典型随机信号特征参数统计分布的分形特性_杨娟
随机分形搜索算法
随机分形搜索算法葛钱星;马良;刘勇【摘要】现有的元启发式算法大多是模仿生物的群体运动来解决优化问题.为了进一步给优化算法的设计提供新的思路,受自然生长现象的启发,提出了一种新型的元启发式算法—随机分形搜索算法.该算法利用分形的扩散特性进行寻优,其优化原理完全不同于现有的元启发式算法.其中,算法的扩散过程采用高斯随机游走方式来开发问题的搜索空间,而更新过程则分别对个体的分量及个体本身采用相应的更新策略来进行更新,以此进行全局搜索和局部搜索,从而形成了一个完整的优化系统.通过对一系列典型的测试函数优化问题的求解实验并与其他算法进行比较,结果表明随机分形搜索算法不仅具有较高的计算精度,而且具有较快的收敛速度.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2019(029)004【总页数】6页(P1-6)【关键词】随机分形;随机分形搜索算法;扩散;更新;最优化【作者】葛钱星;马良;刘勇【作者单位】上海理工大学,上海 200093;上海理工大学,上海 200093;上海理工大学,上海 200093【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言近年来，元启发式算法取得了巨大的发展，出现了许多有代表性的方法。
例如，遗传算法(genetic algorithm，GA)是基于生物进化论中“自然选择、适者生存”规律而提出的优化方法；粒子群优化算法(particle swarm optimization，PSO)是基于鸟群觅食行为规律而提出的群体智能优化方法[1]；人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)是基于蜜蜂群觅食行为特性而提出的优化方法[2]；蚁群算法(ant colony，AC)是基于蚁群在觅食过程中的行为特性而提出的仿生类算法[3]；引力搜索算法(gravitational search，GSA)是基于万有引力定律而提出的智能优化算法[4-5]；布谷鸟搜索算法(cuckoo search,CS)是基于布谷鸟的寄生育雏的行为特性而提出的元启发式算法[6-7]。
受损常绿阔叶林生态系统退化评价指标体系和模型_杨娟
第26卷第11期2006年11月生 态 学 报ACTA EC OLOGI CA SI NICAVol .26,No .11Nov .,2006受损常绿阔叶林生态系统退化评价指标体系和模型杨 娟1,李 静2,宋永昌1,＊,蔡永立1(1.华东师范大学资源与环境学院,城市化生态过程与生态恢复上海市重点试验室,上海 200062;2.安徽农业大学林学与国林学院,合肥 230036)基金项目:国家自然科学基金重点研究资助项目(30130060)收稿日期:2006-01-11;修订日期:2006-06-10作者简介:杨娟(1979～),女,河南人,博士生,主要从事生态模型和恢复生态学研究.E -mail :yangjuan01@sohu .com ＊通讯作者Corresponding author .E _mail :ycs ong @des .ecnu .edu .cn致谢:华东师范大学陈小勇教授、由文辉教授、达良俊教授、王希华教授、李俊祥副教授、易兰博士、河南大学丁圣彦教授等提出宝贵的意见,谨此致谢!Foundation item :The project was financially supported by National Natural Science Key Foundation of China (No .30130060)Received date :2006-01-11;Accepted date :2006-06-10Biography :YA NG Juan ,Ph .D .candidate ,mainly engaged in ecological model and res toration ecol ogy .E -mail :yangjuan01@s ohu .com摘要:为了对受损常绿阔叶林生态系统退化程度进行定量评价,在浙江天童亚热带常绿阔叶林生态系统研究的基础上,以地带性顶级群落———栲树林为参照,选取不同退化程度的次生类型:木荷林、马尾松+木荷林、马尾松林、灌丛以及裸地,从轻到重分别代表5种不同退化程度。
随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
4高斯分布
1
QY u QX i u q pe
i 1
n
ju n
性质5
举例（一元特征函数的性质）
d E Y j pe ju q du
n u 0
np
性质6
E Y j
2
2
d2 ju pe q 2 du
n u 0
数学期望
矩
相关系数的引入
不相关、正交 不相关、正交、独 立之间的关系
相关理论
特征函数
随机矢量的数字特征
一元特征函数的性质
1、 QX (u) QX (0) 1
QX u = e
