高阶系统的单位阶跃响应
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机械控制工程基础习题集_234
13.不同属性的物理系统可以有形式相同的（Ａ）
A.传递函数 B.反函数 C.正弦函数
D.余弦函数
14.比例环节能立即地响应（Ｂ）
A.输出量的变化 B.输入量的变化 C.误差量的变化 D.反馈量的变化
15.满足叠加原理的系统是（Ｃ）
1
A.定常系统 B.非定常系统 C.线性系统 D.非线性系统
16.弹簧-质量-阻尼系统的阻尼力与两相对运动构件的（Ｂ）
10.惯性环节：输出量 x0 和输入量 xi 的动力学关系为一阶微分方程Txo x0 Kxi 形式的
环节。
11.振动环节：输出量 x0 和输入量 xi 的动力学关系为二阶微分方程 T 2xo 2Txo x0 Kxi
形式的环节。 四、简答题 1 若力为输入、位移为输出时，写出如图所示机械系统的弹簧、粘性阻尼以及质量的传 递函数。
A.自身内部结构参数有关 B.输入信号有关 C.输出信号有关 D.干扰信号有关
23.闭环控制系统的开环传递函数是（C）
A.输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比
B.输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比
C.反馈信号的拉氏变换与误差信号的拉氏变换之比
D.误差信号的拉氏变换与反馈信号的拉氏变换之比
B G2 (s)
3.简述同一闭环控制系统的闭环传递函数与开环传递函数之间的特性关系。
答：1）闭环特征方程为开环传递函数有理分式的分母多项式与分子多项式之和； 2）闭环特征多项式和开环特征多项式具有相同的阶次；
3）闭环传递函数和开环传递函数具有相同的零点，但不存在公共极点。
4.说明同一闭环系统的闭环传递函数和开环传递函数具有相同的零点。
9.满足叠加原理的系统是（线性）系统。
2
第三章 线性系统的时域分析法(第三四五讲)
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e
1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e
1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。
第四节高阶系统分析
5
三阶系统单位阶跃响应
e p3t c(t ) 1 2 ( 2) 1 e nt [ 2 ( 2) 1] 2 2 { ( 2) cos d t sin d t}, t 0 2 ( 2) 1 1
1 10 1 10 1 1 1 C ( s) ( s) s s( s 1)(s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t ) 1 10 t 1 10t e e 9 9
Sunday, March 31, 2019
11
高阶系统的定性分析
零点的影响 零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若 靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。 偶极子 若有一对零极点之间的距离是极点到虚轴距离的十分之一 以上，这对零极点称为偶极子。偶极子对瞬态响应的影响可以 忽略。 系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
c(t ) a0 et (1 cosd t 1 sin d t )
Sunday, March 31, 2019
13
主导极点及应用
[利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析]
具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。此时 高阶系统的特性可用等效低阶系统的特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。 具体规则是：在时间常数形式的开环或闭环传递函数上略去小 时间常数。
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
Sunday, March 31, 2019
第六章--瞬态响应指标及其与系统参数的.
P
c(t P ) c() c()
100 %
式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。 4．延迟时间 td ：响应曲线第一次达到终值一半所需
的时间。 5．调整时间 ts （或过渡过程时间）：它定义为阶跃
响应曲线衰减到与稳态值之差不超过某一个特定百 分数△（又叫误差带）带所需要的时间。△一般取 ±2%或±5%。
3
上述5个动态性能指标，基本上可以反映 出系统的动态过程特性，通常用 tr 或 tP 评价 系统的响应速度；用 P 评价系统的阻尼程度； 而 是同ts 时反应响应速度和阻尼程度的综合 指标。
实际中用得最多的是： 最大超调量： P 过渡过程时间：t s
4
二、瞬态指标与系统参数的关系 1. 上升时间 根据定义，当 t tr 时， c(tr ) 1 ，即系统输出：
允许误差 ：0.05或0.02
0.1
0
tr
t
tp ts
1．上升时间 tr ：动态响应曲线从零到第一次
上升到稳态值所需的时间。(0—1或0.1－0.9)
2
2．峰值时间 tP ：对应于最大超调量发生的时间。 3．最大超调量 P (或 M p ) ——定义为阶跃响应超过
稳态值的最大值与稳态值之比的百分数，即
即用二阶系统的分析方法来近似原来的三阶系统。
19
20
响系统超调量的情况下，减少调整时间，加 快系统的响应速度。
P e 1 2 100%
3
ts n
10
例 系统如图所示。要求性能指标为 P 20%, 秒， tP 1
试确定系统的 K0 和 K 值，并计算 ts 和 tr 。
R(s)
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
控制系统的时间响应
低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）：
一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡
一对负实重根 单调上升
两个互异负实根 单调上升
一对共轭复根(右 半平面）
发散振荡
两个互异正实根 单调发散
负 负
正 正
正
结论 :
①二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性
➢ξ<0时 ， 阶跃响应发散，
统不稳定。
➢ξ=0时 ，等幅振荡。 ➢0<ξ<1时 ，有振荡 ， ξ愈
0
T 2T 3T 4T t
特点 （ 1）一阶惯性系统总是稳定的 ，无振荡。
（2）经过时间T， 曲线上升到0.632的高度 。反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间， 即是惯性环节的时间常数。
（3）经过时间3T～4T， 响应曲线达稳定值的95%~ 98％ ，可以认为其调整过程已经完成 ，故一般取调 整时间(3～4)T。
（3） 加速度函数 (Parabolic function)
