2021届上海市敬业中学高三下学期3月月考数学试卷

合集下载

2021年高三3月月考(一模)数学(理)试题含答案

2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年高三下学期高中毕业班3月综合质量检测数学理

是符合题目要求的。

(1) 已知集合,，则(2) （A ）（B ）（C ）（D ）答案：D解析：A ＝［－4,4］，B ＝（－7,3），所以，(3) 设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则(4) （A ）（B ）（C ）（D ）答案：B解析：复数在复平面内对应的点关于实轴对称，它们互为共轭复数，又所以，，(5) 要得到函数的图象，只需将函数的图象(6) （A ）向左平移个周期（B ）向右平移个周期(7) （C ）向左平移个周期（D ）向右平移个周期答案：C解析：函数的最小正周期为T ＝，因为sin[2()]sin(2)cos 242x x x ππ+=+=，所以，向左平移个周期。

(8) 设等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则(9) （A ）（B ）(10) （C ）（D ）答案：C解析：2(2)(3)k a a k d k d =+-=-，，，依题意，得：，即：2[(3)]3(3)k d d k d -=⨯+，解得k ＝9。

(11) 如图为某几何体的三视图，则其体积为(12) （A ）（B ）（C ）（D ）答案：A解析：由三视图可知，该几何体为半个圆柱与一个四棱锥组成的，如图所示，半圆柱的体积为：，四棱锥的体积为：，所以，该几何体体积为：(13)执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的的值分别为(14)（A）(15)（B）(16)（C）(17)（D）答案：C解析：由于皆为偶数，进入循环体，第1步：k＝1，m＝84，n＝56；第2步：k＝2，m＝42，n＝28；第3步：k＝3，m＝21，n＝14；这时m＝21为奇数，退出第一循环体，显然m≠n进入第二循环体，执行第二循环体第1次：d＝7，m＝14，n＝7；执行第二循环体第2次：d＝7，m＝7，n＝7；此时m＝n，退出循环，输出k＝3，m＝7。

(18)已知函数，，且,,，则（A）（B）（C）（D）答案：A解析：因为，且，故有，＝＞1，是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故当取值离对称轴越近时，函数值越小。

高三数学下学期3月质量检测试题理含解析试题

2021届高三数学下学期3月质量检测试题理〔含解析〕本套试卷一共5页，23题〔含选考题〕，全卷满分是150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上．2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，请用黑色签字笔填写上在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的答题：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写上在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给，原那么上一张A4拍成一张照片，要注意照片的明晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕〔a ∈R 〕，假设z ∈R ，那么实数a ＝〔〕A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】【分析】化简z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，又因为z ∈R ，所以20a +=，解得a ＝-2. 应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算及概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题.M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}，那么M ∩N ＝〔〕A. [﹣3，2〕B. 〔﹣3，2〕C. 〔﹣1，0]D. 〔﹣1，0〕【答案】C 【解析】【分析】先化简N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为〔〕 A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】一共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况，故61366p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，那么a 3=〔〕 A. 2 B. 4C.12D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或者11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩〔舍去〕.故2314a a q ==.应选：B .【点睛】此题考察了等比数列的计算，意在考察学生的计算才能. 5.执行如下图的程序框图，输出的s 的值是〔〕A.53B.85C.138D.2113【答案】C 【解析】【分析】根据循环构造依次进展，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s .【详解】第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22s i ==，第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==，此时不满足4i ≤，输出138s =.应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 6.等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，那么()PA PB PC ⋅+的最大值是〔〕B. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】如下图建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，那么(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如下图建立直角坐标系，那么1,0A ，1,22⎛- ⎝⎭B ，1,22C ⎛-- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，那么(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 应选：D .【点睛】此题考察了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，那么f 〔x 〕的最小值为〔〕 A.12 B.1432 【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】函数f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+， =1cos 232111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f 〔x 〕的最小值为12. 应选：A【点睛】此题主要考察倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.8.数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n =〔〕 A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.应选：B .1=是解题的关键. 9.a ，b =0. 40. 8，c = log 84，那么〔〕A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 应选：D .【点睛】此题考察了数值的大小比拟，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应HY 的HY 关于“推动城乡义务教育一体化开展，高度重视农村义务教育〞精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的去支教，每个至少去1人，那么恰好有2名大学生分配去甲的概率为〔〕 A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】【分析】计算所有情况一共有150种，满足条件的一共有60种，得到答案.【详解】所有情况一共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的一共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能和应用才能.P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，假设PA ⊥PB ，那么椭圆τ的离心率e =〔〕A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，那么11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，那么22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =应选：C .【点睛】此题考察了椭圆的离心率，意在考察学生的计算才能和转化才能.x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A. 〔-∞，1-e]B. 〔-∞，-3]C. 〔-∞，-2]D. 〔-∞，2- e 2] 【答案】B 【解析】【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，那么()'1xf x e =-，那么函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.应选：B .【点睛】此题考察了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，那么该双曲线的HY 方程为________.【答案】221123y x -=【解析】【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，那么设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，那么12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】此题考察了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，那么实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1．【解析】【分析】将函数f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f 〔x 〕cosx asinx +=在〔0，2π〕上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立，即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-，a≥-.所以1a≥-故答案为：1【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.15.根据气象部门预报，在间隔某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B 正以30km/h的速度向正北方向挪动，间隔风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从如今起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响〔准确到0.01〕．h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么AC＝450，那么有22AD DC+=450，即22︒+︒-=450；两边平方并化简、整理求解.cos sin t(60045)(6004530)【详解】建立如下图直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么OC＝450，22AD DC+=450，22︒+︒-=450；(60045)(6004530)cos sin t两边平方并化简、整理得t2﹣2t+175＝0∴t1025=或者1025，≈159.0241所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SASB，假设此三棱锥外接球的外表积为21π，那么二面角S-AB-C 的余弦值为____．【答案】12- 【解析】【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的外表积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O，2r = ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，1r ==设球心为O ，那么2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ，易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥，故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，1132DO CD ==，2122DO SA ==.1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】此题考察了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.〔1〕求A 的余弦值；〔2〕求△ABC 面积的最大值．【答案】〔1〕12；〔2〕3【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.〔2〕计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】〔1〕tan tan tan tan A B c bA B c --=+，那么sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. 〔2〕2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin 2A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】此题考察了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考察学生的综合应用才能. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．〔1〕求证：AC ⊥QL ；〔2〕求点A 到平面PQL 的间隔．【答案】〔1〕证明见解析；〔23a 【解析】【分析】〔1〕作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】〔1〕如下图：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的间隔等于A 到平面PNL 的间隔 .故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.222112322224PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】此题考察了线线垂直，点面间隔，意在考察学生的空间想象才能和计算才能. 19.抛物线Γ：y 2＝2px 〔p ＞0〕的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =〔2，3〕〔1〕求抛物线Γ的方程；〔2〕经过点A 〔3，﹣2〕的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B 〔3，﹣6〕和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，假如过定点，求出该定点，否那么说明理由．【答案】〔1〕y 2＝4x ；；〔2〕直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕，理由见解析. 【解析】【分析】〔1〕根据抛物线的方程，求得焦点F 〔2p，0〕，利用FP =〔2，3，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，代入化简求解.【详解】〔1〕由抛物线的方程可得焦点F 〔2p，0〕，满足FP =〔2，P 的坐标为〔22p+，，P 在抛物线上，所以〔2＝2p 〔22p +〕，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+，那么直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+〔x 204y-〕，即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，那么直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+〔x +3〕，因此直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕．【点睛】此题主要考察了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.20.有人搜集了某10年中某城居民年收入〔即该城所有居民在一年内收入的总和〕与某种商品的销售额的相关数据：且101i i x =∑〔1〕求第10年的年收入x 10；〔2〕收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . 〔i 〕10年的销售额y 10；〔ii 〕居民收入到达40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？〔准确到0.01〕附加：〔1〕回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. 〔2〕1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】〔1〕46；〔2〕1051y =，41.96y = 【解析】【分析】〔1〕直接根据101380ii x==∑计算得到答案.〔2〕利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】〔1〕10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.〔2〕1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=，解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.此题考察了回归方程，意在考察学生的计算才能和应用才能. 21.〔1〕证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；〔2〕证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x << 【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.〔2〕根据〔1〕已有信息，对函数进展二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】〔1〕对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x x y e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.〔2〕对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=，令()()212cos xg x ex x x =--，那么()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由〔1〕知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，那么()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数，因此()f x 有唯一的极大值点0x 由()f x 在0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．〔1〕求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；〔2〕假设点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】〔1〕2212516x y +=，〔x ﹣2〕2+y 2＝1；〔2〕2.【解析】【分析】〔1〕由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.〔2〕设点P 〔5cos θ，4sinθ〕，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的间隔，然后减去半径即为最小值.【详解】〔1〕曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加整理得2212516x y +=．将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0，整理得〔x ﹣2〕2+y 2＝1．〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕在曲线C 1上，圆心O 〔2，0〕，所以：PO ===，当cosθ＝1时，|PO |min ＝3，所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】此题主要考察了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]f 〔x 〕＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．〔1〕当a ＝4时，求解不等式f 〔x 〕≥8；〔2〕关于x 的不等式f 〔x 〕22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】〔1〕[5，+∞〕∪〔∞，13-]；〔2〕[﹣2，1]. 【解析】【分析】〔1〕根据a ＝4时，有f 〔x 〕＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.〔2〕根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】〔1〕当a＝4时，f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，〔i〕当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞〕；〔ii〕当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；〔iii〕当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集〔∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞〕∪〔∞，13 -]，〔2〕〔i〕当a﹣112a=即a＝2时，f〔x〕＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，〔ii〕当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数获得最小值f〔12a〕112a=-，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么211122a a-≥，此时a不存在，〔iii〕当a﹣112a＜即a＜2时，f〔x〕3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考察了分类讨论的思想和运算求解的才能，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

