2.14同余问题与不定方程

同余问题

知识梳理：

设m 是正整数，若用m 去除整数,a b ，所得的余数相同，则称为a 与b 的关于模m 同余，记作(mod )a b m ≡，否则，称为a 与b 的关于模m 不同余。

同余有以下性质：

（1）(mod )a b m ≡，等价于|()m a b -

（2）(mod )a a m ≡

（3）若(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡

（4）若(mod ),(mod )a b m b c m ≡≡，则(mod )a c m ≡

（5）若(mod ),(mod )a b m c d m ≡≡，则(mod )a c b d m ±≡±

（6）若(mod ),(mod )a b m c d m ≡≡，则(mod )ac bd m ≡

（7）若(mod ),(,)1ac bc m c m ≡=，则有(mod )a b m ≡

例题精讲：

例1：求被3除余1，被4除余2，被5除余3的最小的自然数。

例2：今天是星期六，如果今天算是第一天，问第20002000天是星期几？

例3：数1978n 与1978m 的末两位数相等，试求：整数m 和n ，使得n m +取最小值，这里1n m >≥。

例4：求使21n -为7的倍数的所有正整数n 。

例5：计算由1到910的每一个数的数字之和，得到910个新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止。那么，最后得到的数中是1多，还是2多？

练习：

1：一长阶梯，每步跨2阶，最后剩下1阶；每步跨3阶，剩下2阶；每步跨5阶，剩下4阶；每步跨6阶，剩下5阶；每步跨7阶，刚好走完. 问最少一共有多少阶？

2：证明：任意平方数除以4余数为0和1.

3：当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A ，而B 是A 的各位数字之和，求B 的各位数字之和（所有的数都是十进制数）。

4：是否存在m 个不全相等的正数12(7)m a a a m ，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，

每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值，若不存在，说明理由.

不定方程

知识梳理：

形如x +y =4，x +y +z =3，y

x 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ）c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．

如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．

定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩

⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩

⎨⎧-=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：

（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；

（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；

（3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解．

【例题精讲】

题型一：二元一次不定方程

例1．求方程4x +5y =21的整数解．

例2．求方程63x +8y =－23的整数解．

题型二：多元一次不定方程（组）的整数解

例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解．

题型三：其他不定方程

例4．求不定方程21

11

=+y x 的正整数解．

例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解

例6．求方程x+y=x2－xy+y2的全部整数解．例7．求方程x6+3x3+1=y4的整数解．

同步练习：

练习1．求方程5x+3y=22的所有正整数解．

练习2．求方程37x+107y=25的整数解．

练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？

练习4．求方程x2－y2=105的正整数解．

练习5．求证方程x3+113=y3没有正整数解．

练习6．求方程x2+y2=2x+2y+xy的所有正整数解．练习7．求方程x2+x=y4+y3+y2+y的整数解．