典型随机信号特征参数统计分布的分形特性_杨娟
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j M τ τ j M V V
描述 随 机 量 有 两 种 形 式： 一 是 连 续 性 函 数， 包 括概率分布函数 、 概 率 密 度 函 数； 二 是 统 计 特 征 量， 如平均值 、 均方差 ． 3. 1. 随机脉冲信号集合的双参数统计模型 ． 取 N 代表一次测量周期 t f 对 应 的 脉 冲 总 数， 由 于随机性， 脉冲信号基本参数 V j ， τ j 大小排序与脉冲 对应的信 时 序 t i 不同步 ． 依脉冲信号宽度 l τ 排序后， 号幅度 l V 序 列 表 现 出 随 机 性； 反 之， 依脉冲信号幅 度 l V 排序后， 对应的信号宽度 l τ 序列也表现出随机 l V ） 可建 立 随 机 信 号 f （ t i ） 的 一 种 具 性， 即基于 （ l τ ， 有普遍意义的双参数统计模型 ． 设 Δ N l τ 为特征值满 足 τ ∈ l τ Δ t 的脉冲数， Δ N l V 为特征值满足 V ∈ l V Δ V
2. 典型随机信号的基本特征参数
一般意义 上 的 随 机 信 号 对 应 于 一 时 间 序 列 集 2， …， n， … ） ｝ ，图 1 给 出 合 F = ｛ f（ t i ） （ i = 1 ， ｛ f （ t i ） ｝ 记录值的一段子样 ． 在信号等间隔 Δ t ≡ t i + 1 － t i 采样， 且采样 时 间 t f 足 够 长 （ t f / Δ t → ∞ ） 条 件 下， 对有限自然数 n ，取 度 量 周 期 T = n Δ t ，可 将 集 …， 合 F 按 时 间 顺 序 划 分 成 子 集 F n ｛ ｛ f （ t1 ） ，
［7 ， 8］ ［7］
分形一 词 由 Mandelbrot 创 建
，此结论已成为纳米
为人们认 识 事 物 局 部 与 整 体 的 关 系 提 供 了 一 种 辩 为描 述 自 然 界 和 社 会 的 复 杂 现 象 提 证的思维方式， 供了一种间接有力 的 几 何 语 言， 目前已广泛应用于 各类学科 非 线 性 问 题 的 研 究 中
* 江苏省博士后科研资助计划（ 批准号： 0902017C ） 和南京理工大学自主科研专项计划（ 批准号： 2010 GJPY028 ） 资助的课题 ． E-mail ： yang76811@ yahoo． cn
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 100506-1
我们采用一种 简 单 实 验 装 置， 产生具有上述基 本特征 的 典 型 随 机 信 号 ． 该 实 验 装 置 的 基 本 组 成 有： 单颗粒尘埃粒 子 激 光 散 射 装 置， 散 射 光 探 测 器、 20M 数 字 采 集 卡， 前置信号及 放 大 器， 测量信号的 数据输入计算机进 行 统 计 分 析 处 理 ． 最 小 数 据 采 样 间隔时间 Δ t ～ 0. 05 μ s ， 正常采样周期 t f ～ 60 s ， 一 次采 样 信 号 数 据 总 量 约 10 ， 统计结果具有很高的 可信度 ． 在信号等间隔 采 样 条 件 下， 可将信号记录为自 然数序列 f （ i · Δ t ） ，或随机直方图序列 s （ i ） ≡ Δ t· f （ i · Δ t ） ． 取一参 考 值 V 0 ，定 义 一 种 双 参 数 变 换 模 变换函数为 型表征 ｛ f （ i · Δ t ） ｝ 的统计特征， 珓 f（ t ， V0 ） = f （ t ） － V0 ＞ 0 ， f max ＞ V0 ＞ f min ， （ 1） 珓 V0 ） ｝ 一 般 由 时 序 不 连 续 的 序 列 脉 冲 组 集 合 ｛ f （ t， f j （ t， V 0 ） 幅度为 V j ，宽度为 τ j ， 任意脉冲 珓 脉冲单 成， f j （ t， 元结构参 见 图 2． 双 参 数 （ V j ， τj ） 是 脉 冲 信 号 珓 V 0 ） 的基本特征参数 ． 变换后的信号序列 ｛ V j （ t ） ｝ 为 ｛ f （ t i ） ｝ 的子集， 子集 ｛ V j （ t ） ｝ 的脉冲总数与参数 V 0 的取值有关， 且 有自身 的 统 计 特 征 ． 当 宽 度 τ j = t f 时， 对应一个脉 冲； 而一般情况下， τ j 为 Δ t 的整数倍， 对应的最小脉 冲宽度 τ m = 2 Δ t ， 脉冲总数小于 tf 2 Δt ． 幅度 V 为测量
