《菱形的性质与判定》教案

《菱形的性质与判定》教案

教学目标：

菱形的定义、菱形的性质、菱形的判定．

教学重点：

菱形的性质及判定方法．

教学难点：

菱形性质和直角三角形的知识的综合应用．

教学过程：

一．巧设情景问题，引入课题

前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下．大家来看一个衣帽架．

这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？

图中三个四边形都可以看成是平行四边形，那么这几个平行四边形有什么特点呢？让学生注意观察，然后回答．

这三个平行四边形都是邻边相等的平行四边形．我们把这样的平行四边形叫做菱形．这节课我们就来探讨一下菱形．

二．新课

你能给菱形下定义吗？(一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．)菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等．所以菱形是具备：“①平行四边形，②一组邻边相等．”这两个条件的四边形．

将一个菱形ABCD按图示折叠并展开，

(1)说明两条折痕的交点为菱形中心O．

(2)菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

我们得到：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直．

下面大家画一个菱形，然后回答下列问题：

如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O．

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？

(3)两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？(同学们讨论分析回答)

同学们分析得很好，能否从中归纳出菱形的性质呢？

因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：

1．菱形的四条边都相等．

2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．

同学们回答得很好，我们知道了菱形的性质，那想一想如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做．(学生想动手折、剪，教师指导，然后出示两种及学生总结的折纸、剪切的方法)

方法一：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形．

方法二：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，得到一个长方形，然后沿新长方形的不含原长方形纸片四个角的顶点的对角线剪裁，打开即是菱形纸片．

你能说一说按这两种方法做的理由吗？大家讨论一下回答．

按方法一得到的菱形的理由是：如图2，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，所以AB =AC ，以BC 为折痕，对折后，得到的三角形BCD 仍是等腰三角形，即：BD =DC ，又因为AB =BD ，DC =AC ，所以AB =CD ，BD =AC ，所以四边形ABDC 是平行四边形，又AB =AC ，因此，平行四边形ABDC 是菱形．

方法二主要是利用了菱形的轴对称性．按方法一剪出如图所示的图形．以BC 所在的直线对折时，OA =OD ，以AD 所在的直线对折时，OB =OC ，这时四边形ABDC 是平行四边形，又因为两条折痕是互相垂直的，即：AD ⊥BC ，又OA =OD ，所以BC 是AD 的中垂线．即AB =AC ，因此平行四边形ABCD 是菱形．

刚才通过折纸、剪切，得到了菱形，你能因此归纳一下菱形的判别方法吗？分组讨论，然后总结：

菱形的判别方法：

1．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

2．四条边都相等的四边形是菱形．

(要注意的是：菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形．)

三．应用

例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，2 1.===，AB OA OB 求证：□ABCD 是菱形．

证明：证明：在△AOB 中，

222521.

===∴=+，，AB OA OB AB AO OB ∴在△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角．

∴AC ⊥BD ．

∴□ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于F ，交AC 于E ，若EG ⊥BC 于G ，连结FG ．

求证：四边形AFGE 是菱形．

分析：要判别四边形AFGE 是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件．由已知易得AF //EG ，再证FG //AE ；由已知不难得出∠3=∠4，BE 为ΔABE 与ΔGBE 的公共边，而ΔABE 与ΔGBE 都是直角三角形，所以ΔABE ≌ΔGBE ，AB =BG ，因此，ΔABF 与ΔGBF 中，∠3=∠4，BG =BA ，BF 为公共边，所以ΔABF ≌ΔGBF ，∠2=∠FGD ，而∠2+∠1=90º=∠FGD +∠EGF ，所以∠1=∠EGF ，而∠EGF =∠GFD ，所以∠1=∠GFD ，AE //FG ；由前面所证得的ΔABE ≌ΔGBE ，可知EG =EA ，即四边形AFGE 是菱形．

例3 如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：

(1)对角线AC 的长度；

(2)菱形ABCD 的面积．

解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，

∴∠AED =90°(菱形的对角线互相垂直)，

11105(cm)22

==⨯=DE BD (菱形的对角线互相垂直平分)．

12(cm).

221224(cm)

∴==∴==⨯=AE AC AE (菱形的对角线互相垂直平分)．

(2)菱形ABCD 的面积

=△ABD 的面积+△CBD 的面积

=2×△ABD 的面积

2122

1210122

120(cm ).

=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=BD AE 四．小结

本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下：