雨量预测

雨量预测的数学模型
摘要
本文拟采用灰色GM (1 , 1) 模型对降雨量进行预测, 进而采用Markov 链修正, 建立降雨量预测模型。

再建立模糊综合评价模型来评估预测模型。

问题一、将已知的降雨量组成一灰色系统, 利用灰色GM (1 , 1) 模型建立降雨量的预测理论模型。

灰色GM (1 , 1) 模型主要用于时间短、数据少、波动小的预测问题。

它要求预测的数据序列的几何图形呈单调递增或递减, 因而对随机波动性较大的数据序列拟合性较差, 故预测精度也低; 而Markov 链预报的对象为一随机变化的动态系统, 它主要是根据研究对象的不同状态之间的概率转移来推测系统的未来发展变化。

转化概率反映了各种随机因素的影响程度, 因而Markov 链适合随机波动大的预报问题。

在这一点上它恰好弥补了GM (1 , 1) 模型的局限性。

由于降雨量的预报问题为随时间变化而呈某种变化趋势的非平稳随机过程, 并受各种随机因素的影响, 因此灰色GM (1 , 1) 对降雨量的预测结果总是要围绕某一变化趋势产生偏差、跳跃、摆动。

因此在灰色预测的基础上, 与Markov 链耦合建立了修正降雨量的理论预测模型。

问题二、若按等级雨量预报，考虑公众的满意度，我们建立如下模糊综合评价模型：
i i i B A R =
，其中i A =（12,,a a …，7a ），i R =11
12212271
72r r r r r r ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，E H B = ，并结合我市气象
局有经验的专家进行评估赋值，通过计算得出如下结论：公众对有雨、无雨满意度比较好，对大雨量等级预报满意度比较低。

应用我们所建立的模型分析计算得出，对雨量等级预报相当准确，但对大雨量等级预报方面存在较大的误差，并且等级越大，误差越大，说明这两种方法在大雨量等级预报准确率上有待进一步提高。

关键词:灰色GM (1 , 1) 模型 Markov 链 模糊综合评价模型
一、问题重述
雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。

某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。

同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。

在文件夹MEASURING中，气象部门提供了41天的实测数据，包含了41个名为<日期>.SIX的文件，如150218.SIX表示2015年2月18日晚上21点开始的连续4个时段各站点的实测数据（雨量）。

在FORCAST文件夹中,气象部门提供了他们所用的二组不同方法所得的预报数据,其余文件名为<f日期i>_dis1和<f日期i>_dis2，例如f2181_dis1中包含2015年2月18日晚上20点采用第一种方法预报的第一时段数据（其2491个数据为该时段各网格点的雨量），而f2183_dis2中包含2015年2月18日晚上20点采用第二种方法预报的第三时段数据。

此处,雨量以毫米为单位计，小于0.1毫米视为无雨。

要求:
(1)建立一个6小时雨量预报模型,根据你的预报模型在2015年3月29日20点给出
下4个时段各网格内点6小时雨量预报；(所谓网格内点,是指网格点集中除去边界上的点)
(2)气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，
6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1
毫米为特大暴雨。

若按此分级向公众预报，评估你的预报模型与气象台所提供的3月份的2种预报给公众的感受.
二、问题分析
2.1 问题一的分析
将已知的降雨量组成一灰色系统, 利用灰色GM (1 , 1) 模型建立降雨量的预测理论模型。

灰色GM (1 , 1) 模型主要用于时间短、数据少、波动小的预测问题。

它要求预测的数据序列的几何图形呈单调递增或递减, 因而对随机波动性较大的数据序列拟合性较差, 故预测精度也低; 而Markov 链预报的对象为一随机变化的动态系统, 它主要是根据研究对象的不同状态之间的概率转移来推测系统的未来发展变化。

转化概率反映了各种随机因素的影响程度, 因而Markov 链适合随机波动大的预报问题。

在这一点上它恰好弥补了GM (1 , 1) 模型的局限性。

由于降雨量的预报问题为随时间变化而呈某种变化趋势的非平稳随机过程, 并受各种随机因素的影响, 因此灰色GM (1 , 1) 对降雨量的预测结果总是要围绕某一变化趋势产生偏差、跳跃、摆动。