分辨率 Δ V 的整数倍， 对应于（ 1 ） 式有最小脉冲信号 幅度 V m = Δ V． 显然， 随机脉冲信号 V j （ t ） 除 了 幅 度 、 宽度两个
100506-2
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
LV
100506
的脉冲数， 则随机脉 冲 信 号 集 合 的 基 本 概 率 分 布 函 数分别为 p（ lτ ） ≡ q（ lV ） ≡ ΔN lτ N ΔN lV N ， ， （ 3）
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506Hale Waihona Puke Baidu
f（ t n ） ｝ ， …， ｛ f（ t k + 1 ） ， …， f（ t k + n ） ｝ ， …｝ ． 若 不 同 子 集 F n 内元素 数 值 排 序 没 有 明 显 的 结 构 相 似 性， 则称 ｛ f （ t i ） ｝ 为随机 信 号， 且逻辑形式上可将测量数据 ｛ f （ t i ） ｝ 作为连续形式函数 f （ t ） 对待 ．
μ ln V =
Σ
q （ l V ） ln l V ≈
lV = 1
∫
∞
q （ l V ） ln l V d l V ．
（ 9）
1
上述 μ V ， μ ln V 为一阶矩统计特征量， 对应的中心 二阶矩统计特征量分别为
LV
E｛ （ lVi － μ V ） 2 ｝ = Σ q（ lV ） （ lV － μ V ）
图2
典型的随机脉冲信号双参数结构示意图
基本的特征参数外， 还具有其他的更复杂意义的特 征参量（ 参见图 （ 2 ） ） ： 如 几 何 面 积 、 上 升 时 间、 平均
图1 随机信号的波形示意图
下降时间 、 半 高 宽 等 等． 对 于 任 意 可 测 量 都 有 斜率 、 确定的值域范围和 分 布 随 机 性， 这两种特征表明被 测量是特定环境下实物之间相互作用的反映 ．
建立了一种能够描述随机信号结构基本特征的双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 基 于 此 模 型， 脉冲信号群幅度计数 分布 q （ l V ） ，宽度计数分布 p （ l τ ） 及给定宽度信号子集的幅 度 计 数 分 布 ε l τ （ l V ） ，给 定 幅 度 信 号 子 集 的 宽 度 计 数 分 布 δ l V （ l τ ） 均能很稳定的服从以序列自然数为自变量的对数正态分布 ． 且 计 数 分 布 的 统 计 特 征 量 μ ln V ， μ ln τ ， σ ln V ， σ ln τ l τ 之间存在内在联系， 与信号的特征参数 l V ， 这种联系的形式即随机信号 分 形 特 性 的 表 现， 表明随机信号特征参数 的统计分布之间具有非整数维分形特征 ．
9
3. 随 机 脉 冲 信 号 群 的 统 计 描 述 及 其 性质
与图 2 对 应 的 随 机 脉 冲 信 号 有 两 个 基 本 参 数 V， τ ． 考虑实际测量精度 Δ t ， ΔV， 也可用一对自然数 （ lτ ， l V ） 描述随机脉冲信号（ 如图 2 所 示） ， 对第 j 个 脉冲有 lτ = lV τ τ － 1 ] ， l ∈ ( 1， － 1) ， 2， …， L = [Δ t Δt V V ． = [ ， l ∈ ( 1， （ 2） 2， …， L = ] ΔV ΔV )