ju 2
u u Sa( ) = Sa( ) 1 = QX 0 2 2
Q u f x e X
*
jux
du f x e jux du QX u
X1 ,, X n 相互独立，Y X i，则 QY u QX i u
i 1
i 1
n
n
QY u E e
juY
E e
ju ( X1 X 2 X n )
n n juX i n j X i E e E e QX i i 1 i 1 i 1
1
数学期望
一维随机变量 二维随机变量 离散型 连续型
矩
2
n维随机变量
随机矢量的函数
相关理论
数学期望的性质 3 条件数学期望
随机变量关于某 个给定值的条件 数学期望 随机变量关于另 一个随机变量的 条件数学期望
随机信号2-2 平稳随机过程和各态历经性
17
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严格各态历经：所有参数各态历经
广义各态历随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
各态历经性或遍历性：在一定的条件下，平 稳随机信号的任何一个样本函数的时间平均， 从概率意义上来说等于它的统计平均。
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
1
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
平稳：与时间起点无关
2
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严平稳也称狭义平稳
严格平稳要 求所有阶次 原点矩、中 心矩必须时 间平移不变
3
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
第6章信号处理简介
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
随机信号分类
随机信号可分为平稳的和非平稳的。如果随机 信号的特征参数不随时间变化，则称为平稳的，否
则为非平稳的。一个平稳随机信号，若一次长时间
测量的时间平均值等于它的统计平均值(或称集合平 均值)，则称这样的随机信号是各态历经的。通常把 工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。
X(k ) x(n)e j2πkn/N
n 0
N 1
(2.4.1)
1 N 1 x(n) X(k )e j2πkn/N N k 0
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
上述的离散傅里叶变换对将N个时域采样点x(n)与N 个频率采样点X((k)联系起来，建立了时域与频域的关 系，提供了通过计算机作傅里叶变换运算的一种数学 方法。利用计算机进行离散傅里叶变换可查阅相关文 献。
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
图2.4.3 采样频率不同时的频谱波形
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
3. 量化及量化误差
(1) 量化 将采样信号的幅值经过四舍五入的方法离散化的 过程称为量化。 (2) 量化电平 若采样信号可能出现的最大值为A，令其分 为B个间隔，则每个间隔Δx=A/B，Δx称为量化电平，每个量 化电平对应一个二进制编码。 (3) 量化误差 当采样信号落在某一区间内，经过四舍五入 而变为离散值时，则产生量化误差，其最大值是±0.5Δx。 量化误差的大小取决于A/D转换器的位数，其位数越高， 量化电平越小，量化误差也越小。比如，若用8位的A/D转换 器，8位二进制数为28=256，则量化电平为所测信号最大幅值 的1/256，最大量化误差为所测信号最大幅值的±1/512。
概率论与随机过程第2章(15)
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零， 方差σ2相同。
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩 （均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
用Pearson-Ⅲ型概率分布推算贵阳降水量的重现期
用Pearson-Ⅲ型概率分布推算贵阳降水量的重现期杨娟【摘要】Pearson-Ⅲ型概率分布曲线能用来拟合不同时段降水量的分布,进而求得一定重现期下的降水量极值,该文采用该方法分别对贵阳市年雨量、年最大月和日降水量3种变量进行拟合.结果表明,Pearson-Ⅲ型概率分布能较好拟合贵阳地区的暴雨频数分布,拟合效果良好,估算结果可信.【期刊名称】《贵州气象》【年(卷),期】2015(039)004【总页数】4页(P8-11)【关键词】Pearson-Ⅲ型;降水量;重现期;极值【作者】杨娟【作者单位】贵州省气候中心,贵州贵阳550002【正文语种】中文【中图分类】P426.61+3气候对自然环境、人类经济活动影响很大[1]。