上海市2021高三数学下学期3月月考试题(含解析)

上海市南洋模范中学2021届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。

2024-2025学年上海敬业中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)(含答案)

1敬业中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若集合,则 .2.若复数满足(i 为虚数单位),则 .3.已知圆与直线相切,则圆的半径.4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:的右焦点重合,则抛物线的方程是 .5.在二项式的展开式中,的一次项系数为(用数字作答).6.已知一个圆柱的高为1,,则它的侧面积的大小为 .7.若为第四象限角,且,则的值是 .8.函数的严格增区间为 .9.如图:在中,若,则.10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为.11.设,函数,若函数与的图像有且仅有一个公共点,则的取值范围是.12.已知,若存在定义域为R 的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意;（2）关于的方程无实数解;则的取值范围为.{|12,}A x x x R =-<∈A N ⋂=z 112i z =-z =222:C x y r +=34100x y -+=C r =C 22172x y-=C 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x α13sin α=-tan α(),22f x sinx x ,ππ⎡⎤=∈π⎢⎥⎣⎦ABC ∆13,,22AB AC cos BAC DC BD ==∠==AD BC ⋅= 0a >()()()()21,01f x x x cos ax x ,=+-∈21y x =-()y f x =a a R ∈()y f x =(){}*000,kx R f x x x x ,k N ∈∈=∈x ()f x a =a2二、选空题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.已知,若,则（）.A. B. C.D.14.关于直线及平面,下列合题中正确的是（）.A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则15.""是""成立的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.已知函数的定义域为,值域为,函数具有下列性质:(1)若,则;(2)若,则.下列结论正确的是（）.(1)存在,使得;(2)对任意,都有;A.(1)(2)都正确 B.(1)正确、(2)不正确C.(1)不正确、(2)正确 D.(1)(2)都不正确三、解答题(本大题共有5题,满分78分)17.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)如图,四棱锥中,面,为线段上一点,为的中点.(1)证明：平面：,a b R ∈a b <2a b <33a b <2ab b <11a b --<,l m ,αβ//,l m αα⋂β=//l m //,//l m αα//l m ,//l m ⊥ααl m ⊥//,l m l α⊥m ⊥α()4x k k Z π=π+∈1tanx =()f x D A ()f x ,x y D ∈()()f x A f y ∈,x y D ∈()()f x f y A +∈x D ∈()20212020f x =x D ∈()2f x A ∈P ABC -PA ⊥,//ABCD AD BC 3,4,AB AD AC PA BC M =====AD 2,AM MD N =PC//MN PAB3(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)已知的内角的对边分别为,已知.(1)若,求的面积:(2)若,求.19.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)已知双曲线以为焦点,且过点.(1)求双曲线与其渐近线的方程;(2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点).求直线的方程.AN PMN ABC ∆,,A B C ,,a b c 3,2a b c ==23A π=ABC ∆21sinB sinC -=sinA C ()()1220,20F ,F ,-()712P ,C l C ,A B OA OB ⊥O l420.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小的6分,第3小题6分,满分18分)已知函数,其中是常效.(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)若,且函数在严格单调减,求实数的最大值:(3)若,且不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.()21ax a f x x a+-=+a 0a >()f x 1a ≥()f x ()1,+∞a ()112f =2041t cos f f t θ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭θt521.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分)若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有"性质".(1)试判断函数和是否具有"性质"，并说明理由;(2)已知函数,莫中具有"性质",求函数在上的极小值点;(3)若函数具有"性质",且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.(提示:若函数的导函数满足,则(常数).(),y f x x R =∈()',y f x x R =∈()0T T ≠(),y f x x R =∈T 2y x =y sinx =2π()y h x =()22(03)h x ax bx sinbx b =++<<π()y h x =[]0,π(),y f x x R =∈T 0M >x R ∈()f x M <(),y f x x R =∈(),y f x x R =∈()'0,f x x R =∈()f x C =6参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.; 10.； 11. 12.二、选择题13.B 14.C15.C16.A15.""是""成立的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】故选:C 。

2021年高三3月综合测试数学试题含解析

2021年高三3月综合测试数学试题含解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲ ．【答案】2【解析】试题分析：为实数,所以考点：复数概念，复数运算2.已知集合，，且，则实数的值是▲ ．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1或，解得++=≠==a a a a考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为▲ ．【答案】20【解析】试题分析：松树苗的棵数为考点：分层抽样4.在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是▲ ．【答案】【解析】试题分析：当时，点为边三等分点M（靠近B点），所以的概率是考点：几何概型概率5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为，所以考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出的值是▲ ．【答案】25【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.函数的定义域为▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以定义域为考点：函数定义域8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为▲ ．【答案】【解析】试题分析：三棱锥的高为，体积为考点：三棱锥的体积9.在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲ ．【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-== 考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以)(1)11f x f x x ⇔+⇔≥-≤，即解集为考点：利用函数性质解不等式11.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得：,所以，即，又，所以，即单调增区间为考点：三角函数性质12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 ▲ ．【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由得，所以考点：等比数列性质13.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．【答案】7【解析】试题分析：因为，所以，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅==考点：向量数量积14.在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为考点：线性规划求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：，再代入式子化简即可： (2)先由得，化简得，再根据平方关系解得，所以223472 sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由可得，，即，①………………………………………10分又，且②，由①②可解得，，……12分所以223472sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=．……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点作，则平面,从而，又，从而平面,因此试题解析：（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．……………………………………6分（2）在平面内过点作，垂足为．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为30列式，再解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去，从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则，所以，…………………………………4分(2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分装饰总费用为， ……………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用.18.(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】(1) 或． (2)【解析】试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为．………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．……………………………………8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即……………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以2222-≤-++-+≤+，…12分r r m n r r(2)(36)(24)(2)又，所以对]成立．而在上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为．……………………………16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.【解析】(3) 设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．……………………12分由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数，使得，所以常数，使得解得常数，使得，．………15分故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分考点：函数与方程、导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，即，又，所以， ……………………2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为， …………………………………5分所以其前项和，所以， ……7分当或时，；当或时，；当时，．…………………………………………………………9分（2）由知，两式作差，得， ……………………10分所以,再作差得，………………………………………………11分所以，当时，；当时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-；当时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线的方程再与方程加以比较得出的值，也可在曲线上取两特殊点经阵所对应的变换作用下得到点在曲线上，代入方程，求出的值.试题解析：设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即．…………………………………………………………5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程．又曲线的方程为，故，，因为，所以．…………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．【答案】．【解析】试题分析：先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,…4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是=所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.22.（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． ………………………………4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，．所以的分布列为……………………………8分数学期望．………………………………………………10分考点：随机变量的概率分布.23.（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．考点：曲线与方程.37464 9258 鉘37017 9099 邙ek29596 739C 玜35762 8BB2 讲U24153 5E59 幙5 N36124 8D1C 贜40312 9D78 鵸U5。

