牛顿力学和相对论力学的协变性

牛顿力学和相对论力学的协变性

摘要：若将能量（包括动能）、动量都理解为相对论中的能量和动量，则牛顿力学中的功能原理、动能定理、动量定理、牛顿运动定律及力对物体所作的功的功率、能量-动量守恒定律及守恒条件在相对论中都是协变的，并给出了它们的协变形式。

关键词：功能原理；动能定理；动量定理；牛顿运动定律；能量-动量守恒定律；协变

The form of Newton's mechanics and the covariance

of relativistic mechanics

Abstract：It is pointed out that the work energy principle, the kinetic energy theorem, the momentum theorem, the Newton's law, the power of force, the law of energy- momentum and the conservative condition in the classical mechanics are all covariant in the theory of relativity if energy (including kinetic energy ) and momentum are all understood as energy and momentum in the theory of relativity.

Key words:work energy principle; kinetic energy theorem; momentum theorem; the Newton's movement law; the law of conservative of energy- momentum; consistent change

前言

牛顿力学以牛顿运动定律为基础，是在17世纪以后发展起来的。直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动。它以质点为对象，着眼于力的概念，在处理质点系统问题时，需分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动。牛顿力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。相对性原理是由伽利略最先提出的，牛顿在前人的基础上加以完善，清楚的阐述了相对性原理。由于相对性原理在电动力学中的矛盾，促使爱因斯坦对它进一步深思。爱因斯坦建立的狭义相对论和广义相对论把相对论推广于全部物理学[5]。众所周知，牛顿运动定律对于伽利略变换是协变的，但对于洛伦兹变换不是协变的。因此，在相对论中人们修改了该定律的内

容，使之既能满足相对论协变性的要求，又能在低速时过渡为牛顿运动定律[1]。在经典范围内，以牛顿运动定律为基础建立起了牛顿的力学理论体系。人们自然会考虑这样的问题：牛顿的力学理论体系在相对论范围内是否也可以修改为协变形式？若可以，应进行怎样的修改？其形式如何？

1 功能原理的协变形式

在牛顿力学中，功能原理的表述为：dW dr F =⋅ （1） 式中F 是物体所受的作用力，dr 是物体在力F 作用下发生的位移，dW 是物体受力作用发生位移而得到的能量的增量。式（1）表明，力对物体所做的功等于物体能量的增加。式（1）可写为： ()0/11

/12222=-+-⋅ict d dt dW c i c v c v dr

F （2） 式中v 是物体运动的速度，c 是真空中光速。利用四维力矢量和四维位移矢量表达 式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dW c i F c v K ,/11

22μ （4,3,2,1=μ） （3） ][),(,c i d dr dx =μ (4,3,2,1=μ) （4） 则（2）式可写为: 0=μμdx K （4,3,2,1=μ） （5） 式（5）显然是协变的。式（3）中的W 是物体在相对论中的能量。可见，若把式（1） 中物体的能量理解为相对论中的能量，则牛顿力学中的功能原理式（1）在相对论中就是协变的，其协变形式如式（5）所示。

2 动能定理的协变形式

在牛顿力学中，若物体受力F 作用而以速度v 运动，则其动能T 的增加率为

dt

dT v F =⋅ （6）

若把式（6）中的T 理解为相对论中的动能，则有：20c m W T -= （7） 式（7）中，W 是物体在相对论中的总能量 , 0m 是物体的静能量，20c m 是物体的静 能量。对于一个确定的物体，其静能不随时间和坐标系而变，是一标量。因此有：

dW dT = （8）

将式（8）代入（6）式可得：0/1/12

222=-+-⋅ic c v dt dW

c

i c v v F （9） 利用式（3）和四维速度矢量的表达式： )(c i v c v U ,,/11

22-=μ （4,3,2,1=μ） （10）

则式（9）可写为0=μμU K (4,3,2,1=μ) （11） 式（11）显然为协变的，所以若将式（6）中物体的动能理解为相对论中的动能，则牛顿力学中的动能定理式（6）在相对论中就是协变的，其协变形式如式（11）所示。

3 动量定理的协变形式

牛顿力学中，力对物体的冲量等于物体动量的增量dp ,此关系即为动量定理：

dp dt F =⋅ （12）

将式（8）代入式（6）。则动能定理又可写为：dW vdt F =⋅ （13）

利用时间延缓，可给出τ与固有时间之间的微分关系[1]： 2211c

v d dt -=τ （14） 由式（14），（12）和（13）可分别写为： dp c v Fd =-22/1τ

（15）

⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⋅W c i d c

v vd F c i 22/1τ （16） ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=W c i p p ,μ（4,3,2,1=μ） （17） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=v F c i F c v K ,/11

22μ （18） 则式（15）和（16）可合写为：μμτdp d K = (4,3,2,1=μ)

（19） 式（19）是协变的，所以若将物体的动能和动量都视为相对论中的动能和动量，则 牛顿力学中的动能定理式（13）和动量定理式（12）就都是协变的，其协变形式如式（9）所示。

4 牛顿运动定律的协变形式

牛顿力学中，牛顿运动定律为：dt dp F =

（20） 力F 对物体所做的功率为：dt

dW v F =⋅ （21） 由式（14），式（20）和（21）又可写为： τ

d dp c v F

=-22/1 （22） τ

d W c i d c v vdt

F c i ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⋅22/1 （23） 由式（17）和（18），式（22）和（23）可合写为

τμ

μd dp K = (4,3,2,1=μ) （24）

式（24）正是相对论力学基本方程式，是协变的，所以若将式（20）和（21）中的动量和能量都视为相对论中的动量和能量，则牛顿力学中的牛顿运动定律式（20）和对物体所作的功的功率式（21）就都是协变的，其协变形式如式（24）所示。 5 能量-动量守恒定律的协变形式