表示在t =0时刻开始 ， 以恒定加速度随时间变 化的函数 ， 也称为抛物线函数。
当a= 1/2的加速度函数 ，称为单位加速度函数
。
（4）脉冲函数 (Impulse function)
当a=1时的脉冲函数 ，称为单位脉冲函数,记为
δ(t )。
（4）在t ＝0处 ， 响应曲线的切线斜率为1/T。
（5） ln[1-xo (t )] 与时间t 成线性关系
一 阶惯性环节识别曲线
其中
为常数。
判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数
5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入为 输出为
单位脉冲响应为
T
§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
+ ln c1 C
(σ % = 0时)
tp
=
α D
， c1
=
−⎜⎛ ⎝
A ⎟⎞ 2 ⎜⎛1− B⎠ ⎝
C F
⎟⎞ ⎠
，
c2
=
A B
C D
E F
σ%
= 100 ⎜⎛ C ⎝B
E F
e −σ 1t p
+ c1e − ct p
⎟⎞% ⎠
ts
=
3 + ln c2 σ1
(C > σ 1 ，σ % ≠ 0时）
ts
应该注意使简化后的系统与原高阶系统有相同的闭环增益，以保证阶跃响应终值相同。 例 3-9 已知系统的闭环传递函数为
Φ(s) =
(0.24s +1)
(0.25s +1)(0.04s2 + 0.24s +1)(0.0625s +1)
试估算系统的动态性能指标。 解 先将闭环传递函数表示为零、极点的形式
Φ(s)
（n ≥ m ）
（3-18）
式中， K = bm an ， q + 2r = n 。由于 M (s), D(s) 均为实系数多项式，故闭环零点 zi 、极
点 λ j 只能是实根或共轭复根。系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为
m
C(s) = Φ(s) 1 =
K∏ (s − zi ) i =1
∏ ∏ s
q
点均位于左半 s 平面时，随时间 t 的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶 跃响应最终稳定在 M (0) D(0) 。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零
的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
第三章系统的时间响应分析机械⼯程控制基础教案Chp.3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统⾃由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常⽤的典型输⼊信号及其特点。
(3) 掌握⼀阶系统的定义和基本参数，能够求解⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握⼀阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中，存在微分关系的输⼊，其输出也存在微分关系的基本结论。
(4) 掌握⼆阶系统的定义和基本参数；掌握⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；掌握⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5) 了解主导极点的定义及作⽤；(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
重点与难点重点(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。
(2) ⼀阶系统的定义和基本参数，⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3) ⼆阶系统的定义和基本参数；⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
难点(1) ⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2) 系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
建⽴数学模型后进⼀步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。
机械工程控制基础 第三章
二． 一阶系统的单位i (t ) u (t ), L[u (t )] s
由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2
t
0 T
xou (t )
ou (t ) x
1 T
0 0.632
1 0.368 2 T
0.135 1 T2
2T
4T ∞
0.865
反之，只要有一个 Re si 0，自由响应随着时间逐渐增大，当 时，自由响应也趋于无限大，即系统的自由响应项发散，
这种系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。
稳态响应:指强迫响应。
不难理解，系统微分方程的特征根si就是系统传递函数的极点pi
第二节 典型输入信号
系统的输入信号 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、 比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信 号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信 号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号即典 型输入信号来评价系统性能是合理的。
第四节 二阶系统
典型二阶系统的数学模型 二阶系统的标准形式：
2 X o ( s) wn G( s) 2 2 X i ( s) s 2wn s wn
X i ( s)
2 wn s( s 2wn )
X o ( s)
式中， 为系统的阻尼比； n 为系统的无阻尼固有频率。
相应的方块图如右图所示。 二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述。
通常，给控制系统施加一定的输入信号，考察系统的输出 响应来分析系统性能。 系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应 除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号的形式 有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。 常用的典型输入信号有脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、 等加速度信号和正弦信号。
高阶系统的简化分析自动控制原理-理论篇第5节
统。主导极点为实极点则简化为一阶系统；主导 极点为共轭复极点则简化为二阶系统。
三 高阶系统简化分析
