常见连续型随机变量的分布
几种常用的连续型分布
在统计学中，有许多常用的连续型分布可以用来描述随机变量和概率密度函 数。这些分布具有不同的特征和应用场景。
正态分布
正态分布是最常见的连续概率分布之一，在自然界和社会科学中广泛应用。 它以钟形曲线为特征，对称且准确描述了许多随机现象。比如人的身高、体 重、考试成绩等。
柏松分布
柏松分布描述离散事件在一定时间或空间内发生的次数的概率。例如，在给 定时间段内接到的电话数量等。
伽玛分布
伽玛分布用于描述连续事件中时间间隔发生的概率。例如，等最大或最小范围之间的连续随机变量的概率。它常用于 统计学、机器学习和贝叶斯推理等领域。
指数分布
指数分布用于描述连续事件之间的时间间隔。它在可靠性工程、队列论和金 融领域中具有重要应用。
二项分布
二项分布描述成功和失败的次数的概率。它适用于具有两个可能结果的独立 试验，例如硬币投掷和产品合格率等。
均匀分布
均匀分布的特点是概率密度函数在一个范围内保持恒定。它用于描述连续随 机变量的可能取值范围是完全随机的情况。
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
常见的连续型随机变量的分布
1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。
连续型随机变量及分布
F （ x2） F （ x1 ） xx12p(x)dx
这一个结果从几何上来讲， 落
p (x)
在区间 (x1, x2 )中的概率恰好等于在
区间(x1, x2 )上曲线y=p(x)的曲边梯形
的面积．同时可发现整个曲线y=p(x) 与x轴所围成的图形面积为1．
0 x1 x2 x
P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ）
(1) p(x)0; （非负性）
1
(2) p(x)dx1（. 规范性）
0
x
反过来，定义在R上的函数p(x)，如果具有上述两个性 质，即可定义一个分布函数F(x)．
概率论与数理统计
(3) F(x)在R上连续，且在 p ( x ) 的连续点处，有
p(x)F(x)
对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互 确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分 布规律．
概率论与数理统计
§2.3 连续型随机变量
主要内容
概率论与数理统计
一、连续型随机变量的概念
二、常见的连续型分布
一、连续型随机变量的概念
1.定义
概率论与数理统计
定义2.2 如果对于随机变量 ( )的分布函数F(x)，存 在非负函数 p (x)，使得对于任意的实数 x，有
x
F(x) p(t)dt
则称 为连续型随机变量，其中函数 p (x) 称为 的概率密 度函数,简称概率密度 （probability density function） .
(2) F ( x ) x p ( t) d t x ( 1 1 t2 ) d t 1 a r c t a n t x 1 a r c t a n x 1 2 ;
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
连续型随机变量的分布)
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
常见的连续型随机变量
第五节 常见的连续型随机变量
7
例 1（续）
所以，
PB P10 X 15 P25 X 30
P40 X 45 P55 X 60
15
1 dx 30
1
45
dx
1
60
dx
1
dx
10 60
25 60
40 60
55 60
1 3
．
第五节 常见的连续型随机变量
8
例2
设随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，求方程
上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1（续）
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 ．
令 B 被带往甲地 ．
开往甲地汽车的到达时间：
7:00， 7:15， 7:30， 7:45， 8:00； 开往乙地汽车的到达时间：
7:10， 7:25， 7:40， 7:55， 8:10．
k!
k 0, 1, , n, ．
设随机变量T 的分布函数为 FT t ．
则当 t 0 时， FT t 0 ；
第五节 常见的连续型随机变量
18
例 4（续）
当 t 0时， FT t PT t 1 PT t
1 P在长度为 t 的时间间隔内随机事件 A 没发生
1 PX 0 1 et ．
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
由于随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，所以
的密度函数为
f
x
1 9
0
3 x6
其它 ．
第五节 常见的连续型随机变量
9
例 2（续）
几种常用的连续型分布
0.2514
15
故
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
作业2-4： 1，5，6
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60} 5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P40)
若 X～ f (x)＝ex , x 0
0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0 0, x 0
峰的陡峭程度.
