还需要注意反函数的定义域和值域的合理性。
7. 验证换元结果：进行定积分换元后，得到的结果需要进行验证。
可以通过原函数或其他数值方法，比如数值积分或计算机软件来验证换元的正确性。
总结起来，定积分换元的注意事项包括选择合适的换元变量、进行变量的变换和边界的变换、计算新的微元、确定积分限、使用反函数以及验证换元的结果。
在进行定积分换元时，要仔细分析被积函数的性质，选择合适的方法，并进行必要的数学推导和计算，以确保结果的正确性。
数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时， 区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得 区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得 区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知， 积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。
二重积分的变量变换课件
柱坐标变换案例
总结词
柱坐标变换适用于处理二重积分中与圆有关的积分问题，通过柱坐标系可以将二重积分转化为更易于计算的形式 。
详细描述
柱坐标变换是指将直角坐标系中的点$(x, y)$转换为柱坐标系中的点$(r, varphi, z)$，其中$r$表示点到原点的距 离，$varphi$表示点与x轴的夹角，$z$表示点在垂直方向上的高度。通过柱坐标变换，可以将二重积分中的$x$ 和$y$变量转换为$r$、$varphi$和$z$变量，从而简化计算过程。
$int_{D_1}f(x,y)dxdy+int_{D_2}f(x,y)dxdy=int_{D _1cup D_2}f(x,y)dxdy$。
积分的上、下限的变换
$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{ c}^{b}f(x)dx$。
二重积分的几何意义
表示体积
球坐标变换
01
球坐标变换公式
$x = rhosinthetacosphi, quad y = rhosinthetasinphi, quad z =
rhocostheta$
02
应用场景
当积分区域为球体或球壳时，使用球坐标变换可以简化积分计算。
03实例Βιβλιοθήκη 析计算$intint_{D} (x^2 + y^2 + z^2)^2 dxdydz$，其中D为球心在原
变量变换的精度问题
确定变换的近似程度
在进行变量变换时，需要考虑变换的 近似程度，以确保计算结果的精度。
考虑数值稳定性
在计算过程中，需要考虑数值稳定性 ，以避免计算误差的累积导致结果偏 离真实值。
变量变换的误差分析
换元法求定积分
换元法求定积分换元法是一种常用的求定积分的方法，它是通过一个变量的变换来将原函数转化成更容易处理的形式，从而求得定积分的值。
换元法通常包括以下几个步骤：1. 找到一个适当的变量替换。
2. 将原函数用新的变量表示，并将其微分。
3. 将变量限制在一个区间内，并将原函数限制为一个函数表达式。
4. 求得积分。
下面我们将详细介绍每一步的具体操作方法。
1. 找到一个适当的变量替换变量替换是换元法的第一步，它往往是根据题目给出的条件或者数学规律来变换的。
一般来说，变量替换应该满足以下几个条件：1. 原函数用新变量表示后应该更容易处理。
2. 新变量的微分应该与已知函数的微分形式相似。
3. 新变量的变换范围应该与原函数的定义域相同或相似。
例如，对于下面这个积分式：$$\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos^3(x)dx$$我们可以根据三角函数的和差公式将$\sin(x)$和$\cos(x)$表示为$\sin(2t)$和$\cos(2t)$的形式，然后采用变量替换$t=x/2$，将原函数转换为：2. 将原函数用新的变量表示，并将其微分在确定变量替换后，我们需要将原函数用新的变量表示。
例如，在上面的例子中，我们将$x$变量替换为$t=x/2$，则有：$$dx=2dt$$3. 将变量限制在一个区间内，并将原函数限制为一个函数表达式在确定了新变量的表示形式后，我们需要将其限制在一个区间内，并将原函数限定为一个函数表达式。
例如，在上述例子中，我们将$t$限定在$[0,\pi/4]$的范围内，将$\sin(2t)\cos^2(2t)$表示为求解的函数表达式。
4. 求得积分最后一步是求解积分。