某些具有重大经济价值或关系到人民生命财产的工程，必须能够抵御灾害性天气的袭击，人们可根据工程使用期内气象极值可能出现的保险系数，在设计上加以预防，使受损坏程度达最低限度[2]。
在各类自然灾害中，暴雨引发的自然灾害是比较常见的，暴雨洪涝能给国计民生带来严重损失，如果出现几十年乃至上百年一遇的大暴雨或特大暴雨，虽然发生的几率较小，但若出现则可能造成毁灭性的灾害，这将威胁到人民生命财产安全，因此许多工程的设计需要依据给定重现期的降水极值[3]。
贵州是暴雨的多发区，而且，贵州的暴雨过程常常具有大范围或成片发生的特点，它们比单点暴雨有着更大的重现率，所带来的危害性也更大[4]。
因此，通过合理的概率分布模型，对贵州降水量进行极值分布和重现期的计算，对更好地为地方政府合理规划城市和农村的防洪抗灾，兴修水利工程等提供科学依据有着重要的意义。
在中国水文实践中，水文变量的频率分析多采用Pearson—Ⅲ分布曲线来估计，这是一种单峰连续分布偏态曲线，由英国统计学家Pearson发现，它适合于对年、季、月降水量和各种时段最大降水量、最大风速和极大风速等极端天气事件的概率推算及分析，对工业方面大型的合理设计，农业方面的农作物、经济作物的引进，气候评估等有重大意义[5]。
随机信号分析教案2014.2
授课题目（教学章节或主题）平稳随机过程
1平稳随机过程的主要数字特征2 平稳随机过程的功率谱密度
授课方式理论课
1.教学目的与要求：1.掌握平稳随机噪声中数字特征的物理意义；
2.掌握自相关函数、方差、平均功率的计算方法；
3.掌握自相关函数、方差、均方值、功率谱密度在通信中的应用；
教学基本内容（包括重点、难点、时间分配）：
重点：
1. 平稳随机过程的主要数字特征
（1）平稳随机过程的概念及其特点
通信信道中的高斯随机噪声属于平稳随机过程（有各态历经性），即平稳高斯噪声。
随机过程（随机噪声）是不同时刻随机变量的组合，或者说随机过程中每一时刻的取值都是随机变量。
如图.。
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第5章
yt
xt
ht
h
x tΒιβλιοθήκη dx h td
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统 后可得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-
20）变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入
信号X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的，
PAPR分布的上边界
因此，ｒ（ｔ）在幅值ｙ ７时的越幅率为
ｕ，（ｙ’）＝√詈Ｂ７’ｅ∥２。
（１５）
按照Ｂ＝Ｎ／Ｔ的假设，得到在时间周期ｒ内幅值越 过７’的平均数目为
Ｅ［Ｃｒ（７ ７，ｒ）］＝√号Ｍ矿７”。
（１６）
因此，ＰＡＰＲ的ＣＣＤＦ上边界为
＿＿＿＿——
ＦｐＡＰｌｔ（）ｔ）＝√詈』ｖ打ｅ一７ ｏ
（１７）
３ ＰＡＰＲ分布的仿真结果
［５］ Ｊ．Ｓ６１ｎｅｓ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｒａｎｄｏｍ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｆ Ｍ １．
Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９９７：１６０—１６３．
（上接第４５页）
于乎滑的ＷＨＴ的目标架次检测方案。根据模拟的
两架编队情况下的雷达信号，通过仿真实验结果证
Ｐｒ｛ｍａｘ ｒ（ｔ）Ｉ ２＞７｝＝ＰｒＥ Ｃｒ（７’，ｔ）≥１］，
（６）
０≤ｆ≤ｒ
其中Ｃ，（７ ７，ｔ）表示在时间周期ｔ内ｒ（ｔ）越过幅 值），’的次数。通过应用马尔可夫不等式把式（６）转
换成一个不等式，有
Ｐｒ｛ｍ默Ｉ ｒ（ｔ）ｌ＞ｙ’｝ｓ Ｅ［Ｃ，（ｙ’，ｔ）］。
（７）
Ｏ！ｌｇ。
所以，Ｅ［Ｃ，（７ ７，ｔ）］是越过幅值７’的平均次数，表
选择１６ＱＡＭ和１０６个ＯＦＤＭ符号来仿真Ｎ＝ ３２，６４，１２８，２５６，５１２以及１０２４个子载波的ＰＡＰＲ分 布。图１所示为Ｎ＝６４和５１２时式（１７）上边界及文
霎ｉ
１０—２
蠢
懋
１０—３
１０—４
屿娟№～Ｎ肚Ⅳ 他。矧巧刊蝎吣 ２坦佗，４
６
７
８
９
１０
１１
１２ １３
ＰＡＰＲ（ｄＢ）
随机信号分析第五版教学设计
随机信号分析第五版教学设计课程简介本课程是一门讲授随机信号分析基本概念和常见分析方法的课程。
课程从概率论入手，通过讲解常用的随机过程模型、功率谱密度和相关函数等内容，深入探讨了随机信号在实际应用中的原理和方法。
