电工学 电路的暂态分析

3·3·1 RC电路的零状态响应
微分方程
U
RC
duC dt
uC
的解为
uC=uC+uC
式中 uC=uC()=U 是方程的特解，即电路的稳态分量；
uC=Aept =-Ue-t/ 是方程的通解，即电路的暂态分量；
1S i
t=0 +
+2 U -
R -uR +
C -uC
uC U
所以 uC=U(1-e-t/ )
+
u-L L
t=0+ 的电路
R1 i
2
+U -6V
iC + uC-
R2 4
C
iL
R3 4
+
u-L L
iL(0+)iL(0-)0 uC(0+)uC(0-)0
i(0+) iC(0+)1A uL(0+)4V
3·3 RC电路的响应
3·3·1 RC电路的零状态响应
所谓RC电路的零状态响应，是指换路前电容元件末有能量， uC(0-)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为 零状态响应。
分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。
1S i
t=0 +
+2 U -
R -uR +
C -uC
图所示是一RC串联电路，在 t=0 时将开 关S合到位置1上，电路即与一恒定电压为 U 的电压源接通，对电容元件开始充电。
t0时，根据基尔霍夫电压定律
U
Ri
uC
RC
duC dt
uC
3·3 RC电路的响应
1 2
Cu2
不能跃变，这反映在电容元件上
可见：
电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变而产生的。
3·2 储能元件和换路定则
设 t=0为换路瞬间，而以 t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示 换路后的初始瞬间。0- 和0+ 在数值上都等于0，但前者是指 t 从负 值趋于零，后者是指 t从正值趋于零。
时，磁场能量减小，磁能转换为电能，即电感元件向电源放还能
量。可见电感元件不消耗能量，是储能元件。
3·1 电阻元件、电感元件与电容元件
3·1·3 电容元件
i
图所示是电容元件，其参数 C=q/u，称为电容。
电容的单位： 法[拉](F)，微法(F)，皮法(pF)
+ u
C
当电容元件上电荷[量]或电压 u 发生变化时，则在电路中引起电流
短路。
3·1 电阻元件、电感元件与电容元件
3·1·2 电感元件
u Lddti 将上式两边乘以电流 i，并积 分之，则得
i
+
u
-
eL
i
+u eL L -+
t
uidt
0
i 0
Lidi
1 2
Li2
上式表明当电感元件中的电流增大时，磁场能量增大；在此过
程中电能转换为磁能，即电感元件从电源取用能量；当电流减小
i
+
u
R
-
将上式两边乘以 i，并积分之，则得
t
uidt
t Ri2dt
0
0
上式表明电能全部消耗在电阻元件上，转换为热能。电阻元件
是耗能元件。
3·1 电阻元件、电感元件与电容元件
3·1·2 电感元件
图所示是一电感元件(线圈)， 其上电压为 u。当通过电流 i 时，
将产生磁通。
设磁通通过每匝线圈，如果
式中，A=-U 是方程的积分常数；
p
1 RC
是方程的特征根；
=RC 是电路的时间常数，
具有时间的量纲。
63.2%U
O
t 电容电压uC随时间的变化曲线。
3·3 RC电路的响应
3·3·1 RC电路的零状态响应
uC=U(1-e-t/ )
uC U 63.2%U
i
+
u
-
eL
i
+u eL L -+
线圈有N 匝，则电感元件的参数 L=N /i，称为电感或自感。
电感的单位：亨[利](H)，毫亨(mH)
当电感元件中磁通 或电流 i 发生变化时，则在电感元件中产生
的感应电动势为
eL
N
d dt
L
di dt
根据基尔霍夫电压定律可写出
u+eL=0 或
u
eL
L
di dt
当线圈中通过恒定电流时，其上电压 u为零，故电感元件可视为
3·2 储能元件和换路定则
[例题] 换路前已处于稳态，开关在 t=0时闭合。求电路中各电流
和电压的初始值。
S R1 i
[解] t=0- 的电路
S R1
t=0 2
+U -6V
+ uC-
R2 4
iL
C
R3 4
L
iL(0-)0 uC(0-)0
t=0 +U -6V
2 iC + uC-
R2 4
C
iL
R3 4
第 3 章 电路的暂态分析
仅由电阻元件构成的电路，一旦接通或断开电源时，电路立即 处于稳定状态。但当电路中含有电感元件或电容元件时则不然。
譬如当RC串联电路与直流电源接通后， 电容元件被充电，其上电压uC 是逐渐增长 到稳定值 (电源电压) 的；电路中有充电电 流，它是逐渐衰减到零的。
i
+R
U
+
- C -uC
从t=0- 到t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件上的电压不 能跃变，这称为换路定则，如用公式表示，则为
iL(0-)=ຫໍສະໝຸດ BaiduL(0+) uC(0-)=uC(0+)
换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+ 时电路中电 压和电流之值，即暂态过程的初始值。
确定各个电压和电流的初始值时，先由 t=0- 的电路求出 iL(0-) 或 uC(0-)，而后由 t=0+ 的电路在已求得 iL(0-)或 uC(0-)的条件下求 其他电压和电流的初始值。
i
dq dt
C
du dt
-
当电容两端加恒定电压时，其中电流 i 为零，故电容元件可视为 开路。
将上式两边乘以电流 i，并积分之，则得
t
uidt
0
u
Cudu
0
1 2
Cu2
上式表明当电容元件上的电压增高时，电场能量增大；在此过
程中电容元件从电源取用能量 (充电)；当电压降低时，电场能量
减小，即电容元件向电源放还能量 (放电)。可见电容元件不消耗
能量，是储能元件。
3·2 储能元件和换路定则
由于电路的接通、断开、短路、电压改变或参数改变等所谓换
路，使电路中的能量发生变化，但是不能跃变的，否则将使功率
P=dW/dt 达到无穷大，这在实际上是不可能的。
因此：
电感元件中储有的磁能 的电流 iL不能跃变；
1 2
Li2
不能跃变，这反映在电感元件中
电容元件中储有的电能 的电压 uC不能跃变：
可见，这种电路中电压或电流的增长或衰减有一个暂态过程。
本章首讨论电阻元件、电感元件、电容元件的特征和引起暂态 过程的原因，而后讨论暂态过程中电压与电流随时间而变化的规 律和影响暂态过程快慢的电路时间常数。
3·1 电阻元件、电感元件与电容元件
3·1·1 电阻元件
在图中，u 和 i 参考方向相同，根据欧姆定律 得出 u=Ri，电阻元件的参数 R=u/i 称为电阻， 它具有对电流起阴碍作用于的物理性质。