初一数学竞赛辅导第3讲-有理数

第二讲 有理数
一、有理数的定义
能够表示成既约分数
),,0(为互质整数n m n n
m ≠的形式的数，称为有理数。

二、有理数的性质
1、有序性
2、封闭性
3、稠密性
例 试证：设a 为有理数，b 为大于a 的有理数，试证：没有最小的b 使
a<b 。

三、有理数的运算
例1 1998×19971997-1997×19981998
例2 计算：1997
39951998199839951997-⨯+⨯
例3 计算100322
12121211+++++
例4 计算2000
19991431321211⨯++⨯+⨯+⨯
例5 计算
20
12019120192031012014121431432141313213231211211+++++++++++++++++++++++++
例6 都不是整数对任意正整数证明：n n n n 3
13529132+++
例7 n S n ∙-++-+-=+1)1(4321 计算：
例8 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
例9 计算1+3+5+7+…+1997+1998的值。

四、 有理数大小的比较
1、做差法：若a-b >0,则a>b ；若a-b =0,则a=b ；若a-b <0,则a<b.
2、做商法： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<==>>>>;1;1;
1,0b 0,a b a b
a b a b
a b a b a ，则若，则若，则若时当
例1 比较两个正有理数a 3b 2与a 2b 3的大小。

例2 之间。

与在且均为有理数，证明设b a b a b a 3
2+<
例3 b a b a +≤-求证
例4 按大小顺序排列起来。

，，将三个分数
19921992
1991199119911991199019901990190019891989
例5 设a 、b 、c 、d 都是非0有理数，试证：-ab,-cd,ac,bd 四数中，至少有一个取正值，且至少有一个负值。

例6 的整数部分是几？那么设A A 100,79
147813771276118014791378127711⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=
练习一：
1、2001×20002000-2000×20012001
2、135
)271()136(136)271()135(--⨯-+-⨯- 3、19
17163135115131⨯+++++ 4、计算：11324
234745411+++++ 5、计算：1+5+52+53+…599+5100的值。

将两米长的绳子减去它的2
1，再31，再减掉余下的4
1…，直到减掉最后余下的100
1，还剩下多少？ 练习二：
1、有怎样的关系？与则若a
a a 1,0> 2、。

则若=-+-+-+++++=-54321001223344555,
)12(a a a a a a a x a x a x a x a x a x
3、.）的大小（与都是自然数，比较、、若q p t
q t p q p t q p ≠++ 4、之间。

、必在试证
若y x t yt x y x t ++<>1,,0。