2.7 举例G ( s) 3 s 5s 2 4s 2.7
解：s 3 5s 2 4s 2.7 0, s1 4.2, s2,3 0.4 j 0.69
2.7 2.7 / 4.2 G( s) 3 2 s 5s 4s 2.7 ( s 0.4 j 0.69)( s 0.4 j 0.69) 0.64 2 ( s 0.8s 0.64)
k 1
k k t
2 cos k 1 k t
2 Ck e k k t sin k 1 k t k 1
高阶系统响应=？？
二 零极点分布对系统动态响应的影响
极点起惯性延缓作用，离虚轴越近影响越大。 零点起微分加快作用，可抵消最近极点作用。 左极点稳，右极点散。复极点振，实极点不振。 例1 零点作用： 分析:
-10
-1
-1.1e-t
s=-1 成为主导极点
二 零极点分布对系统动态响应的影响
例3
100.8s 1 G (s) s 1s 10 G ( s ) 1 0.22 0.78 Y (s) s s s 1 s 10 y (t ) 1 0.22e t 0.78e 10t 1
高阶系统的简化分析
——《自动控制原理-理论篇》第3.5节
自动化工程学院自动控制原理课程组制
2015年11月
一 高阶系统的阶跃响应 二 零极点对于高阶系统的阶跃响应的影响 三 高阶系统的简化分析
一 高阶系统的动态响应
1 定义高阶系统-----N>2的系统
三 高阶系统简化分析
2.7 举例G ( s) 3 s 5s 2 4s 2.7
解：s 3 5s 2 4s 2.7 0, s1 4.2, s2,3 0.4 j 0.69
2.7 2.7 / 4.2 G( s) 3 2 s 5s 4s 2.7 ( s 0.4 j 0.69)( s 0.4 j 0.69) 0.64 2 ( s 0.8s 0.64)
k 1
k k t
2 cos k 1 k t
2 Ck e k k t sin k 1 k t k 1
高阶系统响应=？？
二 零极点分布对系统动态响应的影响
极点起惯性延缓作用，离虚轴越近影响越大。 零点起微分加快作用，可抵消最近极点作用。 左极点稳，右极点散。复极点振，实极点不振。 例1 零点作用： 分析:
-10
-1
-1.1e-t
s=-1 成为主导极点
二 零极点分布对系统动态响应的影响
例3
100.8s 1 G (s) s 1s 10 G ( s ) 1 0.22 0.78 Y (s) s s s 1 s 10 y (t ) 1 0.22e t 0.78e 10t 1
高阶系统的简化分析
——《自动控制原理-理论篇》第3.5节
自动化工程学院自动控制原理课程组制
2015年11月
一 高阶系统的阶跃响应 二 零极点对于高阶系统的阶跃响应的影响 三 高阶系统的简化分析
一 高阶系统的动态响应
1 定义高阶系统-----N>2的系统
第3章_时域瞬态响应分析_3.5高阶系统的瞬态响应
×
1
偶极子 -1
0
s2×
相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中， 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极 点相对应的分量可以忽略， 点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 经验指出， 经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它 们本身的模值小一个数量级时， 们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点 就构成了偶极子。 就构成了偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消 对动态性能影响较大的不利的极点， 对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得 到改善。 到改善。
m m −1 m m −1 X o ( s ) K ( s + b1s + L + bm −1s + bm ) K ( s + b1s + L + bm−1s + bm ) = q = n n −1 r Xi (s) s + a1s + L + an −1s + an ( s + pi ) ∏ ( s 2 + 2ξ jω j s + ω 2j ) ∏ i =1 j =1
《控制工程基础》 控制工程基础》
第3章 时域瞬态响应分析 章 3.5 高阶系统的瞬态响应
3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯 性环节和二阶振荡环节的叠加。 性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由 这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 其传递函数可表示为
3.3高阶系统的时域分析
j 1
k 1
式中，q+2r=n, q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。
部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理
q
r
h(t) A0
Ajesjt
B e kkt k
c os ( k
1
2 k
)t
j 1
k 1
r k 1
Ck
k
Bk kk
3、 调节时间的计算
ts
1
n
ln
2
n
si
m s1 zi
i2 n
i1 m
s1 si
zi
i2
i 1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可 减小系统的超调量和调节时间。
高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭 主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估 算高阶系统的动态性能。
设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点: 系统单位阶跃响应的近似表达式：
s1,2 s jd , 0 1
C(s) M (s) 1 N(s) s
1
2 k
e kk t
s in( k
表明
1
2 k
)t,
t
0
（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所 有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。
（2）零极点对系统性能的影响。
三、闭环主导极点
单位阶跃响应与单位脉冲响应
➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
➢一阶系统的单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
第三章
1t
c(t) 1 e T
R(s)
1 s2
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1T T s2 s s 1
T
1t
c(t) t T Te T
t0
第三章
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
CHANG’AN UNIVERSITY