在变量替换、换元之后，我们可以得到一个新的积分式。
通过该式子我们可以求解积分的值。
$$\int_0^{\pi/4}\sin(2t)\cos^2(2t)dt=\frac{1}{3}\cos^3(2t)|_0^{\pi/4}=\frac{1} {3}$$。
微分转换知识点总结
微分转换知识点总结一、变量变换1. 自变量变换自变量变换是指将微分方程中的自变量用一个新的自变量代替，以便将微分方程转化为积分形式。
常见的自变量变换包括：（1）替换变量对于形如dy/dx=f(x)的一阶微分方程，当某个因子的导数恰好等于另一个因子时，我们可以通过替换变量的方法将方程转为变量可分离的形式。
例如，对于微分方程dy/dx=2x/y，我们可以令u=x^2，v=y^2，进而将原方程转化为du/dv=2。
（2）适当的代入有时候，我们可以通过适当的代入来实现自变量的变换。
例如，对于微分方程dy/dx=x/y，我们可以令u=x/y，然后将原微分方程转化为变量可分离的形式进行求解。
（3）三角代换对于一些含有三角函数的微分方程，我们可以通过适当的三角代换来使微分方程的自变量转变为三角函数的倍角或半角。
2. 因变量变换因变量变换是指将微分方程中的因变量用与原因变量不同的函数代替，以便将微分方程转化为一个已知的形式。
常见的因变量变换包括：（1）替换因变量在一些情况下，我们可以通过替换因变量来将已知的微分方程转为更为简单的形式，进而更容易求解。
例如，对于微分方程dy/dx=ky，我们可以令u=y^2，然后将原微分方程转化为变量可分离的形式进行求解。
（2）适当的代入有时候，我们可以通过适当的代入来实现因变量的变换。
例如，对于微分方程dy/dx=ky，我们可以令u=ln(y)，然后将原微分方程转为线性微分方程进行求解。
3. 组合变换有时候，我们需要同时进行自变量和因变量的变换才能将微分方程转化为更简单的形式。
这种情况下，我们需要先进行自变量变换，然后再进行因变量变换。
二、方程变换1. 积分形式的变换对于一阶微分方程，我们可以通过变换将积分形式的微分方程转为标准形式，从而更容易求解。
常见的积分形式的变换包括：（1）适当的积分有时候，我们可以通过适当的积分将给定的微分方程变为已知的形式。
例如，对于微分方程dy/dx=f(x)，我们可以将积分转为求逆运算的方式，从而得到原微分方程的解。
[理学]重积分的变量代换
![[理学]重积分的变量代换](https://img.taocdn.com/s3/m/2e6e107ebe23482fb4da4cde.png)
0 ≤θ ≤ 2π
⎛ r2 ⎜ ⎜ 2a − r − a ⎝
⎞ ⎟ ⎟r d r d θ ⎠
= ∫0
2π
⎛ r2 dθ ∫ ⎜ 2a − r − 0 ⎜ a ⎝
因此所求的面积为
2 ∫∫ dxdy = 2∫∫ abrdrdθ =2∫ dθ
D D1 2 0
π
∫
ab sin θ cosθ c2
0
abrdr
a 2b 2 = 2 c
2 2 a b 2 。 sin θ cos θ d θ = 2 ∫0 2c矩形，由于区域 D 具有 零边界，当分割充分细的时候，与区域 D 边界相交的小矩形的面积之 和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。 定义 13.3.1 或
x = r cos θ , y = r sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r < +∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时
∂( x, y ) cosθ = ∂(r ,θ ) sin θ − r sin θ =r。 r cosθ
例 13.3.3 计算 ∫∫ sin(π x 2 + y 2 )dxdy ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} 。
T ( D)
∫∫
f ( x, y ) d x d y = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
D
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u, v)
显然，当 f ( x, y ) ≡ 1 时，由以上定理得
三重积分变量替换公式的证明及应用
w ) , z ( u , v , w ) ) | J ( u , v , w ) | dudvdw 1
1 三重积分变量替换公式及证明
定理
[2]
的中值定理 , 有