因此在灰色预测的基础上, 与Markov 链耦合建立了修正降雨量的理论预测模型。

2.2 问题二的分析
若按等级雨量预报，考虑公众的满意度，我们建立如下模糊综合评价模型： i i i B A R =
，其
中i A =（12,,a a …，7a ），i R =11
1221
227172r r r r r r ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，E H B = ，并结合我市气象局有经验的专家进行
评估赋值，通过计算得出如下结论：公众对有雨、无雨满意度比较好，对大雨量等级预报满意度比较低。

三、问题假设
1、假设预测范围内所选取的点具有代表性，过度比较平稳，且符合一定分布
2、假设气象站观测仪器的误差以及人为致错的因素为零
3、假设小区域内地貌对降雨分布影响较小，不做考虑
4、假设权重赋值比较合理
5、因为网格均匀分布的，但实测站点的分布由于受地形影响，不能均匀分布，我们忽略站点位置与网格点的距离差别。

四、符号说明
i R 各单因素的评价矩阵
i B 第一层次单因素模糊综合评判矩阵
U
因素集
五、模型的建立
5.1问题一的求解：
5.1.1在灰色预测的基础上, 与Markov 链耦合建立修正降雨量的理论预测模型 已知的降雨量可组成一系统, 在此系统中, 过去的降雨量可通过测试获得, 而未来的降雨量则不可知, 因此该系统为一灰色系统, 可以采用灰色系统理论中的GM (1 , 1)模型对未来降雨量进行预测。

GM (1 , 1) 模型主要用于时间短、数据少、 波动小的预测问题。

它要求预测的数据序列的几何图形呈单调递增或递减, 因而对随机波动性较大的数据序列拟合性较差, 故预测精度也较低; 而Markov 链预报的对象为一随机变化的动态系统, 它主要是根据研究对象的不同状态之间的概率转移来推测系统的未来发展变化。

转化概率反映了各种随机因素的影响程度, 因Markov 链适合随机波动大的的预报问题。

在这一点上它恰好弥补了GM (1 , 1) 模型的局限性。

由于客观世界的预报问题多为随时间变化而呈某种变化趋势的非平稳随机过程, 并受各种随机因素的影响, 所以总是要围绕某一变化趋势产生偏差、跳跃、摆动。

如果采用灰色GM (1 , 1) 模型对预报问题的时间序列进行拟合, 找出它的变化趋势, 那么就可弥补Markov 链预报问题的局限。

这样, 在正常条件下, 当降雨量的时间序列呈不严格的指数规律变化时, 就可以把二者耦合起来对降雨量进行预测。

因此本文拟采用灰色GM (1 , 1) 模型对大气降雨量进行预测, 进而采用Markov 链修正, 建立降雨量预测模型。

5.1.2 GM ( 1 , 1) 预测模型 5.1.2.1模型的建立
GM (1 , 1) 模型的基本原理: 把随时间变化的一随机数据序列, 通过适当的方式累加, 使之变成一非负递增的数据序列, 用适当的曲线逼近, 以此曲线作为预测模型, 对系统进行预测。

GM (1 , 1) 模型的一般形式
时间响应
离散响应
式中, 为预测值的一次累加量; a , u 为实测数据所建模型的参数,将
做成一次累减即得预测值
1) 等时距GM (1 , 1) 模型
为非负序列,通过建模得到,做一次累减得到预测值
2) 不等时距灰色GM (1 , 1) 模型
在数据累加和累减过程中采用下列格式。

原始数据列为假设与之间的时距为
T( k) - T( k -1) ,其中T( k) 为相对应的与间的总时间间隔, k = 1 , 2 ,⋯, N , 则原始数据的一次累加式为:
使得为非负递增序列,作GM(1 ,1) 预测得到预测值的累加量,作
一次累减得到预测值
5.1.2.2数据的处理
式中, N 为已知数据的个数。

