大学物理学1.2 质点的圆周运动
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t
an r 0.2(2 1 4) m s 0.8 m s
2 2 2
2
M
2 a at2 an 0.89 m s2
an
at
o
an 0.8 arctan arctan 63.4 at 0.4
a
x
过的角度 计算任意时刻的法线加速度和切线加速度．
解
• 例1.10 电机通过皮带拖动机械运转，已知电机的 皮带轮的半径R = 0.1 m，在电机启动过程中，皮带 转过的长度随时间的变化关系为 计算皮带轮边缘的法线加速度和切线加速度．
解 皮带走过的距离就是皮带轮边缘走过的距离
• 例1.11 质点从静止出发，沿半径R = 1.5 m 的圆周 运动，其角速度ω = 0.25t．当切线加速度与法线加 速度相等 时，计算质点所走过的路程
解
例 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知 轮缘上一点M 的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时 刻M点的速度和加速度。 d 解： d 2t 4 2 dt dt
v r r (2t 4) 0.2 (2 1 4) m s1 0.4 m s1 2 2 v a r (2) 0.2 m s 0.4 m s
t n
2
dω 常量， dt
如
0
又
dω dt d dt，
0
t 0 时, ，
可得：
0 t 1 θ θ t t
2 2 02 2 ( 0 )
0 0
2
匀变速率圆周运动与匀变速率直线运动类比
0 t 1 θ θ t t
v1
r
et1
A
法向加速度(速度方向变化)
d v 2 an v en ren en dt r 注： v v v t n
2
v t
v
v2
vn
v1
一般圆周运动加速度
a at an
y
a
单位：rad· s-1（弧度每秒）
x
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
P
s s O 规定：
• •
et en
Q
en
et
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 et 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
5
速率
Δs Δθ v lim r lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt v(t ) r (t )
v1
r
et1
A
dv a et ven dt
切向加速度 法向加速度
et et 2 et1
dv a et ven dt
切向加速度(速度大小变化)
v2
dv a e r e dt
t t
t
o
en
et 2
t
2
o
x
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆周运动
常量，
a anen rω2en
故
at 0，an r
2
d 由 ， 有 d dt， dt
如
t 0 时,
0
可得：
0 t
2
匀变速率圆周运动
常量，
故
a r ， a r
o
v
a r e rω e
2 t
n
et A en an
at
大小
方向
a
a a
2 t
x
2 n
an θ t an at
1
线量和角量的关系
ds Rd
y
R
ds d A B
ds d v R R dt dt
v 2 an R R dv d a R R dt dt
0 0
2
2 02 2 ( 0 )
v v0 at 1 2 s s0 v0t at 2 2 2 v v0 2a(s s0 )
2
3
一般曲线运动
v d l v dv v 2 v= et a et en dt dt
其中 ρ= d l 曲率半径 .
第一章
1.2
质点力学wk.baidu.com
圆周运动
掌握曲线运动的自然坐标表示 法．能计算质点在平面内运动时的 速度和加速度，以及质点作圆周运 动时的角速度、角加速度、切向加 速度和法向加速度．
平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
运动，某时刻它位于点 A .矢 径
y
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r , ) 来确定 .