2021年高三3月统一练习(一模)数学(理)试题含解析

2021年高三3月统一练习（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）在等比数列{an }中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C． 1 D．1或2【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得q的一元二次方程，解方程可得．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，∴a3+a4=2q+2q2=4，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2故选：B【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解析】：解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．【点评】：本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．7 B．10 C．11 D．16【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m ＜5，退出循环，输出S的值为11，从而得解．【解析】：解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m＜5，S=2，m=2满足条件m＜5，S=4，m=3满足条件m＜5，S=7，m=4满足条件m＜5，S=11，m=5不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）在极坐标系中，曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A．B．C．D． 4【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果．【解析】：解：曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+6=0．由于曲线与极轴交于A，B两点，设交点坐标为：A（x1，0），B（x2，0），令y=0，则：x2﹣6x+6=0，所以：x1+x2=6，x1x2=6．则：|AB|=|x1﹣x2|==2．故选：B【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点角的距离公式的应用，及相关的运算问题．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A． 4 B． 5 C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解析】：解：三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3．故选：D．【点评】：本题考查几何体任意两个顶点间距离的最大值，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．7．（5分）将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．y=cosx D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据“左加右减，上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可．【解析】：解：将函数图象向左平移个长度单位，得到的函数解析式为：y=cos[（x+）﹣]=cos；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是：y=cosx．故选：C．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，属于基本知识的考查．8．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（）A．最大值是，最小值是4 B．最大值是8，最小值是4C．最大值是，最小值是2 D．最大值是8，最小值是2【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件∠BAC=90°，可得x2﹣bx+y2﹣cy=0，又b2+c2=32，可得A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．【解析】：解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），则由∠BAC=90°，可得x（x﹣b）+y（y﹣c）=0，即为x2﹣bx+y2﹣cy=0，又|BC|=4，即有b2+c2=32，即有A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，设x=+2cosα，y=+2sinα，（0），则有x2+y2=（b2+c2）+8+2bcosα+2csinα=16+2（bcosα+csinα），令b=4sinθ，c=4cosθ（0），则有x2+y2=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），当α+θ=时，取得最大值32，即有|AO|最大为4，当α+θ=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，故选：A．【点评】：本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据定积分的计算法则计算即可．【解析】：解：（x2+sinx）|=故答案为：．【点评】：本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题．10．（5分）已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．【解析】：解：由题意知：得2n=16，∴n=4；展开式的通项为T r+1=，令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，24【点评】：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将C（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，如果函数g （x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围是（﹣1，0）．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象求解．【解析】：解：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象如下，故m的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于基础题．13．（5分）如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=3；AD=．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由切割线定理可得CD2=CB•CA，求出CD，再利用余弦定理求出AD．【解析】：解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，∴CD=3；连接OD，则OD⊥DC，∴cos∠COD=，∴cos∠AOD=﹣，∴AD==．故答案为：3，．【点评】：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．14．（5分）已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为6+π．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：新定义；直线与圆；集合．【分析】：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到．【解析】：解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），点P的坐标为（2，0），则|PQ|====，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，若P在正三角形及其内部，则面积为0，若P∉A，则点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，即有面积为3×2×1+3×π=6+π，故答案为：1，6+π．【点评】：本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】：常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】：先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cos2+sin﹣===sin（）．因为T=，ω＞0，所以ω=2．因为f（x）=sin（2x+），x∈R，所以．所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1．（Ⅱ）令2kπ，k∈Z，得2k，k∈Z，所以k，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间为[，k∈Z．【点评】：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式．16．（13分）（xx•高密市模拟）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．【考点】：离散型随机变量及其分布列；概率的应用．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．分别求解概率，即可得到分布列．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得解得，．…（4分）（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是．…（7分）（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）==；P（X=10）==．所以X的分布列为：…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】：探究型；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解析】：（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…（14分）【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设函数f（x）=e x﹣ax，x∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞0；（Ⅲ）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（Ⅲ）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x﹣2x，f（0）=1，f′（x）=e x﹣2，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=e0﹣2=﹣1，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即为x+y﹣1=0；（Ⅱ）证明：f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞n2时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2＞0，即有f（x）＞0；（Ⅲ）由于f（x）=e x﹣ax，f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna＞0，当a＞1，令M（a）=a﹣lna，M′（a）=1﹣=＞0，M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1﹣ln1=0，M（a）=a﹣lna＞0，即有a＞1，a＞lna，当0＜x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，lna＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=lna处f（x）取得最小值；f（0）=e0﹣0=1，f（a）=e a﹣a2，令h（a）=f（a）﹣f（0）=e a﹣a2﹣1，a＞1时，h′（a）=e a﹣2a＞0，h（1）=e﹣1﹣1=e﹣2＞0，h（a）=e a﹣a2﹣1＞0，当a＞1时，f（a）＞f（0），则有当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e a﹣a2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解析】：解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m=1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【考点】：数列的应用．【专题】：新定义；探究型；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．（Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a1+a2+…+a m=1，得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，然后利用反证法，证明即可．【解析】：（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m=1 得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n=0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i=S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j=0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）【点评】：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题．u•L34253 85CD 藍25939 6553 敓26216 6668 晨H8&24430 5F6E 彮aj35593 8B09 謉22644 5874 塴y。

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理(含解析)

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 92C9 鋉#828647 6FE7 濧-4+40618 9EAA 麪37130 910A 鄊I24990 619E 憞31688 7BC8 篈 21141 5295 劕。

2021年高三第三次月考数学(文)试题

2021年高三第三次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（） A ． B ． C ． D ．2.已知是第二象限角，，则sin2=（） A ．B ．C ．D ．3.如右图所示，圆和直角的两边相切，直线从处开始，绕点匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是的函数，它的图象大致为( )4.“”是“”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数的零点所在的大致区间是（） A ．B ．(1,2)C ．D ．6.设，则的大小关系是（） A ． B ． C ． D ．7.曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.120°ABCD8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A. B. C ． D ．9.已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定10.对于复数,，，，若集合具有性质“对任意,必有”,则当，，时，等于 ( ) A.1 B. C.0 D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡划线上。

（一）必做题（11～13题）11.函数的定义域为12.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________13.对a,bR,记max{a,b}=函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR) 的最小值是_（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.15. （几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，AC ＝2，∠PAB ＝120°，则圆O 的面积为_____ ___三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021-2022年高三3月月考数学(文)试题含答案

2021-2022年高三3月月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，集合，则A． B． C． D．2、设是虚数单位，如复数为纯虚数，则实数的值为A．-4 B．4 C． D．3、已知向量与的夹角为，且，若，则实数的值为A．2 B．3 C．-3 D．-24、设数列是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则的值为A．2 B．-2 C． D．5、要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6、执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为A． B．1 C． D．7、直线被圆截得的最短的弦长等于A ．B ．C ．D ． 8、若正实数满足，则的最小正是 A ．4 B ．5 C ． D ．9、已知四棱锥P-ABCD 的三视图如右图所示，则此四棱锥外接球的半径为A ．B ．C ．D ．210、已知函数()221,047,4x x f x x x ⎧⎪-<≤=⎨⎪->⎩，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 11、数列满足，且，则A ．B ．C ．D ．12、设函数()ln (3)2f x x x k x k =--+-，当时，，则整数的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13、已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则14、在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得关于的线性回归方程为，若年龄的值为50，则脂肪的估计值为15、在平面直角坐标系中，，动点M在区域内（含边界）运动，设，则的取值范围16、已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两条渐近线和抛物线的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，的面积为，则的内切圆的半径为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，满足22()(23)b ac ac--=-。

【高三】上海市六校届高三3月第二次联考数学理试题

【高三】上海市六校届高三3月第二次联考数学理试题试卷说明：试3月6一、填空题（本大题满分56分本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．已知，则已知集合，，则实数的取值范围是．设等差数列的前项和为，若，，则等于若是（是虚数单位），则实数的焦点到双曲线的渐近线的距离是．执行图的程序框图，如果输入则输出的不等式恒成立，的若是展开式中的系数，则已知圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则此圆锥的为点在曲线为参数，上则的取值范围是这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为．13、已知、、为直线上不同的三点点直线满足关系式，有下列命题：①；② ；③ 的的是线段的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）14、已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设若在数列中，恒成立，则实数的取值范围是二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．，则“成立”是“成立”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件16、下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（A）（B）（C）（D）17、已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是（）（A）且（B）且（C）且（D）且18、对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①；②；③；④．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△中，角、所对的边分别为、，．若，，求的值，求的取值范围．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分分，第（2）小题满分分．如图几何体中，为的正方形，为梯形，，，，．求和所成角的大小；求几何体21、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分分，第（2）小题满分分．（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分分，第（3）小题满分分．中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．（1）写出数列的前四项；（2）设，求数列的通项公式；（3）求数列的前项和．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．（1）求圆的方程及曲线的方程；（2）若两条直线和分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．试一、填空题 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13．14．二、选择题三、解答题1）在△中，．所以．，所以．………………3分由余弦定理，得．解得或．………………6分（2）. ………………9分由（1）得，所以，，则. ∴.∴.∴的取值范围是. ………………12分20. 解：（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.由题意得，，，平面，∴平面，∴，同理可证面.∵ ，，∴为平行四边形，∴.则（或其补角）为异面直线和所成的角. ………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得在中，由余弦定理得．∵ 异面直线的夹角范围为，∴ 异面直线和所成的角为．………………7分解法二：同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………2分可得，∴ ，得. ………………4分设向量夹角为，则．∵ 异面直线的夹角范围为，∴ 异面直线和所成的角为．………………7分（２）如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且. ………………9分∵ ……………11分.∴ 几何体1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：………………2分，. ∵，在上为增函数，可求得. ..................5分∴ 国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损．..................7分（2）设平均处理成本为..................9分， (11)分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元．………………14分22. 解：（1）由题意得，，或. ………………2分故数列的前四项为或. ………………4分（2）∵成公比为的等比数列，成公比为的等比数列∴，又∵成等差数列，∴.得，，………………6分，∴，，即.∴ 数列数列为公差等差数列，且或. ……8分∴或. ………………10分（3）当时，由（2）得.，，，. ………………13分当时，同理可得，. ………………16分解法二：（2）对这个数列，猜想，下面用数学归纳法证明：?）当时，，结论成立. ?）假设时，结论成立，即.则时，由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，∴ 时结论也成立.所以由数学归纳法原理知. ………………7分此时.同理对这个数列，同样用数学归纳法可证. 此时.∴或. ………………10分（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形.由（2），且成等比数列，故，即结论对也成立.从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时. ………………13分对于这个数列，同样用数学归纳法可证，此时.此时. ………………16分23. 解：（1）由题意圆的半径，故圆的方程为. ………………2分由得，，即，得（）为曲线的方程.（未写范围不扣分）…4分（2）由得，，所以，同理. ………………6分由题意知，所以四边形的面积.，∵ ，∴ . ………………8分当且仅当时等号成立，此时.∴ 当时，四边形的面积最大值为. ………………10分（3）曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，同理曲线关于直线和原点对称.可以求得和直线的交点坐标为和直线的交点坐标为，，，，.在上取点 . 下面证明曲线为椭圆：?）设为曲线上任一点，则（因为）.即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.?）若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）. 故曲线是椭圆，其焦点坐标为. ………………18分第（3）问说明：1. ?）、?）两种情形只需证明一种即可，得5分，2. 直接写出焦点的坐标给3分，未写出理由不扣分. 每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 13 1 每天发布最有价值的高考资源输入？输出结束否是上海市六校届高三3月第二次联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年高三3月月考数学文含答案