计算
由(4) 式得出的a , 将a , u 代入(2) 式、(3) 式即得系统时间响应和离散响应, 即而得到预测值。

5.1.3 Markov 链的修正
(5)
5.1.3.1 状态的划分
对状态明显平稳的Markov 链, 传统的状态划分是以若干常数作为状态的上下界。

若以Ei 表示第i种状态,则有Ei ∈[ Ai ,Bi ] , i = 1 ,2 , ⋯, n ,其中Ai , Bi 为状态边界; Ai ,Bi ∈{常数} 。

各个状态的边界是固定不变的, 它适应平稳随机等均值的特点。

但是, 对于随时间呈某种变化趋势的非平稳随机过程来说, 状态的边界和内涵却是变化的。

对此, 应考虑一个“水涨船高”的状态划分准则。

这个准则应与预报对象的基本时序变化趋势一致。

因此, 对于一个符合n 阶Markov 链
的非平稳随机序列来说, 其状态划分准则应以相对值为好, 即
因是反映预报对象时序变化趋势的时间函数,而灰元也是随时间变
化,此外,状态划分准则Ei 也是随时间而变化(图1) ,即准则Ei 所划分的状态平行于趋势曲线的若干条形区域, 与基本时序的变化曲线相一致。

5.1.3.2 状态转移概率的计算和矩阵的构造
数据序列的变化, 即某一状态从t1 时间开始,只能推演在未来tn 时间处于该状态的概率。

将数据序列分为若干种状态,记为E1 , E2 , ⋯, Et ,并把可能发生转移概率的时间记为t1 , t2 , ⋯, tn 。

数据序列由状态Ei 经过m 个步骤转移到状
态Ej 的概率为m 步的转移概率,记为。

其计算公式为
式中,为状态概率元素构成的矩阵为m 步状态转移概率, 即
这样, 若已知状态转移矩阵和初始状态E i , 便可确定Markov 链。

5.1.3.3 利用转移概率矩阵编制预报表
系统各种状态转移的统计规律在转移概率矩阵中都能得到反映。

通过考察状态转移概率矩阵
,即可预报系统的未来发展趋势。

预报时先列出预报表。

表的编制如下:选取离预报时最近j 个阶段,按离预报时刻的远近,将转移步数分别定为1 ,2 , ⋯,j 。

在转移步数所对应矩阵中, 取起始状态所对应的概率矩阵, 并对新的概率矩阵向量求和。

其和最大转的移步数所对应的状态, 即为系统的预报状。

5.1.3.4 预报值的计算
系统的未来状态转移确定后, 也即确定了预报值的相对值的变动区间。

于是,可用
该区间值作为系统的未来时刻预报值其最终预报值为
于是预报值的变动范围在之间。

5.2问题二的求解 5.2.1数学模型的建立
由于公众的感受难以用数据具体描述，这里我们采用模糊数学综合评判的一般方法。

模糊综合评判法的目的是：根据影响雨量等级诸因素所起的作用，并结合当前的实测结果，采用模糊数学方法对预报质量与公众感受作出切合实际的客观评价。

给定评判空间}{,,J U V R =
，设参加评判者为k L （k=1,2,……,s ）,被评估对象为
T.设对事物X 进行评估，其因素集U
U ={1,u 2,u ……，n
u }，i u —第i 个评分因素集(1,2,i =……,n);评估的等级集V
12{,,,}m V v v v =……，j v —评语集第j 个评判集(1,2,,)j m =……。

每个评估者k L 对于被评估者T ，在评估因素i u 上，从m 个评估等级中只确定一
个等级。

则因素论域和评语论域之间的模糊关系可用评判矩阵
111212122212
,,,,,,,,,n n m m mn r r r r r r R r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭…………………… 来表示其中ij r —从第i 个因素着眼作出第j 中评价的隶属程度
(1,2,,;1,2,,)i n j m ==…………，01ij r ≤≤，固定i ，1,,i im r r ……就表示从第i 个因素着
眼，对被评估者所做的单因素评判。

对事物X 评估，U 中各因素i u 所起的作用是不同的，评估人员对这个问题的看
法可以表示为U 上的一个模糊集A ，U 中的元素i u 对A 的隶属度()i A u
称为因素集i u 被着眼的权重。

设i u 的权数分别为(1,2,,)i a i m =……，则得到12(,,,)m A a a a = ……，
其中0i a >，且11m
i i a ==∑，先求出各单因素的评价矩阵i R 及其相应的权数矩阵
12(,,,)i n A a a a =
……。