课程目标通过本课程的学习，学生将掌握以下技能和知识：1.掌握随机信号概率统计基础知识；2.理解随机过程及其相关数学描述；3.掌握常见随机过程模型及其性质；4.熟练掌握常用功率谱密度计算方法；5.能够实际应用以上知识解决实际工程问题。
课程大纲第一章概率论基础本章主要内容包括：概率论基本概念、随机变量、概率密度函数、分布函数、矩、期望和方差等知识。
第二章随机过程本章主要讲述：随机过程的概念、常用描述方法、随机过程的性质、二阶矩及相关函数等知识。
第三章常见随机过程模型本章主要内容包括：高斯过程，泊松过程，Markov过程等随机过程模型及其性质分析。
第四章随机过程的功率谱密度本章主要内容包括：随机过程的功率谱密度的概念、性质、功率谱密度实例计算等。
第五章随机过程的相关函数本章主要内容包括：随机过程的相关函数概念、性质、互相关函数实例计算等。
第六章信噪比及噪声本章主要内容包括：信噪比的定义和计算、噪声模型及其功率谱密度分析。
教学方法本课程采用讲授+练习的方式进行教学。
在讲授过程中，教师将采用举例、演示，图表展示等方式，使学生更好地理解和掌握相关概念和方法；在练习环节中，教师将会提供一定数量的习题，帮助学生巩固和练习课程中所学知识，同时也可以提高学生的思维能力、解决实际工程问题的能力。
教学评价针对本课程的教学评价，考核方式主要包括平时小测验、课堂互动、实验报告、期末考试等形式。
其中平时小测验和课堂互动主要考察学生对课程内容的理解情况；实验报告主要考察学生解决实际工程问题的能力；期末考试则主要考察学生对课程所学内容的综合应用能力。
参考教材1.刘硕. 随机信号分析. 清华大学出版社, 2020.2.Papoulis A. Probability, Random Variables, and StochasticProcesses. McGraw-Hill, 2002.3.Kay SM. Fundamentals of Statistical Signal Processing,Volume 1: Estimation Theory. Prentice Hall, 1993.结束语以上是本课程的教学设计，旨在通过系统化的教学内容和灵活多样的教学方式，提高学生的随机信号分析能力和工程问题解决能力，为学生的应用型人才培养奠定坚实的基础。
第2章 随机信号的时域分析
FX (x1, x2,⋅⋅⋅xn；t1,t2,⋅⋅⋅tn ) = P{X (t1) ≤ x1, X (t2) ≤ x2,⋅⋅⋅X (t2) ≤ x2}
若n阶偏导数存在，可有n维概率密度函数
fX
( x1 ,
x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2
, ⋅ ⋅ ⋅tn
)
=
∂n
FX
(x1, x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2 ,⋅⋅⋅tn ∂x1∂x2 ⋅⋅⋅ ∂xn
一个“所有样本函数的集合”。这种理解方式有助于后面随机信号两个基本概念“各态历经性”、 “功率谱密度”的理解。
t
t
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
图 2.1.2 随机信号的理解 ②随机过程X(t，ζ)看成一个“随时间变化的随机变量”。 随机信号X(t，ζ)在t=ti时刻－X(ti，ζ)是定义在Ω上的一个“随机变量”Xi。而随机过程X(t， ζ)在t=tj时刻－X(tj，ζ)是定义在Ω上的另一个“随机变量”Xj。随着t的变化，得到一个个不同——
……
……
X (tn )
mX (t)
t
o t1
t2
……
ti
……
tn
图 2.1.4.1 随机信号的数学期望
【说明】1o ∀t ∈T ，X(t)代表一随机变量，它的随机取值x(t)(t固定)，记为X。
( 2o 由于mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在t时刻所取的样本 x1, x2,
平均，随t的取值而变化，是时间t的确定函数。如图2.1.4.所示。
, xn ) 的统计
【物理含义】1 o mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在各个时刻摆动的中心，是X(t)在各个时刻的 状态的概率质量分布的“中心位置”。
随机变量和的特征函数的性质与应用
2
E(
Xk)=μ, Va
r(
Xk)=σ (
k=1,
2,…,
n),
其中i为虚数单位,即i2 =-1,则
n
2
j
2
∑ E(Xj )-2 ∑ ∑ E(Xj)E(Xk)=-2 ∑ ∑ Cov(Xj,Xk)
j=1
=-
n
[
Cov(
Xj,
Xk)+E(
Xj)
E(
Xk)]-
∑ Cov(X ,X )- ∑ E (X )-2 ∑ ∑ E(X )E(X )
布情形下两个推论,证明 了 等 相 关 同 分 布 随 机 变 量 序 列 和 的 特 征 函 数 在t = 0 处 的 二 阶 导 数 的 极 限
结果 .