秘密★启用前2021年高三3月月考数学文含答案数学试题卷（文科）xx.3(数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟)一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是( )A ．B ． C.D ．2.已知向量，，且，则实数的值为( )A ．B ．C ．D ．3.在数列中，“且）”是“是等比数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.把函数的图象向左平移个单位，所得图像的解析式是（） A ． B ． C ． D ．5.已知，且为幂函数，则的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6.已知动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值是（） A. B. C. D.7.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（）是（）A ．B ．C ．D ． 8.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则的判断框内①处应填( )A.2B.3C.4D.5 9.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==<--=31lg,0322x x y x B x x x A ，在区间上任取一实数，则“”的概率为（） A. B. C. D. 10.已知关于的方程恰好有三个不等实根，则实数的取值范围是( )A ．B ．444 2 （第7题图）4侧视图俯视图正视图C． D．二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知函数为奇函数，且当时，，则12.已知等差数列的前项和为，且，则=13.已知命题“”，命题“”，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是14.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是___________.15.点为双曲线的右焦点，以为焦点的抛物线交双曲线于两点，且，则双曲线的离心率为___________三、解答题（共75分）16.已知分别是的三个内角的对边，且满足．⑴求角的大小；⑵当为锐角时，求函数的值域．17.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：零件的个数(个) 2 3 4 5加工时间(小时) 2.5 3 4 4.5⑴作出散点图；⑵求出关于的线性回归方程；⑶预测加工10个零件需要多少小时？注：可能用到的公式：，，18.如图，正三棱柱中，是的中点，⑴求证：；⑵求证：；⑶求三棱锥的体积.19.已知，函数⑴当时，求函数在上的极值；⑵若在区间上至少存在一个实数使成立，求实数的取值范围。

2021年高三第二学期月考试题(数学文)

2021年高三第二学期月考试题（数学文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

参考公式随机变量的观察值第一部分选择题(共50 分)一、选择题1．设集合,，则（）A．B． C．D．2．已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A． B． C． D．3．已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．5.在边长为的正方形内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为（）A. B. C. D.6．等差数列的前项之和为，已知，则（）A. B. C. D.7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．8. 在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.9．已知函数若实数满足，则（）A ．B ．C ．D ．10. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①； ② ③ ④，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④第二部分非选择题(共100 分)二、填空题11、已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大值为 .12．已知双曲线：的离心率，且它的一个顶点到较近焦点的距离为，则双曲线的方程为．13. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .14. （坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线（参数R ）有唯一的公共点，则实数．15. （几何证明选做题）如图,已知:△内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为 . 三、解答题 16. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示(1)求的最小正周期及解析式；(2)设求函数在区间上的最大值和最小值.17．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.18．（本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，平面，，且，（1）求证：//平面；（2）若N 为线段的中点，求证：平面；19．（本小题满分14分）已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆：有一个公共点(3,1)，分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程;若不能，请说明理由．20、（本小题满分14分）已知等差数列的公差为, 且,（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,记的前项和为, 若存在, 使对任意总有恒成立, 求实数的取值范围.K21．（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．_ B_ A高三级数学科（文科）期期末试题答案一．选择题1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.B8.C9.D 10. C二、填空题11.6 12. 13. 1320 14. 15.4∵，∴当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为…………………12分17解:(1) ……………………………………6分N E DC BA P F (2)根据828.10538.1125252624)761918(50))()()(()(222>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.……………………………………12分18.解：（1）证明：∵，平面，平面 ∴EC//平面,同理可得BC//平面∵EC 平面EBC,BC 平面EBC 且∴平面//平面又∵BE 平面EBC ∴BE//平面PDA---------------6分（2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ，∵F 为BD 的中点，∴且,又且∴且∴四边形NFCE 为平行四边形∴∵,平面,面 ∴，又∴面 ∴面----------------------14分19. 解：（1）由已知可设圆C 的方程为将点A 的坐标代入圆C 的方程，得即，解得∵ ∴∴圆C 的方程为 ……………………….6分（2）直线能与圆C 相切依题意设直线的方程为，即若直线与圆C 相切，则∴，解得当时，直线与x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线与x 轴的交点横坐标为， ∴∴由椭圆的定义得： 262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a∴，即， ∴直线能与圆C 相切，直线的方程为，椭圆E 的方程为 ……….14分20、解：(1) 由得，所以，从而 ----------------------------6分(2)由题意知设等比数列的公比为，则，随递减，为递增数列，得又22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -⎡⎤==--=---⎢⎥⎣⎦，故，若存在, 使对任意总有则，得------------------------14分21．解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函数的定义域为当时，[来11111()ln ln ln()ln ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ∴ 在定义域上是奇函数。

2021-2022年高三数学3月月考试题

2021-2022年高三数学3月月考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}0)3)(32(<-+∈=xxZxA，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（）A．40 B．36 C．30 D．24 4．设，，，则（）A． B． C．D．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里 C．36里D．24里6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的一个充分不必要条件是（）A． m⊥α，n⊥β，α∥βB．m∥α，n∥β，α∥βC． m∥α，n⊥β，α⊥βD．m⊥α，n⊥β，α⊥β7．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如左下程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151（第7题图）（第8题图）8．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ．9．函数的图像向右平移动个单位，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 10．若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（），则在中，值为零的个数是（） A ．143 B ．144 C ．287 D ．28811．设，实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥.0623,0632,y x y x m y ，若恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．设函数（表示中的较小者），则函数的最大值为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则．14．在菱形中，,为中点，则．15．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则 ________．16．如右图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知中,A,B,C的对边分别是，，，且，（1）分别求角和的值；（2）若，求的面积．18．（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．xx1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）监测点个数15 40 y 10（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本小题满分12分）四棱柱中，底面为正方形，,为中点，且．（1）证明；（2）求点到平面的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为．（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆的左右顶点，是椭圆上任意一点，椭圆在点处的切线与过且与轴垂直的直线分别交于两点，直线交于,是否存在实数，使恒成立，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数，其中且，若，在处切线的斜率为．（1）求函数的解析式及其单调区间；（2）若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线3)cos (sin 2=-θθρk C ：，为实数．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，从点向作切线，切线长的最小值为，求实数的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)92ln()(-++-=a x x x f ．（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． 15． 16．三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1），1sin cos )122B B ∴-= 即：所以或（舍），即…………………………………………………………3分，根据正弦定理可得： ,经化简得：………………………………………………………………………………………6分（2）根据余弦定理及题设可得：2222cos 131cos 2b a c ac Bb a cB ⎧=+-⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩解得：…………………………………………9分 1sin 2ABC S ac B ∆===分 18．解：（1）15401010035y y +++=∴=……………………2分由于，，，则频率分布直方图如右图所示，…………………5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为 1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5, 从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……………………………… 8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，…………………………………………………10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是．……………………………… 12分 19．解：（1）等边中, 为中点,又,且……………………………………………………3分在正方形中，……………………………………………………6分 (2) 中，22,22,211===B A BD D A , 由(1)知,3323111=⨯=∴-H A s V BCD BCD A ……………………………………………………9分等体积法可得3327313111=⨯=⨯=∴-d d s V BD A BD A C 点到平面的距离为．…………………………………………………12分 20．解：（1）由题意，解得，故椭圆的方程为．……………………………4分（2）设切线方程为，与椭圆联立消元得0636)32(222=-+++m kmx x k相切，0)63)(32(4362222=-+-=∆∴m k m k化简得…………………………………………………6分且………………………………………8分又直线方程为直线方程为解得……………………………………………………10分存在，使恒成立．………………………………12分 21．解：1）由于且，则，当时，，即，故，即，，因此．………………………………………………………………………………3分令，则，即在上单调递增，由于，则0,ln 1()ln 1,ln 1e x e x e xf x x e x x e x x ⎧<<-+⎪⎪=-+=⎨⎪>-+⎪⎩，故当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．因此的单调递减区间为，的单调递增区间为．…………………………6分（2）当时，取，则，由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；………………………8分当时，由抽屉原理可知，则，若，由于在上单调递减，则成立；若，，则()ln 1ln ln 1e ed f d c λd c λ=-+=--+，故()()ln e edf c f d λd λ-=+-，由于，则，（当且仅当时取“=”）故()()220e d f c f d d e -≥+-≥=（当且仅当时取“=”）由于，故上式无法取“=”，因此恒成立，．…………………………………………………………12分22．解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程…………………………………………………………………5分（2）切线长的最小值为即圆心到直线的距离为3解得…………………………………………………………………………………………10分23．解：（1）当时，由绝对值的几何意义可得……………………………………………5分（2）由题意恒成立ax-a+x+xax-()2≥2-2++=解得或．………………………………………………………………………10分33227 81CB 臋32249 7DF9 緹27700 6C34 水138585 96B9 隹23319 5B17 嬗, 28593 6FB1 澱35290 89DA 觚38416 9610 阐24743 60A7 悧33951 849F 蒟 30548 7754 睔。