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
( x) P{X x}
x t2
1 e 2 dt, x 2
( x)
( x)
1 0 1 ;
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
几个常用的连续型随机变量
均匀分布 P{c<X<d}
正态 分布
指数分布 无记忆性
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
概率论与数理统计2_3连续型随机变量
《概率统计》
返回
下页
结束
若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由
f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
《概率统计》
返回
下页
结束
例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss） 分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)
§3、连续型随机变量及其分布
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x
x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1
F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1
1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
连续型随机变量
标准正态分布的概率密度函数为 标准正态分布的分布函数记作
(x)
1
x2
e 2 , x
2
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
标准正态分布的分布函数 ( x) 有如下性质：
(1) (0) 0.5
(2) (x) 1 (x)
(3) P( X a) (a)
第四节 连续型随机变量
一、概率密度函数的概念与性质 二、常见连续型随机变量及其概率分布 三、小结
1.连续型随机变量的定义
如果对于随机变量 X的分布函数 F ( x ) , 存在 非负函数 f ( x) , 使对于任意实数 x有
F ( x) x f (t )dt，
则称 X为连续型随机变量 , 其中函数 f ( x)称为 X的 概率密度函数, 简称概率密度.
(4) P(a X b) (b) (a)
课本P225（附表3） (1.96) 0.975
标准正态分布和一般正态分布的关系？
相互转化PXFra bibliotekaP
X
a
a
Pa
X
b
P
a
X
b
b
a
正态分布的计算 方法:转化为标准正态分布查表计算
例5 设X ~ N (60,4)
求： P(58 X 62); P( X 66)
(3) P(1 X 2) F (2) F (1) 7
2
28
或：
P(1 X 2)
2
2
1 f (x)dx
2
1 1
xdx
2
2 1 (x 1)dx 3 1 7
15
连续型随机变量分布密度
连续型随机变量分布密度随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它描述了随机事件的不确定性。
连续型随机变量是一个可以取任意实数值的随机变量。
在概率论和统计学中，我们经常对连续型随机变量的分布进行研究。
分布密度函数是描述连续型随机变量分布的一种方式。
一、连续型随机变量分布密度的定义连续型随机变量的分布可以用分布密度函数来描述。
连续型随机变量X的分布密度函数是一个非负的函数f(x)，它满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈R； 2. 在实轴的某一区间[a, b]上，f(x)的积分值等于该区间上随机变量的概率：P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。
二、连续型随机变量分布密度的性质连续型随机变量分布密度函数具有以下性质： 1. f(x)在定义域上非负； 2. f(x)的积分值等于全体实轴上随机变量的概率，即∫f(x)dx=1； 3. f(x)的大小表示了在相应x附近的概率密度。
概率密度越大，表示随机变量在该处取值的概率越大； 4. 对于区间[a, b]上的一个任意子区间[c, d]，有P(c≤X≤d)=∫[c,d]f(x)dx。
三、常见的连续型随机变量分布密度 1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布。
在[a, b]区间内，均匀分布的密度函数为： f(x)={1/(b-a)，a≤x≤b；0，其他}。
2.正态分布正态分布是一种在自然界中广泛存在的分布。
它以均值μ和标准差σ为参数，其密度函数为：f(x)={1/(σ√(2π))e(-((x-μ)2)/(2σ^2))}。
3.指数分布指数分布常用于描述时间段发生某事件的概率密度。
其密度函数为：f(x)={λ*e^(-λx)，x≥0；0，x<0}。
4.γ分布γ分布是指数分布的推广形式，也广泛应用于概率论和统计学中。
其密度函数为：f(x)={((1/(βα))x^(α-1)e(-x/β))/(Γ(α))}。
四、连续型随机变量分布密度的应用连续型随机变量分布密度广泛应用于许多实际问题的建模和分析中。
连续型随机变量的分布
图10-4
图10-5
连续型随机变量的分布
例4
解
（1）p
x
1， 0 ，
0x 其他
1；
（2）P0.25 X 0.75
0.75
dx
0.5
；
0.25
（3）P X 0.3
0.3 p xdx
0.3
dx 0.3.
0
连续型随机变量的分布
2. 指数分布
定义4
如果随机变量 X 的概率密度为
p
x
2 1
1 1 8 64
7. 64
4
连续型随机变量的分布
2.连续型随机变量的分布函数
定义2
设 X 为连续型随机变量，则函数F x P{ X
)称为连续型随机变量 X 的分布函数 .
x } x p t dt( x
由微积分知识可知，当函数 p x在 x 处连续，则有F x p x.
连续型随机变量的分布
e
x
x 0 0，
0
x0
则称X 服从参数为 l 的指数分布，记为X ~ E (l)，其相应的分布函数为
F
x
1 e 0 ，
x
，
x x
0 0
.
连续型随机变量的分布
p x与F x的图像分别如图10-6和图10-7所示 .
图10-6
图10-7
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的计算.例如电子计算机的寿命、无线电元件的寿命、 随机服务系统中的服务时间等，都常被假定服从指数分布.因此指数分布在可靠性分析和排队 论等领域中有着广泛的应用.