r
与
x
轴之间的夹角
o
r
A
x
x r cos y r sin
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . 它与直角坐标系之间的变换关系为
圆周运动的角速度 角坐标
(t )
y
角位移
角速度
r
o
B Δl A
l
d lim t 0 t dt
a
an
dθ
一切运动可以根据切向、法向 加速度来分类： an= 0 an= 0 an 0 an 0 at= 0 at 0 at = 0 at 0 匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
at
a与at的夹角 an t an at
• 例1.9 质点沿着半径 R = 0.5 m 的圆周运动，它转
y
B
速度
ds v et dt v et r et
r
o
et
A
x
圆周运动的切向加速度和法向加速度； 角加速度
v vet rωet
质点作变速率圆周运动时
dv dv d e a et v t dt dt dt
at d v r d r dt dt d 角加速度
dt
单位：rad· s-2
o
v2 et 2 v1 et1
r
A
v1 v2 e t1 et 2
切向单位矢量的时间变化率？
Δe t det dθ en lim Δt 0 Δ t dt dt
法向单位矢量
v2
o
en
et 2
an r 0.2(2 1 4) m s 0.8 m s
2 2 2
2
M
2 a at2 an 0.89 m s2
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at
o
an 0.8 arctan arctan 63.4 at 0.4
a
x
过的角度 计算任意时刻的法线加速度和切线加速度．
解
• 例1.10 电机通过皮带拖动机械运转，已知电机的 皮带轮的半径R = 0.1 m，在电机启动过程中，皮带 转过的长度随时间的变化关系为 计算皮带轮边缘的法线加速度和切线加速度．
解 皮带走过的距离就是皮带轮边缘走过的距离
• 例1.11 质点从静止出发，沿半径R = 1.5 m 的圆周 运动，其角速度ω = 0.25t．当切线加速度与法线加 速度相等 时，计算质点所走过的路程
解
例 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知 轮缘上一点M 的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时 刻M点的速度和加速度。 d 解： d 2t 4 2 dt dt
v r r (2t 4) 0.2 (2 1 4) m s1 0.4 m s1 2 2 v a r (2) 0.2 m s 0.4 m s
t n
2
dω 常量， dt
如
0
又
dω dt d dt，
0
t 0 时, ，
可得：
0 t 1 θ θ t t
2 2 02 2 ( 0 )
0 0
2
匀变速率圆周运动与匀变速率直线运动类比
0 t 1 θ θ t t
v1
r
et1
A
法向加速度(速度方向变化)
d v 2 an v en ren en dt r 注： v v v t n
2
v t
v
v2
vn
v1
一般圆周运动加速度
a at an
y
a
单位：rad· s-1（弧度每秒）
x
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
P
s s O 规定：
• •
et en
Q
en
et
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 et 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
5
速率
Δs Δθ v lim r lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt v(t ) r (t )
v1
r
et1
A
dv a et ven dt
切向加速度 法向加速度
et et 2 et1
dv a et ven dt
切向加速度(速度大小变化)
v2
dv a e r e dt
t t
t
o
en
et 2
t
2
o
x
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆周运动
常量，
a anen rω2en
故
at 0，an r
2
d 由 ， 有 d dt， dt
如
t 0 时,
0
可得：
0 t
2
匀变速率圆周运动
常量，
故
a r ， a r
o
v
a r e rω e
2 t
n
et A en an
at
大小
方向
a
a a
2 t
x
2 n
an θ t an at
1
线量和角量的关系
ds Rd
y
R
ds d A B
ds d v R R dt dt
v 2 an R R dv d a R R dt dt
0 0
2
2 02 2 ( 0 )
v v0 at 1 2 s s0 v0t at 2 2 2 v v0 2a(s s0 )
2
3
一般曲线运动
v d l v dv v 2 v= et a et en dt dt
其中 ρ= d l 曲率半径 .
第一章
1.2
质点力学wk.baidu.com
圆周运动
掌握曲线运动的自然坐标表示 法．能计算质点在平面内运动时的 速度和加速度，以及质点作圆周运 动时的角速度、角加速度、切向加 速度和法向加速度．
平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
运动，某时刻它位于点 A .矢 径
y
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r , ) 来确定 .
r
与
x
轴之间的夹角
o
r
A
x
x r cos y r sin
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . 它与直角坐标系之间的变换关系为
圆周运动的角速度 角坐标
(t )
y
角位移
角速度
r
o
B Δl A
l
d lim t 0 t dt
a
an
dθ
一切运动可以根据切向、法向 加速度来分类： an= 0 an= 0 an 0 an 0 at= 0 at 0 at = 0 at 0 匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
at
a与at的夹角 an t an at
• 例1.9 质点沿着半径 R = 0.5 m 的圆周运动，它转
y
B
速度
ds v et dt v et r et
r
o
et
A
x
圆周运动的切向加速度和法向加速度； 角加速度
v vet rωet
质点作变速率圆周运动时
dv dv d e a et v t dt dt dt
at d v r d r dt dt d 角加速度
dt
单位：rad· s-2
o
v2 et 2 v1 et1
r
A
v1 v2 e t1 et 2
切向单位矢量的时间变化率？
Δe t det dθ en lim Δt 0 Δ t dt dt
法向单位矢量
v2
o
en
et 2