上海市敬业中学2020-2021学年第二学期高三第三次模拟考试数学试卷

上海市敬业中学2020-2021学年第二学期高三第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}|12A x x =->，则R C A =_______. 2．双曲线2241x y -=的渐近线方程是________.3．若复数z 满足1i120iz+=(其中i 是虚数单位),则z =_______.4．已知tan 3tan 2αβ==，(αβ、均是锐角),则αβ+的值为_______. 5．252()x x+的展开式中4x 项的系数为_______．6．若等比数列{}n a 的公比q 满足1q <，且243443a a a a =+=，，则()12lim n n a a a →∞++⋯+=________.7．已知实数x y 、满足条件102y xx y y ≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为_______.8．某几何体的三视图如图所示,它的表面积为________.9．把3本不同的语文书，4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是________.10．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若△ABC的面积为2224a b c c +-=，_______.11．已知函数()4log 04cos 482x x f x xx π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，，，若存在实数1234x x x x 、、、满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为________.12．已知正方形ABCD 的边长为2，动圆Q，圆心在线段CB(含端点)上运动，P 是圆Q 上的动点，设向量AP mAB nAD =+(mn 、为实数)，则m n +的取值范围为_____.二、单选题13．已知直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，则“m n ”是“m α”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条14．若函数()f x 的图像与函数2x a y +=的图像关于直线y x =对称，且()1222f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 等于（） A ．12B ．1-C ．2D ．415．已知关于x y 、的方程组2121ax y x by +=⎧⎨+=⎩(其中0a b >，)无解,则必有（）A ．4a b +<B ．4a b +>C ．4a b +≥D ．4a b ->16．设向量()()cos sin sin cos a b αααα==-，，，，向量1210x x x ⋯，，，中有4个a ，其余为b ，向量1210y y y ⋯，，，中有3个a ，其余为b ，则11221010++x y x y x y ⋅⋅⋯+⋅的可能值中最小的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题17．已知函数()2sin 22cos 20.2f x x x x π⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，，(1)求函数()y f x =的单调递减区间； (2)求函数()y f x =的值域.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=2，AB=2，AD=4，且E 、F 分别是PB 、PC 的中点．(1)求三棱锥F PAD -的体积；(2)求直线EC 与平面PCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).19．我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t 、市场价格x (单位:元)与市场供应量P 之间满足关系式:()()212kt x b P --=(其中b k 、为正常数)，当0.75t =时，P 关于x 的函数的图像如图所示：(1)试求b k 、的值；(2)记某市场需求量为Q ，它近似满足()2xQ x -=，当P=Q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．20．已知椭圆:()222210x y a b a b Γ+=：＞＞的左、右点分别为12F F 、，点12T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆上，且12 4.TF TF += (1)求椭圆Γ的方程；(2)过点(1,0)作斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点，若35OM ON ⋅=-，求直线l 的方程；(3)点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP OQ 、的斜率之积为14-，求证:22OP OQ +为定值.21．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成:①212n n n a a a +++<；②存在实数a b 、使得n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立.(1)现在给出只有5项的有限数列{}12345:268912n a a a a a a =====，，，，，试判断数列{}n a 是否为集合W 的元素；(2)设数列{}n c 的前项和为n S ，且11c =，若对任意正整数n ，点()1n n c S +，均在直线220x y +-=上，证明:数列{}n S W ∈，并写出实数a b 、的取值范围；(3)设数列{}n d W ∈，若数列{}n d 没有最大值，求证:数列{}n d 一定是单调递增数列．参考答案1．[]1,3- 【分析】先求出集合A ，再求R C A 得解. 【详解】由题得{}|31A x x x =><-或，所以R C A =[]1,3-. 故答案为[]1,3- 【点睛】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．2y x =± 【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．【详解】已知双曲线2241x y -=令：224x y -=0即得到渐近线方程为：y=±2x 故答案为y=±2x 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.3【分析】由题得12iz i =+，求出z ，再求出|z|得解. 【详解】由题得12iz i =+，所以122,|z |iz i i+==-=【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．34π 【分析】先求出tan()αβ+的值，再求+αβ的范围，再求出αβ+的值. 【详解】由题得3+2tan()=1132αβ+=--⨯，因为αβ、均是锐角，+0,)αβπ∴∈（，所以3+=4παβ. 故答案为34π 【点睛】本题主要考查和角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．40 【分析】根据二项定理展开通项10352r r rC x -，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得2510355()()22r rr r r r C x C x x--= 所以1034r -= ，解得2r所以系数225240C ⨯=故答案为：40 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 6．16 【分析】先根据已知求出1,a q ，再求()12lim n n a a a →∞++⋯+得解. 【详解】由题得31112311||<114,8,23q a q a q a q a q a q ⎧⎪⋅=∴==⎨⎪+=⎩.所以()1128lim 161112n n a a a a q →∞++⋯+===--. 故答案为：16 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算和等比数列的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．6 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x y +的最大值. 【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC 区域，设z=2x+y,所以y=-2x+z,它表示斜率为-2，纵截距为z 的平行直线系，当直线y=-2x+z 经过点B 时，直线的纵截距z 最大，z 最大，联立2y y x=⎧⎨=⎩得B(2,2),所以max 2226z =⋅+=. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．33π 【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为22318ππ⨯= 圆锥的侧面积为3515ππ⨯⨯= 所以所求的表面积为181533πππ+= 故答案为：33π 【点睛】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题． 9．17【分析】利用捆绑法，将语文书当做一个元素，与4本数学书一起全排列，再将语文书排列，即可得出语文书排在一起的情况有多少，然后计算出7本书全排列的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．【详解】7本书的全排列有77A 种，语文书排在一起的排法有5353A A种，∴语文书排在一起的概率是5353773211776A AA⨯⨯⨯==.故答案为：17．【点睛】本题考查排列数的计算，捆绑法的应用，古典概型概率公式的应用，属于基础题．10．1【分析】先根据已知求出C,再利用正弦定理求解.【详解】由题得22212cos1=sin=sin, 4242a b c ab Cab C ab C +-∴，所以,2,14sin4C R Rππ=∴=∴=.所以三角形的外接圆的半径为1.故答案为1【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．()32,35【解析】【分析】先画出函数()f x的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【详解】函数()f x的图象如下图所示：若满足1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，214x <<，则4142log log x x =-，即4142412log log log 0x x x x +==，则121=x x ，同时3(4,5)x ∈，4(7,8)x ∈， 3x ，4x 关于6x =对称，∴3462x x +=，则3412x x +=，则4312x x =-，则2212343433333(12)12(6)36x x x x x x x x x x x ==-=-+=--+， 3(4,5)x ∈， 34(32,35)x x ∴∈，即1234(32,35)x x x x ∈，故答案为()32,35 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性进行转化是解决本题的关键． 12．[]0,3【分析】如图所示，(2,0)AB =，(0,2)AD =．可得(2,2)AP mAB nAD m n =+=．当圆心为点B 时，AP 与B 相切且点P 在x 轴的下方时，(1,1)P -．此时m n +取得最小值；当圆心为点C 时，AP 经过圆心时，(3,3)P ．此时m n +取得最大值．【详解】如图所示建立坐标系，设P(x,y), (2,0)AB =，(0,2)AD =．∴(2,2)AP mAB nAD m n =+=．所以x=2m,y=2n, 所以1122z m n x y =+=+，所以2y x z =-+，它表示斜率为-1,纵截距为2z 的直线，当圆心为点B 时，AP 与B 相切且点P 在x 轴的下方时，(1,1)P -．此时11022m n +=-=，取得最小值；当圆心为点C 时，AP 经过圆心时，(3,3)P ．此时33322m n +=+=，取得最大值． ∴则m n +的取值范围为[0，3]．故答案为[0，3]．【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．A 【分析】讨论充分性和必要性即得解. 【详解】先讨论充分性，即考虑“m n ”能否推出“m α”. 因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m n ，所以m α,所以“m n ”是“m α”的充分条件.讨论必要性，即考虑“m α”能否推出“m n ”.因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m α，所以m||n 或者m,n 异面，所以“m n ”是“m α”的非必要条件. 故选A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查空间位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．B 【分析】先求出函数f(x)的解析式，再根据()1222f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出a 的值. 【详解】因为函数()f x 的图像与函数2x ay +=的图像关于直线y x =对称，所以2()log f x x a =-，因为()1222f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以221log log 222a a -+-=，所以a=-1. 故选B 【点睛】本题主要考查反函数的求法和对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．B 【分析】先根据方程组无解分析得到ab=4，且a ≠2,再利用基本不等式求解. 【详解】由题得242,(4)22ax y ab y a ax aby a+=⎧∴-=-⎨+=⎩，因为方程组无解，a>0,b>0，所以4-ab=0,2-a ≠0，所以ab=4，且a ≠2,所以a+b 4≥=,当且仅当a=b=2时取等，因为a ≠2，所以a+b ＞4. 故选：B 【点睛】本题主要考查方程组的解的情况，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 16．B 【分析】先由题得=0,1a b a a b b ⋅⋅=⋅=，分析得到a b ⋅最多7个,即得可能值中最小的值. 【详解】由题得=0,1a b a a b b ⋅⋅=⋅=，所以a b ⋅最多7个(1210x x x ⋯，，，中有4个a 和1210y y y ⋯，，，中有4个b ；1210x x x ⋯，，，中有3个b 和1210y y y ⋯，，，中有3个a ),也就是数量积中有7个0, 另外三个数量积为1，所以最小值为3. 故选B 【点睛】本题主要考查数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.17．（1）递减区间：,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡⎤⎣⎦；【分析】（1）先化简得())34f x x π=++，再利用三角函数的性质求函数的递减区间；（2）利用三角函数的性质求函数的值域. 【详解】(1) ()2sin 22cos 2=sin 2cos23)34f x x x x x x π=++++=++，令3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 所以5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈ 令k=0,所以单调递减区间为5[,],88ππ因为[0,]2x π∈，所以递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为[0,]2x π∈，所以52[0,]2x [,]444x ππππ∈∴+∈，，所以sin(2)1,1)244x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以2)+34x π≤+≤,所以函数()y f x =的值域为3⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间的求法和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.18．（1）43；（2）arcsin 15【分析】（1）利用F PAD E PAD D PAE V V V ---==，转化求解即可；（2）分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，然后利用向量的数量积求解直线EC与平面PCD 所成的角．【详解】（1）依题意，//EF 平面PAD ， F PAD E PAD D PAE V V V ---∴==11114||||||224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.所以三棱锥F PAD -的体积为43. (2) 分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是(0A ， 0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，4，0)，(0D ，4，0)，(0P ，0，2)，(1E ∴，0，1)，(1F ，2，1)，(1,4,1)EC =-，由题得(0,4,2)PD =-,(2,0,0)CD =-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，所以420,20y z x -=⎧⎨-=⎩所以(0,1,2)n =，设直线EC 与平面PCD 所成的角为α，则||10sin ||||185EC n EC n α===∴直线EC 与平面PCD 所成的角为arcsin 15．【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.19．（1）15k b =⎧⎨=⎩；（2）4x =时，最大值为500%【分析】（1）根据图象求出k 、b 的值．（2）当p q =时，可得(1)(5)222t x x ---=，可求得112510t x x=++-，由双勾函数25()f x x x=+在(0，4]上单调递减，可知当4x =时，()f x 有最小值．【详解】（1）由图可知，0.75t =时有22(10.75)(5)1(10.75)(7)722t b t b --=--=⎧⎪⎨⎪⎩，解得15k b =⎧⎨=⎩；（2）当P Q =时，得2(1)(5)22t x x ---=，解得：211125(5)10x t x x x=+=+-+-，而25()f x x x=+在(0，4]上单调递减， ∴当4x =时，()f x 有最小值414，此时112510t x x=++-，取得最大值5；故当4x =时，关税税率的最大值为500%．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．20．（1）2214x y +=；（2）1y x =-或y=-x+1；（3）5 【分析】（1）由点1T ⎛- ⎝⎭在椭圆Γ上，且12||||4TF TF +=，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆的方程．(2) 设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用数量积和韦达定理求出k 的值，即得直线方程；（3）设直线:OP y kx =，联立2244y kxx y =⎧⎨+=⎩，求出2||OP ，同理求出2||OQ ，证明22||||OP OQ +为定值．【详解】 (1）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(T -在椭圆Γ上，且12||||4TF TF +=， ∴22243141a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)8(44)0k x k x k +-+-=，所以22121222844+==141+4k k x x x x k k -+，，又1(,OM x =1)y ，2(ON x =，2)y ，∴212121212(1)(351)OM ON x x y y x x k x x =⋅=++--=-所以222121231+)()5k x x k x x k -++=-（，所以222222244831+)1+4145k k k k k k k -⋅-⋅+=-+（，所以1k =±，均满足题意.所以直线的方程为1y x =-或1y x =-+. （3）设直线:OP y kx =，联立方程组2244y kxx y =⎧⎨+=⎩，得x = 2222244||14k OP x y k +∴=+=+，又直线1:4OQ y x k=-，同理，得22222144()1164||11414()4k k OQ k k++==++， 22222222144116520||||5141414k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++，为定值．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查代数式为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 21．（1）不是；（2）(],1a ∈-∞，[)2,b ∈+∞；（3）证明略【分析】（1）由于3541092a a a +=>=，可知数列{}n a 不满足条件①．（2）由于点1(n c +，)n S 在直线 220x y +-=上，可得1220n n c S ++-=，利用递推关系可得：112n n c c +=，利用等比数列的前n 项和公式可得：12[1()]2nn S =-，验证2120n n n S S S +++-<，可知：条件①成立．由于12n S <，即可得出条件②及其a ，b 的范围．（3）利用反证法证明. 【详解】（1）解：35481210922a a a ++==>=，因此数列{}n a 不满足条件①，∴数列{}n a W ∉．（2）证明：点1(n c +，)n S 在直线220x y +-=上，1220n n c S +∴+-=，当2n 时，1220n n S -+-=，可得：1220n n nc +-+=，化为112n n c c +=，n=1时，易知212c =，显然1212c c =∴数列{}n 是等比数列，首项为1，公比为12．11()122[1()]1212nn n S -∴==--，则2122111111122[1()]2[1()]4[1()]2()[21()]0222222n n n n n n n S S S +++++-=-+---=⨯--<，∴212n n n S S S +++<．∴条件①成立．由于12n S <，1a ∴，2b ．（3）证明：（反证法）若数列{}n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1k k d d +成立，当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，得212m m m d d d ++<-，而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-，所以12m m d d ++>．显然在1d ， 2d ，⋯，k d 这k 项中一定存在一个最大值，不妨记为0n d ，所以为0(*)n d dn n N ∈，这与数列{}n d 没有最大值相矛盾．所以假设不成立，故命题得证．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式前n 项和公式、数列的单调性、不等式的性质、反证法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