［2 ， 3］
、 土壤科学
［9］
［10 ， 11］ ［12］ 、 、 环境科学 生物医学
等的重要研究基础 ． 基于此， 本文以 单 颗 粒 尘 埃 粒 子 激 光 散 射 装 置 建立一种能够描述 的输出信号为典型 的 随 机 信 号， 随机信号 结 构 基 本 特 征 的 双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 实验结果表明， 基 于 此 模 型， 随机信号具有不同 层次的以序列自然 数 为 自 变 量 的 对 数 正 态 分 布， 且 计数分布 的 统 计 特 征 量 与 信 号 的 特 征 参 数 之 间 存 在着内在联系， 这种 联 系 的 形 式 即 随 机 信 号 分 形 特 性的表现， 揭示了随 机 信 号 在 此 处 理 方 式 下 具 有 的 分形特性 ．
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506
典型随机信号特征参数统计分布的分形特性
杨 娟
*
卞保民 闫振纲 王春勇 李振华
210094 ）
（ 南京理工大学信息物理与工程系， 南京
（ 2010 年 12 月 29 日收到； 2011 年 1 月 22 日收到修改稿）
关键词： 分形，随机信号，双参数，统计
PACS ： 05. 45. Df ； 02. 50. － r
群粒度反演算法的 基 础， 也是随机信号特征信息传
1. 引
言
［1］
输基本规律的重要 体 现 ． 而 较 高 精 度 测 量 数 据 的 分 用对数正态统计函数描述小离散 析计算结果表明， ， 该概念的出现 度颗粒群粒度分布更加准确 科学
． 许多现实信号
即分形与信号之 具有明显或者不明 显 的 分 形 特 征， 间存在着一 种 自 然 联 系， 而 正 是 这 种 联 系， 奠定了 分形理论用于 信 号 处 理 的 基 础
［4 — 6］
． 分形信号处理
方法的研究主要集 中 在 以 下 几 个 方 面： 1 ） 分 析 信 号 是否具有分 形 特 点， 是 否 满 足 特 定 的 分 形 模 型； 2 ） 利用各种 分 析 工 具 对 满 足 各 种 分 形 模 型 的 信 号 进 行处理； 3 ） 产 生 满 足 某 种 特 定 分 形 模 型 的 信 号； 4 ） 利用迭代函数系统对信号进行除 （ 如压缩等） ； 5 ） 利 用多重 分 形 分 析 方 法 对 信 号 进 行 处 理 （ 如 噪 声 处 理等） ． 在悬浮粒子计 数 测 量 系 统 中， 粒子群对应的是 离散的随机电压脉 冲 信 号 群， 脉冲信号的两个基本 V 0 为参 参数为脉冲宽度 τ 和脉冲幅度 Δ V = V － V 0 ， 考电压 ． 依观测时 序 为 基 准， 脉 冲 信 号 幅 度、 宽度表 现出随机性， 进行大 量 样 本 统 计 后 信 号 数 随 幅 度 或 宽度的分布呈现出 稳 定 的 规 律， 该分布规律是颗粒
lV = 1 LV 2
2
= σ2 V，
2
δlV （ lτ ） ≡
（ 4）
E ｛ （ ln l V i － μ ln V ） ｝ = Σ q （ l V ） （ ln l V － μ ln V ）
ln g V =
1 （ N
LV
Σ
i=1
Δ N l V ln l V i ） （ 8）
= Σ q （ l V ） ln l V = E （ ln l V ） = μ ln V ，
lV = 1
当分档数“趋于无限 ” 时， 可取近似连续形式
∞
任意 周 期 内 的 脉 冲 信 号 数 N i 也 具 有 随 机 性， 但 是， p（ lτ ） ， q （ l V ） 的值 将 随 着 子 样 本 数 Δ N l τ ， ΔN lV 的 增 大趋于稳定， 这种稳 定 趋 势 代 表 了 随 机 脉 冲 信 号 群 的统计特征 ． 子集 Δ N l V 中的脉冲信号宽度 l τ 也不都相同， 其 宽度分布函数定义为 ΔN lV ΔN lV Δ N l τl V ΔN lτ 1 ΔN lV ． = q（ lV ） N 1 Δ N l τl V = ， p（ lτ ） N
