第9章 代数系统简介

例3： 设代数系统,其中,*由运算表定义.问*是否是可交换的;是否有幺元; 如果有幺元,指出哪些元素是可逆的,并给出他们的逆元。 解： 一个有限代数系统的运算是可交换的充要条件是其运算表关于对角 线对称，如果表中的最左列的某个元素所对应的行与最上面的行相 同,则该元素是 A, 的左幺元.如果表中最上面一行的某个元素所 对应的列与表中最左边一列相同,则该元素是 A, 的右幺元.既是 左幺元又是右幺元的元素一定是 A, 的幺元。 由表可知*是可交换的，不难看出a是幺元，进一步可知a,b,c,d,均是 可逆的,且 a 1 a b 1 d c 1 c d 1 b
例:设代数系统<Z,x>,其中Z为整数集合, x是一般 的整数乘法,设<A,※>为代数系统,其中A=｛正, 零,负｝, ※运算见表,考察这两个代数系统是否 同态
※ 正 零 负
正
零 负
正
零 负
零
零 零
负
零 正
2.同构:若φ为双射,则称φ为从代数系统<S1,°>到 <S2,*>的同构映射,并称< S1 ,°>与< S2 ,*>同构, φ 记为: < S1 ,°> ～< S2 ,*>

4 5 4 4 4 5 5 5 6 4 5
*
1 2 3
1 1 1 1
(b )
2 2 2 2
3 1 2
6
4
(a )
5
6
3
证明： 这两个代数系统间存在一个映射g:S P ， g(a) =a-3 , 其中a∈S 。 显然它是一个双射。 同时它满足条件：g(a b)=g(a)*g(b) 故这两个代数系统是同构的。
举例: P196 例9.1(1)～(6) 2.二元运算的表示
通常用算符 ° , * , •表示二元运算,简记为 x °y=z
3.运算表:用表来定义一个二元运算的结果
举例: P197 例9.2～9.3
例：设集合A={0,1}，A上二元运算*和一元运算~可用 如下表中的(a)、(b)给出的运算表定义

a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
例4 ：代数系统<{0, 1}, > 与<{H, M}, >同构. 其中H, M 分 别表示高电位, 低电位, <{0, 1}, > 与<{H, M}, >的运算 表见表(a)、(b).证明这两个代数系统同构 证明： 给出这两个代数系统间的一个映射为 g：{0, 1} {M, H}；g(0)=M , g(1)=H 。此映射是双射, 而且对于任意 的 x1 , x2 {0,1} ，容易验证，g(x1 x2 )=g( x1) g(x2) 。故 它们是同构的。
第9章 代数系统简介
教学要求 1.了解二元运算及其性质 2.了解代数系统的概念 3.了解几个典型的代数系统
9.1 二元运算及其性质
1.二元运算的概念：P196定义9.1 说明:(1)有一个非空集合S (2) S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算 的结果是唯一的。
(3) 这些运算在集合S上是封闭的
（a)
1 1 1
•
a
Байду номын сангаас
b
a
b
a
b
（b)
b
b
考察这两个代数系统后发现, 如果将表 (b)定义的代数系 统V2中的元素a, b分别换成表 (a) 定义的代数系统V1中 的元素0,1，那么得到的运算表与代数系统V1的运算表 是完全一样的。 很显然,这两个代数系统仅仅是元素与运算符的表现 形式不同,实质是一样的,我们称它同构
9.4 题例分析
例1：通常对于数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A {1,2} B {x x是素数 }
C {x x是偶数 }
D {2n n N}
⑵乘法运算不是集合上的二元运算. 因为素数乘素数不是素数.
解 ⑴乘法运算不是集合上的二元运算, .
⑶乘法运算是集合上的二元运算. 因为偶数乘偶数仍是偶数.
0 1
0 0
1 1
~
0 1
0 1 0
1
1
(a )
(b )
4. 二元运算的运算性质
运算律
交换律P198 定义9.3 结合律P198 定义9.3 幂等律P198 定义9.3 分配律P199 定义9.4 特异元素 幺元P199 定义9.6 零元P199 定义9.6 逆元P199 定义9.6
注意：幺元和零元是于运算相关的， 因此，若幺元和零元存在，则是唯 一的。而逆元是与集合中的元素相 关的。即是说，有的元素有逆元， 有的元素没有逆元，不同的元素对 应着不同的逆元
9.5 几个典型的代数系统
1.半群与群,阿贝尔群：P206—P207定义 9.13和9.14 例：P207例9.8 2.环与域：P213定义9.19 例：P213例9.10 3.格和布尔代数： P215定义9.20 例：P215例9.12、9.13

0 0 1

M
M
H
0
1
M
H
1
1
1
H
H1
H
(a )
(b )
”其定义可用 例5：设S={4, 5, 6}, 在S上的二元运算“
表 (a)表示. 又有P={1, 2, 3}及在P上的二元运算“*”, 其运算表可用表 (b)表示.证明 这样所构成的两个代数系 统<S, >与<P, *>是同构的.。
积代数中的幺元是<e1,e2>
积代数中的逆元是<x1-1,x2-1>
9.3 代数系统的同态与同构
一 同态与同构的基本概念
1.同态的定义：设V1=<S1,°>,V2=<S2,*>是代数系统, °,* 是二元运算,如果存在映射φ:S1 → S2 ,使得对任意的x, y∈ S1 ,有 φ(x°y)= φ(x)* φ(y) (同态条件) 则称代数系统< S1 ,°>和< S2 ,*>同态,记为:< S1,°>≈< S2,*>, φ称为同态映射,简称同态, φ (S1 )称为S1 在同态 映射下的像,简称同态像
吸收律P199 定义9.5
消去律P200 定义9.7
注意:在使用消去律时，该运 算的零元不能消去
9.2 代数系统
1. 代数系统：P202定义9.8
说明： 运算一定是定义在集合S上的
k个运算一般指给定的若干个二元运算 k≤3 2.子代数系统：P202 定义9.9 3. 积代数：P203 定义9.10 说明： S是集合的笛卡儿积，即S中的元素是有序对
⑷乘法运算是集合上的二元运算。 .
2 n , 2 m D , 2 n 2 m 2 n m D

例2： 构造一个代数系统：设有限个字符组成的集合X, 在 X上构造任意长的字符串, 串中字符的个数m叫这个串的 长度, 我们规定当一个串的长度m=0时用符号λ 表之, 它 叫做空串， 这样可以构造一个在X上的所有字符串的集 合X*。 其次我们在X*上定义一个称为并置的运算，运算符号用 “ ”表示, 定义为：设, α,β∈X*, 则。 通过并置运算将 两个字符串联接成一个新的字符串, 而联成的新字符串 也在X*中。 这样我们构造了一个代数系统< X*, >
两个代数系统同构必须满足的条件:
(1)它们必须是同一类型 (2)两个集合间元素应该是一一对应的 (3)一个代数系统中的两个元素经过运算后所得之结果元素 与另一代数系统对应的两个元素经运算后所得之结果元
素互相对应
例: 设有两个代数系统<｛0,1 ｝,∨>与 <｛a,b ｝,•>,其运算分别由下表所定义: ∨ 0 1 0 0 1