【精编精校卷】2021届上海市位育中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)

2021届上海市位育中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列函数是奇函数的是． A ．()1f x x =+ B ．()sin cos f x x x =⋅ C ．()arccos f x x=D ．0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【答案】B【详解】A 、定义域R ，()()1f x x f x -=-+≠-，不是奇函数； B 、定义域R ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--=-=-，奇函数； C 、定义域[]1,1-，()()()arccos f x x f x -=-≠-，不是奇函数； D 、定义域()(),00,-∞⋃+∞，()()f x f x -=，偶函数，不是奇函数；故选B ．2．若已知极限sin lim 0n n n →∞==，则3sin lim sin 2n n nn n →∞--的值为（）A ．3-B ．32-C ．1-D ．12-【答案】D 【分析】因为sin lim0n n n →∞=，对3sin sin 2n nn n--分子分母同时除以n ，再求极限即可【详解】因为sin lim 0n n n →∞=，所以3sin 13sin 101lim lim sin sin 20222n n nn n n n n n n→∞→∞---===----.故选D. 【点睛】本题主要考查极限的运算，对目标式的合理化简是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（）A ．BG DE ⊥B ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．//AE CD 【答案】D【分析】根据题意还原正方体ABCD EFGH -，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据题意，还原正方体ABCD EFGH -，如图所示，连接CF ，可得//DE CF ，又由CF BG ⊥，所以BG DE ⊥，所以A 正确；由正方体的结构特征，可知//CH BE ，所以B 正确；因为DG CH ⊥,CH 为BH 在平面DCGH 上的射影，所以DG BH ⊥，所以C 正确；根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得AE 与CD 是异面直线，所以D 错误. 故选：D.4．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是 A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B ．u υ⋅2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l 【答案】B【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：222cos 45||||1z v a z v t c d α︒⋅===∴=⋅⋅++，∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==，且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||u v u v u v a ⋅∴<>==≥=⋅+，∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确；在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==，∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题5．抛物线212x y =的准线方程为__________. 【答案】3y =-【详解】2212,32px py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32p y =-=-，故答案为3y =-. 6．若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【详解】因为函数()121f x x m =-+是奇函数，所以()()11f f -=-，即11121121m m =---+-+，解得12m =，经检验12m =符合题意，故答案为12.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 或()()011f f +-=求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.7．若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【详解】由y =()221133222x y y =--=-+，()f x ∴反函数()()213022g x x x =-+≥，令213022x -+=，得x =x =，函数()g x 的零点为x =故答案为x =8．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________. 【答案】6π【分析】利用余弦定理与同角三角函数基本关系求解即可【详解】由()222tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221tan 22b c a A bc +-=，由余弦定理可得cos tan A A ⋅=11sin ,22A ⇒=A 是锐角，6A π∴=，故答案为：6π. 9．若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【答案】5【详解】321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()3121rn rrr n T C x x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()351r rn r n C x --，令5350,3n r n r -==，3r =时，n 有最小值5，故答案为5.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【详解】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为1920和2021，两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为192019202121⨯=，根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为19212121-=，故答案为221.11．已知无穷等比数列{}n a 的首项1a ,公比为q ,且有11lim 12n n a q q →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭,则首项1a 的取值范围是______ 【答案】{}110,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由11lim 12n n a q q →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭可得lim n n q →∞一定存在,分别讨论01q <<和1q =的情况,进而求解即可【详解】因为11lim 12n n a q q →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭,所以lim n n q →∞一定存在, 所以01q <<或1q =, 当1q =时,11122a -=,所以13a =；当01q <<时,由11lim 12n n a q q →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭得1112a q =+,所以121a q -=, 所以10211a <-<, 所以101a <<且112a ≠, 综上,101a <<且112a ≠或13a = 故答案为:{}110,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查无穷等比数列的应用,考查数列的极限12．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为__________．【答案】16π【详解】设球的半径为R ，则24100R ππ=，解得：5R =，设截面圆的半径为r ，则4r =,则平面α截球所得的圆面面积216S r ππ==.13．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种. 【答案】1518【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有12232231518C C A =，故答案为1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．14．设[0,2)θπ∈，若圆222(cos )(sin )x y r θθ-+-=（0r >）与直线2100x y --=有交点，则r 的最小值为________【答案】1【分析】根据直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式即可求出结果.【详解】因为圆()()222cos sin x y r θθ-+-=的圆心为()cos sin θθ，，又圆()()222cos sin x y r θθ-+-=（0r >）与直线2100x y --=有交点，所以[)0,2θπ∀∈，使得圆心到直线的距离d r =≤恒成立，即10r θϕ-≥=tan 2ϕ=，又()1sin 1θϕ-≤-≤，所以r 1=.故答案为1【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，直线与圆有交点，只需圆心到直线的距离小于等于半径即可，属于常考题型.15．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________ 【答案】72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈，所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.16．已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________.【答案】18-,（）【分析】建立坐标系，逐段分析PE •PF 的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系如图：则F （0，2），E （8，4）（1）若P 在AB 上，设P （x ，0），0≤x ≤8 ∴PF =（﹣x ，2），PE =（8﹣x ，4） ∴PE •PF =x 2﹣8x +8，∵x ∈[0，8]，∴﹣8PE ≤•PF ≤8，∴当λ＝﹣8时有一解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0＜y ≤8， ∴PF =（0，2﹣y ），PE =（8，4﹣y ）∴PE •PF =（2﹣y ）（4﹣y ）＝y 2﹣6y +8 ∵0＜y ≤8，∴﹣1PE ≤•PF ＜24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯一解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P 在DC 上，设P （x ，8），0＜x ≤8 ∴PF =（﹣x ，﹣6），PE =（8﹣x ，﹣4）， ∴PE •PF =x 2﹣8x +24， ∵0＜x ≤8，∴8PE ≤•PF ≤24，∴当λ＝8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （8，y ），0＜y ＜8， ∴PF =（﹣8，2﹣y ），PE =（0，4﹣y ）， ∴PE •PF =（2﹣y ）•（4﹣y ）＝y 2﹣6y +8 ∵0＜y ＜8，∴﹣1PE ≤•PF ＜24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有一解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PE •PF =λ成立，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为（﹣1，8）【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．三、解答题17．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1212M M N N 、、、为所在线段的三等分点.（1）请直接写出此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.【答案】（1）32，12；（2）3π.【分析】（1）根据底面是等腰直角三角形，高等于3，利用柱体体积公式求解；利用等体积法由112112A AM N M AA N V V --=求解；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1A A 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得121,A N AM 的坐标，设异面直线12A N 、1AM 所成的角为θ，由121121cos A N AM A N AM θ⋅=⋅求解.【详解】（1）因为底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，所以此三棱柱的体积11311322ABCV SAA =⨯=⨯⨯⨯= ，三棱锥112112111311322A AM N M AA N V V --==⨯⨯⨯⨯=；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1A A 为z 轴，建立空间直角坐标系：则()()()()1210,0,3,0,1,2,0,0,0,1,0,1A N A M ，所以()()1210,1,1,1,0,1A N AM =-=，设异面直线12A N 、1AM 所成的角为θ，所以1211211cos 222A N AM A N AM θ⋅===⋅⋅，因为(0,]2πθ∈，所以 3πθ=.18．已知曲线Γ：2211612x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，设P 是曲线Γ上的任意一点．