S ( Vi ) =
设 f ( x , y , z ) 在空间区域 V 上连续 ,变
∫ ∫ ∫
V′
i
| J ( u , v , w ) | dudvdw
S V
所以
∮ ∫
S′
Pdvdw + Qdwdu + Rdudv =
∫ ∫ ∫
(
V′
5 P 5Q + + 5 u 5v
5 R) dudvdw 1 5w 所以
w) , z ( u , v , w) ] ・
5 ( x , y , z) dudvdw 1 5 ( u , v , w)
( 3)
由 ( 1) (3) 式 , 即得公式
一对一地映成 xyz 空间中的区域 V , x , y , z 关于 u , v ,
w 在 V′ 内有连续的二阶偏导数且它们的函数行列式
由 替 换 T 的 连 续 性 可 知 , 当 V′的 分 割 TV′:
V 1′ , V 2′ , …, V n ′的细度 ‖TV′ ‖ → 0 时 , V 相应的
F ( x , y , z ) dydz = ± 5u ∮ ∫ ∫ ∫ ∫
S V′
5 F 5 ( y , z) 5 ( v , w)
设曲 面 S′ 的参数 表达式为
u = u ( t , s) , v = v ( t , s) , w = w ( t , s) , ( t , s) ∈ D1
+
5 F 5 ( y , z) 5 F 5 ( y , z) + 5 v 5 ( w , u) 5 w 5 ( u , v)
二元函数求极限的积分换元法总结
二元函数求极限的积分换元法总结在数学中，求二元函数的极限是一种常见的问题。
为了解决这个问题，数学家提出了多种方法，其中之一就是积分换元法。
本文将对二元函数求极限的积分换元法进行总结并说明其应用。
积分换元法，也称为微分换元法，是一种常用的积分方法。
它基于变量代换的思想，通过引入新的变量来简化被积函数的形式。
在二元函数求极限的问题中，积分换元法同样可以发挥巨大的作用。
首先，我们来回顾一下一元函数的积分换元法。
对于函数$f(x)$和变量$x$，如果我们引入一个新的变量$t$，并假设$x$是$t$的函数，即$x=g(t)$，那么由链式法则可知$dx=g'(t)dt$。
通过这样的变换，我们可以将积分$\int f(x)dx$转化为$\int f(g(t))g'(t)dt$。
这个过程就是积分换元法的基本思想。
对于二元函数的积分换元法，我们同样可以采用类似的思路。
假设我们有一个二元函数$f(x,y)$，并需要求它关于$x$的积分。
首先，我们引入一个新的变量$t$，假设$x=g(t)$。
然后，我们可以将原来的二元函数$f(x,y)$表示为$F(t,y)$，其中$F(t,y)=f(g(t),y)$。
接下来，我们计算$dx=g'(t)dt$，并将其代入原积分中，得到$\int f(x,y)dx=\int F(t,y)g'(t)dt$。
最后，我们对得到的一元函数积分进行求解，就可以得到原二元函数关于$x$的积分结果。
通过积分换元法，我们可以将原本复杂的二元函数关于$x$的积分问题转化为一元函数关于$t$的积分问题，从而更方便地进行求解。
但需要注意的是，在进行积分换元时，选择合适的变量代换是至关重要的。
合理的变量代换可以使得被积函数的形式更为简单，从而降低求解难度。
此外，积分换元法还可以在求解二元函数的极限问题中发挥作用。
对于给定的二元函数$f(x,y)$，我们常需要求其在某一点$(a,b)$处的极限。
三重积分的变量代换
f (x, y, z)dxdydz f [x(u,v, w), y(u,v, w),z(u,v, w)]J dudvdw.
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例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:
( a 1 x b 1 y c 1 z ) 2 ( a 2 x b 2 y c 2 z ) 2 ( a 3 x b 3 y c 3 z ) 2 h 2 , a1 b1 c1
z
ra3cosa
4 2 d
2sin d
a 3 cosr2 dr
0
0
0
r
3 2a30 2sincod s
1
3
y
a3
x
dvr2sin drdd
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轮换对称性：
若积分区域Ω的表达式中将 x, y, z 依次轮换,表达式 不变,则称Ω关于 x, y, z 轮换对称. 此时有
f(x, y,z)dv f(y,z,x)dvf(z,x,y)dv.