描述 随 机 量 有 两 种 形 式： 一 是 连 续 性 函 数， 包 括概率分布函数 、 概 率 密 度 函 数； 二 是 统 计 特 征 量， 如平均值 、 均方差 ． 3. 1. 随机脉冲信号集合的双参数统计模型 ． 取 N 代表一次测量周期 t f 对 应 的 脉 冲 总 数， 由 于随机性， 脉冲信号基本参数 V j ， τ j 大小排序与脉冲 对应的信 时 序 t i 不同步 ． 依脉冲信号宽度 l τ 排序后， 号幅度 l V 序 列 表 现 出 随 机 性； 反 之， 依脉冲信号幅 度 l V 排序后， 对应的信号宽度 l τ 序列也表现出随机 l V ） 可建 立 随 机 信 号 f （ t i ） 的 一 种 具 性， 即基于 （ l τ ， 有普遍意义的双参数统计模型 ． 设 Δ N l τ 为特征值满 足 τ ∈ l τ Δ t 的脉冲数， Δ N l V 为特征值满足 V ∈ l V Δ V
2. 典型随机信号的基本特征参数
一般意义 上 的 随 机 信 号 对 应 于 一 时 间 序 列 集 2， …， n， … ） ｝ ，图 1 给 出 合 F = ｛ f（ t i ） （ i = 1 ， ｛ f （ t i ） ｝ 记录值的一段子样 ． 在信号等间隔 Δ t ≡ t i + 1 － t i 采样， 且采样 时 间 t f 足 够 长 （ t f / Δ t → ∞ ） 条 件 下， 对有限自然数 n ，取 度 量 周 期 T = n Δ t ，可 将 集 …， 合 F 按 时 间 顺 序 划 分 成 子 集 F n ｛ ｛ f （ t1 ） ，
［7 ， 8］ ［7］
分形一 词 由 Mandelbrot 创 建
，此结论已成为纳米
为人们认 识 事 物 局 部 与 整 体 的 关 系 提 供 了 一 种 辩 为描 述 自 然 界 和 社 会 的 复 杂 现 象 提 证的思维方式， 供了一种间接有力 的 几 何 语 言， 目前已广泛应用于 各类学科 非 线 性 问 题 的 研 究 中
* 江苏省博士后科研资助计划（ 批准号： 0902017C ） 和南京理工大学自主科研专项计划（ 批准号： 2010 GJPY028 ） 资助的课题 ． E-mail ： yang76811@ yahoo． cn
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 100506-1
我们采用一种 简 单 实 验 装 置， 产生具有上述基 本特征 的 典 型 随 机 信 号 ． 该 实 验 装 置 的 基 本 组 成 有： 单颗粒尘埃粒 子 激 光 散 射 装 置， 散 射 光 探 测 器、 20M 数 字 采 集 卡， 前置信号及 放 大 器， 测量信号的 数据输入计算机进 行 统 计 分 析 处 理 ． 最 小 数 据 采 样 间隔时间 Δ t ～ 0. 05 μ s ， 正常采样周期 t f ～ 60 s ， 一 次采 样 信 号 数 据 总 量 约 10 ， 统计结果具有很高的 可信度 ． 在信号等间隔 采 样 条 件 下， 可将信号记录为自 然数序列 f （ i · Δ t ） ，或随机直方图序列 s （ i ） ≡ Δ t· f （ i · Δ t ） ． 取一参 考 值 V 0 ，定 义 一 种 双 参 数 变 换 模 变换函数为 型表征 ｛ f （ i · Δ t ） ｝ 的统计特征， 珓 f（ t ， V0 ） = f （ t ） － V0 ＞ 0 ， f max ＞ V0 ＞ f min ， （ 1） 珓 V0 ） ｝ 一 般 由 时 序 不 连 续 的 序 列 脉 冲 组 集 合 ｛ f （ t， f j （ t， V 0 ） 幅度为 V j ，宽度为 τ j ， 任意脉冲 珓 脉冲单 成， f j （ t， 元结构参 见 图 2． 双 参 数 （ V j ， τj ） 是 脉 冲 信 号 珓 V 0 ） 的基本特征参数 ． 变换后的信号序列 ｛ V j （ t ） ｝ 为 ｛ f （ t i ） ｝ 的子集， 子集 ｛ V j （ t ） ｝ 的脉冲总数与参数 V 0 的取值有关， 且 有自身 的 统 计 特 征 ． 当 宽 度 τ j = t f 时， 对应一个脉 冲； 而一般情况下， τ j 为 Δ t 的整数倍， 对应的最小脉 冲宽度 τ m = 2 Δ t ， 脉冲总数小于 tf 2 Δt ． 幅度 V 为测量
