换元法在数学解题中的应用

换元法在数学解题中的应用

摘要

换元法通过引入新的变量，将题目移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准题目标准化，繁琐题目简单化，变得容易解决.因此换元法是数学解题中一种十分重要而且应用非常广泛的思想方法.本文研究了换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的应用及解题技巧，并且给出了一些典型例子.用换元法解数学题有助于培养学生灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格,提高解题效率.

关键字：换元法;构造新元;标准化;应用

Application of the Method of Exchange Element Method in Solving

Mathematics Problem

Abstract:The method of substitution put the topic into the background in the new object to study by introducing a new variable, so that the non-standard topics of standardization, simplification complicated topic, become easier to solve. Therefore the method of substitution is a very important and widely used method of thinking in mathematical problem solving. This paper will give a simple analysis about the basic concepts of substitution method, theoretical basis, and the basic principles of using the method of substitution. And it also discussed about the using of the method of substitution in Algebraic expressions, factorization, equations, functions, pr oven and calculus and gives some typical examples. This paper’s content will help for training the problem-solving skills in the mathematics, just like how to transform the higher degree into the low degree, the fraction into the integral expression, the irrational formula into the rational expression, and the transcendental expression into the algebraic expression. And this paper’s skills help solve complex and complicated mathematical problems.

Key words: method of substitution; structures; standardization; application

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

2.1 国内外研究现状 (1)

2.2 国内外研究现状评价 (2)

2.3 提出问题 (2)

3 预备知识 (2)

3.1 换元法的基本概念 (3)

3.2 换元法的理论依据 (3)

3.3 换元法的两种基本类型 (3)

4 换元法在数学解题中的应用 (3)

4.1 换元法在代数方面的应用 (4)

4.1.1换元法在计算中的应用................................ 错误!未定义书签。

4.1.2换元法在因式分解中的应用 (5)

4.1.3换元法在解方程中的应用 (6)

4.1.4换元法在函数中的应用 (10)

4.1.5 换元法在证明中的应用 (14)

4.2 换元法在微积分中的应用 (16)

4.2.1 换元法在微分中的应用 (16)

4.2.2 换元法在积分中的应用 (17)

5 结论 (21)

5.1 主要发现............................................ 错误!未定义书签。

5.2 启示 (21)

5.3 局限性 (21)

5.4 努力方向 (21)

参考文献 (22)

1引言

在数学学习过程中，我们往往会遇到各种棘手的数学题，这些数学题形式多种多样，涉及到的知识面广泛，题型新颖. 它们或是非标准形式，或是超越式，或是高次式，或是无理式等.碰到这些数学题时我们该如何解决呢？这时，数学思想方法就能发挥用武之地了，数学思想是数学的精髓所在，是理论知识和实践应用之间的桥梁，它包括化归思想，数形结合思想，分类讨论思想，转换思想等.换元法作为数学思想方法的成员之一，具有杰出的沟通转化作用.换元法的实质是转换，目的是变更研究对象，把还没有解决的题目转化为已经解决的问题去研究.使用换元法须要一些换元技巧，使用得当能给人一种“柳暗花明”的感觉，通过换元，可以把生疏的题目转化为我们熟悉的题目，把繁琐题目转化为简单题目，从而达到解决问题的目的.使用换元法解题能培养人的数学思维品格，逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力，把理论知识和实际运用结合起来.

2 文献综述

2.1国内外研究现状

现查阅到的参考文献中，对换元法在数学中的解题技巧做出了探讨.刘志国在[1]中主要介绍了换元法的基本概念，理论依据，适用范围及应用规律等，并通过大量实例说明了应用换元法解题的一般思绪.陈颖在［2]中主要介绍了有关换元法的基本知识及换元法在代数，几何，三角三个方面的应用.牛继武等人在[3]中从因式分解的理论，方法和应用三个方面，并且对一般的因式，数域，公因式等的定义没有另行叙述而直接采用，对于有关的定理都尽量给出了证明.翟连林，汪祖亨在[4]介绍了各种数学解题方法的同时强调了定向思维，提出了在数学解题中如何巧妙运用参数进行灵活变换的策略.刘俊，付本路，姚玉平在[5]中把数学方法分为直接方法，一般方法，数学思想方法三类，且对每种方法的特点，应用，注意事项进行条理化的说明，实现了数学知识与解题方法的有机结合.朱成杰在［6]中力图对换元法及其在中学数学中的应用进行一个比较系换元法在各方面的应用，最后简要的介绍换元法的推广---辅助函数法.方昌武，汪祖亨在文献[7]中介绍了各种各样的解题方法，并通过丰富的例题总结出一套科学求解的思考方法，这些方法是进一步学习数学不可缺少的工具.杨象富，赵伟祥在[8]中比较全面，系