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例4. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中
为锥 z面 x2y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
: 04
0 2
4
(x 2y2z2)d xdyd z
oy
2
d
4sin d
Rr4 dr
x
0
0
0
1R5(2 2)
dvr2sin drdd
z
直角坐标与球面坐标的关系
积分变量变换公式的类比和应用
积分变量变换公式的类比和应用
积分变量变换公式可以用来把一种复杂的积分变为简单的形式，便于进行计算。
常见的积分变量变换有几何变换、数学变换和物理变换等。
积分变量变换公式可以用于多维空间中描述特殊力学关系，如量子力学中的Schrödinger方程、分析力学中的
物理变换以及热力学中的传热反应关系等。
在数学中，积分变量变换公式可用于求解不可积分方程，它可以把不可积分方程变为可积分方程，便于进行求解。
在生物学中，积分变量变换公式可以用来分析生物系统中的各种复杂现象，如生物发展过程、分子运动、转录过程等。
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积分变量变换的应用嘉应大学 数学学院083班 廖礼敏 专业：数学与应用数学 学号：2080111322中文摘要：首先总结了已有的不定积分和定积分的换元积分法的应用，并对所获得的结果进行了应用。
关键词：不定积分；定积分；换元积分法；正文：一、不定积分换元积分法：求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多，因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。
1、换元积分法的基本思想应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。
其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。
回顾复合函数的微分手法，是将复合函数[()]f x ϕ的复合变量替换为简单变量()x u ϕ=，然后应用简单函数的微分方法得()'()df u f u du =，应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分：[()]() () ()f x d x x u f u du ϕϕϕ=⎰⎰于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。
第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：()x u ϕ=，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分；第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：()x u ϕ=，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。
下面分别进行分析。
一、第一类换元法1、第一类换元法的积分思路第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础上，依赖直接积分法去最终完成积分。
或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。
换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。
2、第一类换元法的基本公式定理1 设()f u 具有原函数，()u x ϕ=可导，则有换元公式[()]() () ()f x d x x u f u du ϕϕϕ=⎰⎰或为 [()]'() () ()f x x dx x u f u du ϕϕϕ=⎰⎰公式的要点：①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构：[()]()f x d x ϕϕ⎰ 或 [()]'()f x x dx ϕϕ⎰②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数[()]f x ϕ的第一中间变量()x ϕ，一个是微分函数()d x ϕ中的待微分函数()x ϕ。
③换元后得到的积分式()f u du ⎰必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。
3、第一类换元积分法的步骤分解第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。
为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。
第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。
下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。
第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法第一换元法要求被积函数具有结构特征：[()]()f x d x ϕϕ⎰ 或 [()]'()f x x dx ϕϕ⎰亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分：①复合函数[()]f x ϕ；②该复合函数中间变量()x ϕ的微分()d x ϕ或'()x dx ϕ，注意：这里所指的中间变量，与求复合函数导数内容中的中间变量是一致的，专指去掉函数最外层后所得到的复合变量。
于是，积分的第一步，就是要求被积函数可分解为具有上述特征的两个部分。
若不能实现上述分解，则不可应用第一类换元积分法进行积分。
由于第一类换元积分法要求被积函数中含有复合函数[()]f x ϕ，所以又可以将第一类换元积分法称为复合函数积分方法。