⑴当P 异于A ，B 时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅是定值； ⑵设点C 满足(0)AC CB λλ=>，且PC 的最大值为7，求λ的值．【答案】(1)详见解析(2) 7或17【分析】⑴由已知椭圆方程求出A ，B 的坐标，设()()000,44P x y x -≤≤，由斜率公式及点P 在椭圆上即可证明12k k ⋅是定值；⑵设(),0(44)C m m -<<，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m 值，结合(0)AC CB λλ=>，求得λ的值．【详解】⑴由椭圆方程可得()4,0A -，()4,0B ，设()()000,44P x y x -≤≤，则0104y k x =+，0204y k x =-， 2020122200121161231616164x y k k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴⋅===-=---为定值； ⑵设(),0(44)C m m -<<，则()222220000212116x PC x m y x mx m ⎛⎫=-+=-++- ⎪⎝⎭()220141234x m m =-+- 若0m ≥，则()22max 1||4412374PC m m =--+-=，解得3m =．此时()7,0AC =，()1,0CB =，7AC CB =，由AC CB λ=，得7λ=；同理，若0m <，可得3m =-，此时求得17λ=．故λ的值为7或17．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界()2AB AD km ==，()3BC km =，()1CD km =.（1）求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这个面积最大值.【答案】（1）23 （2）P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，最大93. 【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补，可得B D π+=，它们的余弦值的和为零，由此利用余弦定理列方程，可求得AC 的值并求出cos ,cos B D 的值，进而求得sin ,sin B D 的值，利用三角形的面积公式，可求得ABCD 的面积.（2）设CP x =，AP y =，利用余弦定理和基本不等式求得xy 的最大值，利用三角形面积公式求得APCD 面积的表达式，将xy 的最大值，由此求得APCD 面积的最大值.【详解】（1）cos cos 0B D B D π+=⇒+=⇒22222223210223221AC AC +-+-+=⨯⨯⨯⨯ 解得：7AC =1cos cos 2B D =-=，于是3sin sin B D ==()121232S =⨯+⨯ sin 23B =（2）设CP x =，AP y =，由余弦定理得227x y xy +-=，而2272x y xy xy xy xy =+-≥-=（当且仅当x y =时，等号成立）得13212APCD S =⨯⨯ 13932x y ⨯⨯≤所以，当且仅当AP CP =，即P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，最93. 【点睛】本小题主要考查圆的内接四边形对角互补的知识，考查利用余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式以及基本不等式的应用.属于中档题.第一问中，给定了四边形的四条边长，求对角线的长，可利用对角互补及余弦定理建立方程，由此的到对角线的长.20．已知函数2()21x x a f x +=+，x ∈R. （1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈.【答案】(1)见解析(2) 当1a =-时，函数()y f x =是奇函数；当1a =时，函数()y f x =是偶函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()y f x =是非奇非偶函数，（3）见解析【详解】试题分析：（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，计算可得()()()()()()2112121222121xx x x a f x f x ---=++，据此可得()()12f x f x >，函数()y f x =是减函数.(2)分类讨论可得：当1a =时，函数()y f x =是偶函数，当1a =-时函数()y f x =是奇函数，当1a ≠且1a ≠-时，函数()y f x =是非奇非偶函数.(3)由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，结合函数的单调性分别证明0x 的存在性(利用函数的值域)和唯一性(利用反证法)即可证得题中的结论. 试题解析：（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()()()2112121222121xx x x a f x f x ---=++，∵12x x <，所以2122x x >，又1a >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以当1a >时，函数()y f x =是减函数.(2)当1a =时，()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数，当1a =-时，()2121x x f x -=+，()()21122121x xxx f x f x -----===-++，所以函数()y f x =是奇函数，当1a ≠且1a ≠-时，()213a f +=，()2113a f +-=，因为()()11f f -≠且()()11f f -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数.(3)由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，所以函数()y f x =在[],b c 上的值域为()(),f c f b ⎡⎤⎣⎦，因为()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦，所以存在0x R ∈，使得()0f x d =. 假设存在110,x R x x ∈≠使得()1f x d =，若10x x >，则()()10f x f x <，若10x x <，则()()10f x f x >，与()()10f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的，假设[]0,x b c ∉，即0x b <或0x c >，则()()0f x f b >或()()0f x f c <，所以()(),d f c f b ⎡⎤∉⎣⎦，与()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦矛盾，故[]0,x b c ∈.21．设数列{}()n a n N *∈中前两项12,a a 给定，若对于每个正整数3n ≥，均存在正整数k（11k n ≤≤-）使得12n n n kn a a a a k---+++=，则称数列{}n a 为“Ω数列”.（1）若数列{}()n a n N *∈为1211,2a a ==-的等比数列，当3n ≥时，试问：n a 与122n n a a --+是否相等，并说明数列{}()n a n N *∈是否为“Ω数列”；（2）讨论首项为1a 、公差为d 的等差数列{}n a 是否为“Ω数列”，并说明理由；（3）已知数列{}n a 为“Ω数列”，且120,1a a == ，记()12,n n n k S n k a a a ---=+++，()2,n n *≥∈N ，其中正整数1k n ≤-，对于每个正整数3n ≥，当正整数k 分别取1、2、、1n -时(),S n k k的最大值记为n M 、最小值记为n m . 设()n n n b n M m =-，当正整数n 满足32020n ≤≤时，比较n b 与1n b +的大小，并求出n b 的最大值.【答案】（1）{}n a 为“Ω数列”；（2）当0d =时,{}n a 为“Ω数列”；当0d ≠时,{}n a 不是“Ω数列”；（3）1n n b b +<；当3n =时，n b 取最大值为332b = 【分析】（1）由1211,2a a ==-可求得112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2112n n a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,3212n n a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而比较n a 与122n n a a --+的情况,可得n a 与122n n a a--+相等,即可得到{}n a 为“Ω数列”；（2）分别讨论0d =与0d ≠的情况,当0d ≠时,利用等差数列的通项公式代入12n n n kn a a a a k---+++=中,求解k ,即可判断；（3）由题意可知(),n n S n k m M k≤≤,即(),n n km S n k kM ≤≤,当4n ≥时,设(),n S n t M t =,(),n S n l m l=,则()()()111,1,11n n n S n t a S n t a t M ---=+--≤+-,可推导得到()()()1111n n n n t M a t M a ----≤--,即()1111n n n n t M a M a t-----≤-,同理可得()1111n n n n l a m a m l-----≤-,由111n n n m a M ---≤≤,1t n ≤-,1l n ≤-,可得()()11111121n n n n n n t n M a M a M a t n --------≤-≤--,()()11111121n n n n n n l n a m a m a m l n --------≤-≤--,进而作差整理可得()()()111n n n n n M m n M m ---≤--,即可判断数列{}n b 的单调性,从而求解.【详解】（1）n a 与122n n a a --+相等, 因为{}n a 是等比数列,所以2112a q a ==-, 则112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n ≥时,2112n n a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,3212n n a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()2321121111212222222n n n n n n na a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-= ⎪⎝⎭,所以n a 与122n n a a --+相等；因为对每个正整数3n ≥，均存在2k =且121n ≤≤-,使得12n n n kn a a a a k---+++=所以{}n a 为“Ω数列”（2）因为首项为1a 、公{}n a 为“Ω数列”差为d 的等差数列{}n a , 所以()11n a a n d +-=,当0d =时,对每个正整数3n ≥,均存在正整数1k =且111n ≤≤-使得11n n a a -=, 所以当0d =时,{}n a 为“Ω数列”；当0d ≠时,()()()11212313=2n n n kka n n n k da a a k a n d kk---+-+-++--⎡⎤++++⎛⎫⎣⎦=+- ⎪⎝⎭,若12n n n kn a a a a k---+++=,则312k n n +-=-,解得1k =-,不符合题意, 所以{}n a 不是“Ω数列”（3）由题可知,对于每个正整数3n ≥,均有[],n n n a m M ∈,()[]1,1,1n n n S n a m M -=∈, 且对于所有正整数1k n ≤-,均有(),n n S n k m M k≤≤,即(),n n km S n k kM ≤≤, 对于每个正整数4n ≥,选取恰当的正整数1,1t n l n ≤-≤-,使得(),n S n t M t =,(),n S n l m l=, 由()()()111,1,11n n n S n t a S n t a t M ---=+--≤+-,则()()()()()11111111,11n n n n n n n n n n t M a tM ta S n t ta a t M ta t M a ---------=-=-≤+--=--, 即()1111n n n n t M a M a t-----≤-, 类似的,()()()()()1111111,1,111n n n n n n n n n l a m la lm la S n l la a S n l l a l m --------=-=-≤----≤---()()111n n l a m --=--,即()1111n n n n l a m a m l-----≤-, 因为111n n n m a M ---≤≤,1t n ≤-,1l n ≤-, 所以()()11111121n n n n n n t n M a M a M a t n --------≤-≤--,()()11111121n n n n n n l n a m a m a m l n --------≤-≤--, 所以()()()()1111112211n n n n n n n n n n n n M m M a a m M a a m n n ---------=-+-≤-+---()()1111112211n n n n n n n n M a a m M m n n --------=-+-=---, 因为120,1a a ==,所以11n n m M --≠, 所以()()1111211n n n n n n n n M m M m M m n n-------≤-<--, 即()()()111n n n n n M m n M m ---≤--,所以正整数4n ≥时,1n n b b -<成立,即正整数3n ≥时,1n n b b +<成立,所以在正整数n 满足32020n ≤≤时,当3n =时,n b 取得最大值为3133122b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用,考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的单调性的判断,考查推理论证能力与运算能力.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