分辨率 Δ V 的整数倍， 对应于（ 1 ） 式有最小脉冲信号 幅度 V m = Δ V． 显然， 随机脉冲信号 V j （ t ） 除 了 幅 度 、 宽度两个
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Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
LV
100506
的脉冲数， 则随机脉 冲 信 号 集 合 的 基 本 概 率 分 布 函 数分别为 p（ lτ ） ≡ q（ lV ） ≡ ΔN lτ N ΔN lV N ， ， （ 3）
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506Hale Waihona Puke Baidu
f（ t n ） ｝ ， …， ｛ f（ t k + 1 ） ， …， f（ t k + n ） ｝ ， …｝ ． 若 不 同 子 集 F n 内元素 数 值 排 序 没 有 明 显 的 结 构 相 似 性， 则称 ｛ f （ t i ） ｝ 为随机 信 号， 且逻辑形式上可将测量数据 ｛ f （ t i ） ｝ 作为连续形式函数 f （ t ） 对待 ．
μ ln V =
Σ
q （ l V ） ln l V ≈
lV = 1
∫
∞
q （ l V ） ln l V d l V ．
（ 9）
1
上述 μ V ， μ ln V 为一阶矩统计特征量， 对应的中心 二阶矩统计特征量分别为
LV
E｛ （ lVi － μ V ） 2 ｝ = Σ q（ lV ） （ lV － μ V ）
图2
典型的随机脉冲信号双参数结构示意图
基本的特征参数外， 还具有其他的更复杂意义的特 征参量（ 参见图 （ 2 ） ） ： 如 几 何 面 积 、 上 升 时 间、 平均
图1 随机信号的波形示意图
下降时间 、 半 高 宽 等 等． 对 于 任 意 可 测 量 都 有 斜率 、 确定的值域范围和 分 布 随 机 性， 这两种特征表明被 测量是特定环境下实物之间相互作用的反映 ．
建立了一种能够描述随机信号结构基本特征的双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 基 于 此 模 型， 脉冲信号群幅度计数 分布 q （ l V ） ，宽度计数分布 p （ l τ ） 及给定宽度信号子集的幅 度 计 数 分 布 ε l τ （ l V ） ，给 定 幅 度 信 号 子 集 的 宽 度 计 数 分 布 δ l V （ l τ ） 均能很稳定的服从以序列自然数为自变量的对数正态分布 ． 且 计 数 分 布 的 统 计 特 征 量 μ ln V ， μ ln τ ， σ ln V ， σ ln τ l τ 之间存在内在联系， 与信号的特征参数 l V ， 这种联系的形式即随机信号 分 形 特 性 的 表 现， 表明随机信号特征参数 的统计分布之间具有非整数维分形特征 ．
9
3. 随 机 脉 冲 信 号 群 的 统 计 描 述 及 其 性质
与图 2 对 应 的 随 机 脉 冲 信 号 有 两 个 基 本 参 数 V， τ ． 考虑实际测量精度 Δ t ， ΔV， 也可用一对自然数 （ lτ ， l V ） 描述随机脉冲信号（ 如图 2 所 示） ， 对第 j 个 脉冲有 lτ = lV τ τ － 1 ] ， l ∈ ( 1， － 1) ， 2， …， L = [Δ t Δt V V ． = [ ， l ∈ ( 1， （ 2） 2， …， L = ] ΔV ΔV )
［2 ， 3］
、 土壤科学
［9］