2 随机变量和的特征函数的性质
矩阵
性质 1 随 机 变 量 X1 ,
X2 ,…,
Xn ,其 和 的 分 布 的 特 征 函 数 φ(
t)在t=0 处 二 阶 导 数 存 在 .协 方 差
矩的关系 [2],构造了二阶组合数向量和二阶混合原点矩向量,建立了二阶组合数向量和二阶混合原点矩
向量与二维随机变量和的特征函数在t =0 处的二阶导数的关系 .
本文将在文献[
2]研究的基础上建立随机变量和的特征函数在t=0处的二阶导数与随机变量协方
差矩阵的关系,并结合文献[
3]的研究方法,得到了随机变量和的特征函数在 等 相 关 同 分 布 和 独 立 同 分
*
1
2
,
A=
1
1
2
0
0
, μ* =μμT =
, A* =A+μ* =
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* 江苏省博士后科研资助计划（ 批准号： 0902017C ） 和南京理工大学自主科研专项计划（ 批准号： 2010 GJPY028 ） 资助的课题 ． E-mail ： yang76811@ yahoo． cn
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 100506-1
j M τ τ j M V V
ห้องสมุดไป่ตู้
描述 随 机 量 有 两 种 形 式： 一 是 连 续 性 函 数， 包 括概率分布函数 、 概 率 密 度 函 数； 二 是 统 计 特 征 量， 如平均值 、 均方差 ． 3. 1. 随机脉冲信号集合的双参数统计模型 ． 取 N 代表一次测量周期 t f 对 应 的 脉 冲 总 数， 由 于随机性， 脉冲信号基本参数 V j ， τ j 大小排序与脉冲 对应的信 时 序 t i 不同步 ． 依脉冲信号宽度 l τ 排序后， 号幅度 l V 序 列 表 现 出 随 机 性； 反 之， 依脉冲信号幅 度 l V 排序后， 对应的信号宽度 l τ 序列也表现出随机 l V ） 可建 立 随 机 信 号 f （ t i ） 的 一 种 具 性， 即基于 （ l τ ， 有普遍意义的双参数统计模型 ． 设 Δ N l τ 为特征值满 足 τ ∈ l τ Δ t 的脉冲数， Δ N l V 为特征值满足 V ∈ l V Δ V
关键词： 分形，随机信号，双参数，统计
PACS ： 05. 45. Df ； 02. 50. － r
群粒度反演算法的 基 础， 也是随机信号特征信息传
1. 引
言
［1］
输基本规律的重要 体 现 ． 而 较 高 精 度 测 量 数 据 的 分 用对数正态统计函数描述小离散 析计算结果表明， ， 该概念的出现 度颗粒群粒度分布更加准确 科学
［2 ， 3］
、 土壤科学
［9］
［10 ， 11］ ［12］ 、 、 环境科学 生物医学
等的重要研究基础 ． 基于此， 本文以 单 颗 粒 尘 埃 粒 子 激 光 散 射 装 置 建立一种能够描述 的输出信号为典型 的 随 机 信 号， 随机信号 结 构 基 本 特 征 的 双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 实验结果表明， 基 于 此 模 型， 随机信号具有不同 层次的以序列自然 数 为 自 变 量 的 对 数 正 态 分 布， 且 计数分布 的 统 计 特 征 量 与 信 号 的 特 征 参 数 之 间 存 在着内在联系， 这种 联 系 的 形 式 即 随 机 信 号 分 形 特 性的表现， 揭示了随 机 信 号 在 此 处 理 方 式 下 具 有 的 分形特性 ．
ln g V =
1 （ N
LV
Σ
i=1