【例1】积分2⎰可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式2可分解为复合函数与微分部分2xdx 之积，该微分部分恰为其中间变量21x +的微分2(1)2d x xdx +=，符合第一换元积分公式的结构特征，说明可以应用第一换元法进行积分。
【例2】积分⎰可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式与微分部分xdx 之积，该微分部分与其中间变量21x +的微分2(1)2d x xdx +=对比仅差一常数倍2，由于⎰可变形为122⎰，由上【例1】知，该积分可以应用第一换元法进行积分。
【例3】积分x ⎰可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式x 与微分部分2x dx 之积，该微分部分与其中间变量21x +的微分2(1)2d x xdx +=对比相差一变量x ，不符合第一换元积分公式的结构特征，于是该积分不可以应用第一换元法进行积分。
注意：①可以对积分号内外乘、除同一常数，使其符合公式结构要求；②不可将积分式中的变量抽到积分符号外面，或对积分号内外乘、除同一变量，强行将积分式“整理”成为结构上符合第一换元法要求的形式！第二步骤：凑微分——将积分式整理成为换元前的形式第一类换元法在将积分式整理为可换元形式[()]()f x d x ϕϕ⎰时常须进行凑微分。
凑微分，即为将积分式中的微分部分()h x dx ，整理成为中间变量()x ϕ的微分形式()d x ϕ时所应用的运算手法。
运算时，将微分部分与中间变量的微分结果相对比，是“凑”的关键。
正因为第一类换元积分法的这一重要而关键的运算手法，常将第一类换元积分法称为凑微分法。
【例4】对积分2⎰进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。
【解】积分式中的微分部分为2xdx ，的中间变量21x +的微分为2(1)2d x xdx += 两部分恰相等，即得22(1)x =+⎰【例5】对积分⎰进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。
【解】积分式中的微分部分为xdx ，的中间变量21x +的微分为2(1)2d x xdx +=，两部分相差一个常数2，将原积分式恒等变形，使得微分部分为2xdx ，即⎰122=⎰21(1)2x =+ 第三步骤：变量代换——将复合函数的可换元结构[()]()f x d x ϕϕ⎰代换为简单函数的积分()f u du ⎰。
第一类换元积分法的换元手段为：将复合函数[()]f x ϕ的中间变量()x ϕ，以及微分函数()d x ϕ中的变量()x ϕ，一致转换为简单变量u ，即令()x u ϕ=，将复合函数的积分[()]()f x d x ϕϕ⎰变换成为简单函数的积分()f u du ⎰，从而可通过直接积分解决问题。
第一类换元积分法正是由此而得名。
【例6】对积分⎰进行换元，将积分式转换为简单函数的积分。
【解】⎰21(1)2x =+2 1 x =u +12=为简单函数的积分。
注意：第三步骤中，被积函数能否转换成简单函数，是成功积分的关键。
而这一转换的关键，又在于函数关系f ( )是否为最外层的。
第四步骤：直接积分——应用直接积分法进行积分 这是回到本章第一节的内容——直接积分法。
注意：积分符号“∫”消失的同时，应在积分结果的末尾加上不定常数“C ”。
【例7】求12。
【解】121212u du =⎰3213u C =+第五步骤：变量回代——对积分结果恢复原积分变量即：将简单函数的积分结果作变量回代()u x ϕ=，恢复原积分变量。
注意：若积分的最终结果中，函数变量与原来的变量不相一致，则属于错误的结果。
至此，得到⎰的积分全过程：【例8】求解⎰。
【解】⎰122xdx =---- ①检查并配型21(1)2x =+ ---- ②凑微分2 1 x =u +12 ---- ③换元3213u C =+ ---- ④直接积分 21 u =x +3221(1)3x C ++ ---- ⑤变量回代4、第一类换元积分法要点归纳⑴第一类换元积分法的主要思路，是通过将复合函数的中间变量置换成为简单变量，使含复合函数的被积式转换成为简单函数的被积式，达到可应用直接积分法的目的，从而解决含复合函数的积分。
因此，第一换元法也可称为含复合函数的积分方法。
⑵第一类换元积分法在对中间变量进行置换前，首先应检查被积式的结构特征。
检查的结果无非为如下三种情况：假设含复合函数的积分为[()]()f x h x dx ϕ⎰，于是①中间变量的微分()d x ϕ与被积式中的微分部分()h x dx 完全一致，则直接将()h x dx 转换成()d x ϕ；②中间变量的微分()d x ϕ，与被积式中的微分部分()h x dx 仅相差一个常数倍A ，则将()h x dx 作恒等变换，()h x dx ()Ad x ϕ=；③中间变量的微分()d x ϕ与被积式中的微分部分()h x dx 不一致，且存在变量的差异，则第一类换元法失效或分析有误(可能对中间变量选择错误)。
综上所述，第一换元法的特征判断、凑微分和变量代换这三个主要步骤，目标就是为使置换后的积分可以进行直接积分。
若实现不了这个目标，则说明第一换元法失效或中间变量的设置失当。
例如：【例9214x -，则21(14)8x =-- 2 14 x =u -18=-为简单函数的积分； 而的中间变量是2x ，则1(2)2x =2 x=u12=为简单函数的积分，但若后一积分也用214x -作中间变量，则无法进行一致换元成为简单函数的积分。
硬换会成为2 14x =u -⎰，导致积分函数的变量u 与积分变量x 不一致，无法正确积分。
二、定积分的换元积分法：由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在《数学分析》中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 20525⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx （注去绝对值时注意符号．） =⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．参考文献：《数学分析》上册第三版，《高等数学》。