［10 ， 11］ ［12］ 、 、 环境科学 生物医学
等的重要研究基础 ． 基于此， 本文以 单 颗 粒 尘 埃 粒 子 激 光 散 射 装 置 建立一种能够描述 的输出信号为典型 的 随 机 信 号， 随机信号 结 构 基 本 特 征 的 双 参 数 脉 冲 信 号 统 计 模 型 ． 实验结果表明， 基 于 此 模 型， 随机信号具有不同 层次的以序列自然 数 为 自 变 量 的 对 数 正 态 分 布， 且 计数分布 的 统 计 特 征 量 与 信 号 的 特 征 参 数 之 间 存 在着内在联系， 这种 联 系 的 形 式 即 随 机 信 号 分 形 特 性的表现， 揭示了随 机 信 号 在 此 处 理 方 式 下 具 有 的 分形特性 ．
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 10 （ 2011 ）
100506
典型随机信号特征参数统计分布的分形特性
杨 娟
*
卞保民 闫振纲 王春勇 李振华
210094 ）
（ 南京理工大学信息物理与工程系， 南京
（ 2010 年 12 月 29 日收到； 2011 年 1 月 22 日收到修改稿）
关键词： 分形，随机信号，双参数，统计
PACS ： 05. 45. Df ； 02. 50. － r
群粒度反演算法的 基 础， 也是随机信号特征信息传
1. 引
言
［1］
输基本规律的重要 体 现 ． 而 较 高 精 度 测 量 数 据 的 分 用对数正态统计函数描述小离散 析计算结果表明， ， 该概念的出现 度颗粒群粒度分布更加准确 科学
． 许多现实信号
即分形与信号之 具有明显或者不明 显 的 分 形 特 征， 间存在着一 种 自 然 联 系， 而 正 是 这 种 联 系， 奠定了 分形理论用于 信 号 处 理 的 基 础
［4 — 6］
． 分形信号处理
方法的研究主要集 中 在 以 下 几 个 方 面： 1 ） 分 析 信 号 是否具有分 形 特 点， 是 否 满 足 特 定 的 分 形 模 型； 2 ） 利用各种 分 析 工 具 对 满 足 各 种 分 形 模 型 的 信 号 进 行处理； 3 ） 产 生 满 足 某 种 特 定 分 形 模 型 的 信 号； 4 ） 利用迭代函数系统对信号进行除 （ 如压缩等） ； 5 ） 利 用多重 分 形 分 析 方 法 对 信 号 进 行 处 理 （ 如 噪 声 处 理等） ． 在悬浮粒子计 数 测 量 系 统 中， 粒子群对应的是 离散的随机电压脉 冲 信 号 群， 脉冲信号的两个基本 V 0 为参 参数为脉冲宽度 τ 和脉冲幅度 Δ V = V － V 0 ， 考电压 ． 依观测时 序 为 基 准， 脉 冲 信 号 幅 度、 宽度表 现出随机性， 进行大 量 样 本 统 计 后 信 号 数 随 幅 度 或 宽度的分布呈现出 稳 定 的 规 律， 该分布规律是颗粒
lV = 1 LV 2
2
= σ2 V，
2
δlV （ lτ ） ≡
（ 4）
E ｛ （ ln l V i － μ ln V ） ｝ = Σ q （ l V ） （ ln l V － μ ln V ）
ln g V =
1 （ N
LV
Σ
i=1
Δ N l V ln l V i ） （ 8）
= Σ q （ l V ） ln l V = E （ ln l V ） = μ ln V ，
lV = 1
当分档数“趋于无限 ” 时， 可取近似连续形式
∞
任意 周 期 内 的 脉 冲 信 号 数 N i 也 具 有 随 机 性， 但 是， p（ lτ ） ， q （ l V ） 的值 将 随 着 子 样 本 数 Δ N l τ ， ΔN lV 的 增 大趋于稳定， 这种稳 定 趋 势 代 表 了 随 机 脉 冲 信 号 群 的统计特征 ． 子集 Δ N l V 中的脉冲信号宽度 l τ 也不都相同， 其 宽度分布函数定义为 ΔN lV ΔN lV Δ N l τl V ΔN lτ 1 ΔN lV ． = q（ lV ） N 1 Δ N l τl V = ， p（ lτ ） N