Δ N l V ln l V i ） （ 8）
= Σ q （ l V ） ln l V = E （ ln l V ） = μ ln V ，
lV = 1
当分档数“趋于无限 ” 时， 可取近似连续形式
∞
任意 周 期 内 的 脉 冲 信 号 数 N i 也 具 有 随 机 性， 但 是， p（ lτ ） ， q （ l V ） 的值 将 随 着 子 样 本 数 Δ N l τ ， ΔN lV 的 增 大趋于稳定， 这种稳 定 趋 势 代 表 了 随 机 脉 冲 信 号 群 的统计特征 ． 子集 Δ N l V 中的脉冲信号宽度 l τ 也不都相同， 其 宽度分布函数定义为 ΔN lV ΔN lV Δ N l τl V ΔN lτ 1 ΔN lV ． = q（ lV ） N 1 Δ N l τl V = ， p（ lτ ） N
9
3. 随 机 脉 冲 信 号 群 的 统 计 描 述 及 其 性质
与图 2 对 应 的 随 机 脉 冲 信 号 有 两 个 基 本 参 数 V， τ ． 考虑实际测量精度 Δ t ， ΔV， 也可用一对自然数 （ lτ ， l V ） 描述随机脉冲信号（ 如图 2 所 示） ， 对第 j 个 脉冲有 lτ = lV τ τ － 1 ] ， l ∈ ( 1， － 1) ， 2， …， L = [Δ t Δt V V ． = [ ， l ∈ ( 1， （ 2） 2， …， L = ] ΔV ΔV )
． 许多现实信号
即分形与信号之 具有明显或者不明 显 的 分 形 特 征， 间存在着一 种 自 然 联 系， 而 正 是 这 种 联 系， 奠定了 分形理论用于 信 号 处 理 的 基 础
［4 — 6］
． 分形信号处理
方法的研究主要集 中 在 以 下 几 个 方 面： 1 ） 分 析 信 号 是否具有分 形 特 点， 是 否 满 足 特 定 的 分 形 模 型； 2 ） 利用各种 分 析 工 具 对 满 足 各 种 分 形 模 型 的 信 号 进 行处理； 3 ） 产 生 满 足 某 种 特 定 分 形 模 型 的 信 号； 4 ） 利用迭代函数系统对信号进行除 （ 如压缩等） ； 5 ） 利 用多重 分 形 分 析 方 法 对 信 号 进 行 处 理 （ 如 噪 声 处 理等） ． 在悬浮粒子计 数 测 量 系 统 中， 粒子群对应的是 离散的随机电压脉 冲 信 号 群， 脉冲信号的两个基本 V 0 为参 参数为脉冲宽度 τ 和脉冲幅度 Δ V = V － V 0 ， 考电压 ． 依观测时 序 为 基 准， 脉 冲 信 号 幅 度、 宽度表 现出随机性， 进行大 量 样 本 统 计 后 信 号 数 随 幅 度 或 宽度的分布呈现出 稳 定 的 规 律， 该分布规律是颗粒
［7 ， 8］ ［7］
分形一 词 由 Mandelbrot 创 建
，此结论已成为纳米
为人们认 识 事 物 局 部 与 整 体 的 关 系 提 供 了 一 种 辩 为描 述 自 然 界 和 社 会 的 复 杂 现 象 提 证的思维方式， 供了一种间接有力 的 几 何 语 言， 目前已广泛应用于 各类学科 非 线 性 问 题 的 研 究 中
建立了一种能够描述随机信号结构基本特征的双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 基 于 此 模 型， 脉冲信号群幅度计数 分布 q （ l V ） ，宽度计数分布 p （ l τ ） 及给定宽度信号子集的幅 度 计 数 分 布 ε l τ （ l V ） ，给 定 幅 度 信 号 子 集 的 宽 度 计 数 分 布 δ l V （ l τ ） 均能很稳定的服从以序列自然数为自变量的对数正态分布 ． 且 计 数 分 布 的 统 计 特 征 量 μ ln V ， μ ln τ ， σ ln V ， σ ln τ l τ 之间存在内在联系， 与信号的特征参数 l V ， 这种联系的形式即随机信号 分 形 特 性 的 表 现， 表明随机信号特征参数 的统计分布之间具有非整数维分形特征 ．