设第一层次单因素模糊综合评判矩阵为i B
，则
i i i B A R =
11121212221212
(,,,)(1)n n m m m mn r r r r r r a a a r r r ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………………
1m a x [m i n (,),,m i n (
,)]
i j m m j a r a r =…… (1)式中的运算“ ”为满足常见模糊矩阵乘法的运算。

此运算可采用查德算子表示，
即
()ij k s E C G e ⨯==
其中1(),1,,,1,,k
ij ij ij i e C g i k j s ==∨∧==……，∨表示取最大值，∧表示取最小值。

再设综合权数集是12,(,,,)r H H H H H = ……，其中r 为上一层次因素的个数。

这时，
第一层次各单因素综合评判矩阵组成一个矩阵设为B ，则H 与B
的乘积就是所求的
综合评集。

设最后的综合评判集为E ，则E H B = ，这里的“ ”即上文中定义的运算。

再对E
作归一化处理。

为了增加区分度，并符合日常百分制习惯，给定一个赋值矩阵
12(,,,)n C c c c =……，则被评估者最后的模糊综合评判结果为Y E C =⨯
（这里的乘法
为普通矩阵乘法）。

5.2.2评估实例分析
)i 建立指标因素集
影响雨量等级的因素很多，根据对雨量等级的感受要求，在此例中数据划分为7
个指标要素，127{,,,}U u u u =……，具体划分见下表：
序
号 雨量等级预报
权重 0
无雨
0.3
1 小雨 0.1
2 中雨 0.1
3 大雨 0.2
4 暴雨 0.0
5 5 大暴雨 0.1 6
特大暴雨
0.15
)ii 建立评语集
在评价时，对每个因素都要进行评价，不论因素的层次有多少，评语集只有一个，如下表： 评语等级 上 中上 中 中下 下
V
1v 2v 3v 4v 5v
12345{,,,,}V v v v v v =
)iii 作出权数分配向量
对雨量等级预报的评估，U 中各因素集(1,2,3,4,5)i u i =，所起的作用是不同的。

对这个问题应看作为U 上的一个模糊集A ，U 中的元素i u 对A 的隶属度()i A u 称为
因素集i u 被着眼点的权重。

给每一个因素赋以相应，见上表。

)iv 确定评判矩阵
:[0,1]R U V ⨯→
有经验的气象员需要根据统计数据情况，得出雨量等级评价因素的评价向量的统计表
ij R 1v 2v
1u
11r 12r 2u
21r
22r
7u
71r 72r
其中，211,1,2ij j a i ===∑。

按照模型中的方法，建立被评估者的评判矩阵B A R =
，(0.30.10.10.20.050.10.15)B = 1112212271
72r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
计算出结果后，为了综合定量的表述评估结果，可以对各个等级赋值。

如设“上”为85分，“中上”为80分，“中”为70分 ，“中下”为60分，“下”为50分，从而得出结果。

六、模型的评价与改进
6.1优点
1、GM (1 , 1) 模型主要用于时间短、数据少、波动小的预测问题, 而Markov 链预报的对象为一随机变化的动态系统。

因此本文采用灰色GM (1 , 1) 模型对大气降雨量进行预测, 进而采用Markov 链修正, 可以提高GM (1 , 1) 预测精度。

2、本文利用灰色理论和Markov 链耦合建立降雨量的预测模型, 并应用于实际工程, 为雨量预测提供了一条新的途径。

6.2模型的缺点与改进
采用模糊综合分析法需要统计大量的数据，如评判矩阵R 的建立，这就需要我们想办法建立起适用的计算机处理或统计的系统。

当数据有增删等改变时，仍然适用是很大的挑战。

对于更详实的综合评价，应做更详细，更深入的研究，这就要求对模型需要进一步的改进。

参考文献
[1] 姜启源 谢金星 叶俊.数学模型[第四版].北京：高等教育出版社，2011.1
[2] 胡良剑 孙晓君.MATLAB 数学实验[第二版].北京：高等教育出版社，2014.2
[3] 谢兆鸿，范正森，王艮远，数学建模技术，北京：中国水利水电出版社，2003
[4] 安康气象，中短期天气预报质量检验办法， ，2005.9.17。