第三章
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
稳定边界
CHANG’AN UNIVERSITY
n ：无阻尼自然频率
长安大学信息工程学院
自动控制理论
临界阻尼：=1
C(s) R(s)
第四节高阶系统的时域响应
第四节高阶系统的时域响应高阶系统的闭环传递函数可表示为如下一般表达式：将分子和分母分解成因式，上式可写成零极点型：式中——系统闭环传递函数的零点；——系统闭环传递函数的极点；10111011()()()m m m mnn n nb s b s b s b C s G s R s a s a s a s a ----++++==++++1212()()()()()()()()()m n K s z s z s z C s G s R s s p s p s p +++==+++mz z z ---,,,21 np p p ---,,,21单位阶跃响应为201121()cos 1sin 1j k nk k nk qrp ttj k knk j k rtk knk k c t A A eB etC etξωξωξωξω--==-==++-+-∑∑∑（1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量结论（2）系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质决定，调整时间的长短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号的正负（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬态分量可略去不计（4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。
闭环极点均位于S 左半平面系统，称为稳定系统。
（6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则称此对极点为系统的主导极点第五节线性定常系统的稳定性一. 系统稳定如果系统受到扰动作用时，系统输出虽会偏离原来的平衡状态，但扰动消失后，在经过足够长的时间会恢复原来的平衡状态，则称系统是稳定的（或称系统具有稳定性）。
3.4高阶系统
进行拉氏反变换：
A0 L ( ) A0 s q q q A A p jt j j 1 1 L ( ) L ( ) Aj e s pj j 1 s p j j 1 j 1
1
08:47
Bk s Ck L [ 2 ] 2 s 2 kk s k
1
08:47
c(t ) L1[C ( s )] A0 Aj e
j 1 q p jt
Ak e k k t sin dk t k
k 1
r
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大 (极 点距虚轴愈远 ) ，则其对应的响应分量 ( 模态 ) 衰减的越 迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关) 在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有 闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留 数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91 System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 G1 ( s ) s 1
10 G2 ( s) ( s 1)( s 10)
08:47
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：
一阶模态 e p t pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
j
二阶模态 e t sin(bt ) n 0 二阶收敛模态 n 0 二阶等幅振荡模态 n 0 二阶发散模态
系统动力学第9讲
1. 改变积分性质
用反馈
包围积分环节或者包围电动机的
X2 s
X2 s X1 s
K0 X1 s s K0 K H
Km Tm s 1 s K m K H
2.引入比例－微分控制
在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。
H0 s
H s
s 2 Tm s 1 K s 1
2 1 1 4 2 5 s 6 1
0
0
s
0
5
结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。
劳斯表判据的特殊情况
在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理， 原则是不影响劳斯判据的结果。
例2
设系统的特征方程为：
高阶系统的时域分析
定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系 统。
由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总 是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个 闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴 较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较 快，只起次要作用，可以忽略。
K s 1
其闭环特征方程为：
Tm s 3 s 2 Ks K 0
由稳定的充分必要条件：
ai 0则Tm , K , 均大于零； D2 0, D2 a1a2 a0 a3,故K KTm 0 Tm
引入比例－微分控制后，补上了特征方程中s的 一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件， 系统就可以稳定。
例1
设系统特征方程如下：
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自动控制原理
第三章 时域分析法
一、典型输入信号 1．阶跃函数
其表达式为
a t ≥ 0 r (t ) 0 0 t
当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有
1 t ≥ 0 1(t ) 0 0 t 单位阶跃函数的拉氏变换为 1 R( s ) L [1( t )] s
稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是有界输入产生 有界输出。 它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外 界因素无关。
自动控制原理 第三章 时域分析法 由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性
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第三章 时域分析法