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506
典型随机信号特征参数统计分布的分形特性
杨 娟
*
卞保民 闫振纲 王春勇 李振华
210094 ）
（ 南京理工大学信息物理与工程系， 南京
（ 2010 年 12 月 29 日收到； 2011 年 1 月 22 日收到修改稿）
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506
f（ t n ） ｝ ， …， ｛ f（ t k + 1 ） ， …， f（ t k + n ） ｝ ， …｝ ． 若 不 同 子 集 F n 内元素 数 值 排 序 没 有 明 显 的 结 构 相 似 性， 则称 ｛ f （ t i ） ｝ 为随机 信 号， 且逻辑形式上可将测量数据 ｛ f （ t i ） ｝ 作为连续形式函数 f （ t ） 对待 ．
图2
典型的随机脉冲信号双参数结构示意图
基本的特征参数外， 还具有其他的更复杂意义的特 征参量（ 参见图 （ 2 ） ） ： 如 几 何 面 积 、 上 升 时 间、 平均
图1 随机信号的波形示意图
下降时间 、 半 高 宽 等 等． 对 于 任 意 可 测 量 都 有 斜率 、 确定的值域范围和 分 布 随 机 性， 这两种特征表明被 测量是特定环境下实物之间相互作用的反映 ．
我们采用一种 简 单 实 验 装 置， 产生具有上述基 本特征 的 典 型 随 机 信 号 ． 该 实 验 装 置 的 基 本 组 成 有： 单颗粒尘埃粒 子 激 光 散 射 装 置， 散 射 光 探 测 器、 20M 数 字 采 集 卡， 前置信号及 放 大 器， 测量信号的 数据输入计算机进 行 统 计 分 析 处 理 ． 最 小 数 据 采 样 间隔时间 Δ t ～ 0. 05 μ s ， 正常采样周期 t f ～ 60 s ， 一 次采 样 信 号 数 据 总 量 约 10 ， 统计结果具有很高的 可信度 ． 在信号等间隔 采 样 条 件 下， 可将信号记录为自 然数序列 f （ i · Δ t ） ，或随机直方图序列 s （ i ） ≡ Δ t· f （ i · Δ t ） ． 取一参 考 值 V 0 ，定 义 一 种 双 参 数 变 换 模 变换函数为 型表征 ｛ f （ i · Δ t ） ｝ 的统计特征， 珓 f（ t ， V0 ） = f （ t ） － V0 ＞ 0 ， f max ＞ V0 ＞ f min ， （ 1） 珓 V0 ） ｝ 一 般 由 时 序 不 连 续 的 序 列 脉 冲 组 集 合 ｛ f （ t， f j （ t， V 0 ） 幅度为 V j ，宽度为 τ j ， 任意脉冲 珓 脉冲单 成， f j （ t， 元结构参 见 图 2． 双 参 数 （ V j ， τj ） 是 脉 冲 信 号 珓 V 0 ） 的基本特征参数 ． 变换后的信号序列 ｛ V j （ t ） ｝ 为 ｛ f （ t i ） ｝ 的子集， 子集 ｛ V j （ t ） ｝ 的脉冲总数与参数 V 0 的取值有关， 且 有自身 的 统 计 特 征 ． 当 宽 度 τ j = t f 时， 对应一个脉 冲； 而一般情况下， τ j 为 Δ t 的整数倍， 对应的最小脉 冲宽度 τ m = 2 Δ t ， 脉冲总数小于 tf 2 Δt ． 幅度 V 为测量