绝密★启用前
敬业中学2021学年高三下三月阶段测试数学
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
―、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1—6题，每空填对得4分；第7—12题，每空填对得5分，请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内．
1．已知集合{}12A x x =->，则R A =__________．
2．若复数z 满足1201i i
z +=，其中i 是虚数单位，则z =__________．
3．已知实数x 、y 满足条件102y x x y y ≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩
，则2x y +的最大值为__________．
4．若直线20x ay -+=与直线21ax y +=所成角的余弦值为13，则实数a=__________．
5．双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10x ty ++=垂直，则t=__________．
6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为__________．
7．把3本不同的语文书、4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是__________．
8．已知数据1x ，2x …，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，…931x +的标准差为__________．
9．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC △的面积为222
4
a b c +-
，c =该三角形的外接圆半径等于__________．
10．如图，O 是半径为1的球的球心，点A ，B ，C 在球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，E ，F 分别是大圆的弧AB 与弧AC 的中点，则E ，F 两点在该球面上的球面距离是__________．
11．已知函数4log |,04()cos(),482
x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为__________．
12．已知AB 为单位圆上的弦，P 为单位圆上的点，若()||f BP BA λλ=-的最小值为m （其中x R =），当点P 在单位圆上的运动时，m 的最大值为32
，则||AB 的值为__________．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分．
13．已知直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，则“m n ∥”是“m α∥”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件 14．如果2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根．则圆锥曲线22
1x y m n
+=的焦点坐标是（） A ．()1,0± B ．()0,1± C ．()3,0± D ．()0,3±
15．已知关于x 、y 的方程组2121ax y x by +=⎧⎨
+=⎩（其中a 、0b >）无解，则必有（） A ．4a b +< B ．4a b +> C ．4a b +≥
D ．4a b -> 16．已知两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：2sin cos 04a a π
θθ⋅+⋅-=，2sin cos 04b b π
θθ⋅+⋅-=，
则连接()2,A a a ，2
,()B b b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分
已知函数()2sin22cos 2f x x x =++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
．
（1）求函数()y f x =的单调递减区间；
（2）求函数()y f x =的值域．
18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，2AB =、4AD =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点．
（1）求三棱锥F PAD -的体积．
（2）求直线EC 与平面PCD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
19．（本题满分14分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题8分．
我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t 、市场价格x （单位；元）与市场供应量P 之间满足关系式：2
(1)()2kt x b P --=，其中b 、k 为正常数，当0.75t =时，P 关于x 的函数的图像如图所示；
（1）试求b 、k 的值；
（2）记市场需求量为Q ，它近似满足()2x Q x -=，当P Q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．
20、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知椭圆C 经过点3(1,)2，且与椭圆E ：2
212x y +=有相同的焦点．。

2021届上海市敬业中学高三下学期3月月考数学试卷

2021年高三3月月考(一模)数学(理)试题 含答案

2021-2022年高三下学期高中毕业班3月综合质量检测 数学理

最新2021-2021年高三3月月考数学(文)试题