连续型随机变量的分布
例5
解
因为P X 1 000 P X 1 000 1，所以P X 1 000 1 P X
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P 1 或 2
P { 1 } P { 2 }
11
61
dx dx
24
2
3 9
29
99 3
精选ppt
6
二、指数分布
定义 设连续型随机变X量 的概率密度为
ex, x0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0为常数,则称X 服从参数为的指数
分布. 记作X ~e() ，或 X ~E().
(x) 1ex 22, x ,
2π
标准正态分布的分布函数表示为
x
(x)
1et2 2dt,
x .
2π
精选ppt
20
标准正态分布的密度函数图形
精选ppt
21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
精选ppt
17
正态分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx x
1 e(x2σμ2)2dx
2σ
令x μ t x μ σ t,
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
精选ppt
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1
精选ppt
11
解
0.2e0.2x，x0；
X~f(x)
0，
x≤0.
（1）则他步行上班（等车超过10分钟）的概率为
P { X 1 0 } 1 P { X ≤ 1 0 } 1 1 0 0 .2 e 0 .2 x d x e 2 0
（2）Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数
Y 服从 n5, pe2 的二项分布，即 Y ~b(5,e2)
第五节 常见连续型随机变量的分布
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
精选ppt
1
一、均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间[a,b] 上服从均匀分布,
记为 X ~ U[a,b].
精选ppt
2
分布函数
0,
x a,
F(x)
F(x)
P { Y ≥ 1 } 1 P { Y 0 } 1 ( 1 e 2 ) 5
精选ppt
12
三、正态分布
定义设连续型随机X的 变概 量率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常,数 则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
分布函数
1ex,x0, F(x)
0, x0.
精选ppt
7
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) bexdx a
F(b)F(a)
ea eb
精选ppt
8
例 2 设打一次电话所用间 的X时（单位：分钟）是 以 1 为参数的指数随机． 变如 量果某人刚
1
E (X 2 ) x 2f(x )d x x 2 e x d x
0
x2ex 0 02xexdx
2 2
21 1
DX2 2 2
精选ppt
10
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布，如果等车时间超过10分钟， 他就步行上班.
若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 求：他一周内至少有一天步行上班的概率.
x2
e 2 dx
2π
1(x).
精选ppt
22
标准正态分布的密度函数为偶函数
(0)=0.5
(a)1(a)
P (Xa)1(a)
P (a X b )(b )(a )
( X a ) ( a ) ( a ) ( a ) [ 1 ( a ) ] 2 ( a ) 1
பைடு நூலகம்
x a b a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao b
x
精选ppt
3
均匀分布的期望与方差
b1
E(X) xf(x)dx
xdx
aba
1(a b). 2
E (X 2 ) x 2 f(x )d x b1x 2 d x a 2 a b b 2
ab a
3
D (X ) E (X 2 ) [E (X ) ] 2 a 2 a 3 b b 2 a 2 b 2 ( b 1 2 a )2
精选ppt
4
例1
设随机 服变 从 量 3区 ， 6上 间的均匀
试求方程 4 x 2 4 x 2 0
有实根的概率．
解： 随机变量 的密度函数为
f
x
1 9
3 x 6
0 其它
精选ppt
5
设 A 方 ： 4 x 2 4 程 x 2 0 有实
则 P A P 4 2 4 4 2 0
精选ppt
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
2πσ ( 3 )当 x 时 ,f(x ) 0 ;
(4)曲线 x在 μσ处有; 拐点
精选ppt
14
(5)曲线以 x轴为渐近 ; 线
(6)当固定σ, 改变μ的大小,时 f (x)图形的形状不 ,只变 是沿 着x轴作平移变 ; 换
精选ppt
15
(7)当固μ定 ,改变 σ的大小 , f(x时 )图形的对 不变 ,而形状在 ,σ越 改小 ,图 变形越高 ,σ越 越大 , 瘦 图形越矮 . 越胖
精选ppt
16
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
10 好在你前面走进公话 用间 电，求你需等10待 分 钟到20分钟之间的概率．
解： X 的密度函数为
f
x
1 10
x
e 10
0
则 P 1 0 X20
x0 x0
e10e20 e1e2 0.2325
精选ppt
9
指数分布的期望与方差
E(X) x(fx)dx
xex dx
0
xex 0 0exdx
(tμ)2
e x 2σ2 dt
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
精选ppt
19
标准正态分布
当正态N(分 μ,σ2布 )中的 μ0,σ1时 ,这样 的正态分布态 称分 为 ,记 布 标 为 N准 (0,1)正 .
标准正态分布的概率密度表示为