过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。 稳态性能指标：描述准确性。
①延迟时间td
单位脉冲函数δ (t)，其数学描述为
t 0 (t ) 且 0t 0
(t )dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为
R( s ) L [ ( t )] 1
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第三章 时域分析法
r(t)
5．正弦函数 其表达式为
o
a sin tt ≥ 0 r (t ) t 0 0
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第三章 时域分析法
2．速度函数（斜坡函数）
其表达式为
at t ≥ 0，a为常量 r (t ) 0 0 t
当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变 换为
1 R( s ) L [t 1( t )] 2 s
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第三章 时域分析法
3．加速度函数（抛物线函数） 其表达式为
%
h( tp ) h() h() 100%
②上升时间tr ③峰值时间tp ④超调量% ⑤调节时间ts
0.5 0.9
%
误差带
ess=1-h()
⑥振荡次数N
⑦稳态误差ess 0.1
td
跃响应
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第三章 时域分析法
3.2 一阶系统分析
传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。
at 2 t ≥ 0，a为常量 r (t ) 0 0 t
当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换 为
1 2 1 R( s ) L [ t 1( t )] 3 2 s
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第三章 时域分析法
4．脉冲函数 其表达式为
1 0 t r (t ) 0t 0，t
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第三章 时域分析法
第三章
时域分析法
时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯 变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响 应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分 析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精 度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的 关系。 ts 表 式 表达式 ( s ) L1 R( s ) C ( s ) c( t ) % 公式 曲线 曲 e ss
h(t ) css ctt
1 t T
css=1 代表稳态分量
ctt e
lim h( t ) css
t
代表动态分量
lim ctt 0
t
动态分量即在动态过程 / 过渡过程中出现的分量。 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始， 按指数规律上升并最终趋于 1 的曲线。响应曲线 具有非振荡特征，故又称为非周期响应。 t 1 T h( t ) e 0 T
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的闭 环传递函数为
K C ( s) K 1 1 s ( s ) K s K 1 R( s ) Ts 1 1 s1 s K
一阶系统也称为惯性环节
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第三章 时域分析法
二、一阶系统的单位阶跃响应
1 R( s ) 单位阶跃输入的拉氏变换为 s 1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) Ts 1 s
其拉氏变换为
t
a R( s ) L [a sin t 1( t )] 2 s 2
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第三章 时域分析法
二、阶跃响应的性能指标 分析控制系统时的假定条件有：
①单位负反馈 ②初始状态为零 ③给定输入为单位阶跃函数 （由假设条件知，系统的期望输出为1）
对控制系统性能的一般要求：稳、快、准。
1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 1 Ts 1 T
t 1 1 c( t ) L [C ( s )] e T 0 ctt T
g (t )
1 1 s T
1 T
0
T
2T
3T
4T
t
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第三章 时域分析法
通过对不同输入下的响应进行分析可得： ①稳态输出取决于输入。
稳态输出
微 分
微 分
0
1 t
②对于线性定常系统，在零初始条件下，若输入信号
间呈微分的关系，则其对应输出之间也呈微分关系。
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第三章 时域分析法
①没有超调 量； ②调节时间 ts=3T(5%) ts=4T(2%)
T越小系统快 速性越好
初
③没有稳态误 差，即
一阶系统的阶跃响应
ess 1 h() 1 1 0
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三、
第三章 时域分析法
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五．一阶系统的单位脉冲响应
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第三章 时域分析法
3.1
典型输入信号及性能指标
一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结 构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系 统上的外作用信号有关。
为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始 状态和外作用信号做一些典型化处理。 初始状态：零状态 外作用：应尽可能简单又能反映实际情况。
取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃 响应 1 1 1 1 1 1 h( t ) L L 1 Ts 1 s s s T
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第三章 时域分析法
t T
初
则 或写成
h(t ) 1 e ,(t ≥ 0)