信号与系统 各种公式性质证明

第一章 绪论

1、证明：)(1

)(t a at δδ=，利用结论⎰∞

∞

-dt t )(δ

⎰∞

∞

-dt at )(δ计算 利用换元法，令ττ

τd a

dt t at 1

1

=

⇒=

⇒=，则： )(1)()(1)(t a at dt t a dt at δδδδ=⇒=

⎰⎰∞

∞

-∞

∞

- 此证明的物理意义层面的解释，因为)(t δ表示的是强度为“1”的一个冲激函数，即是此函数包含的面积为“1”，但是持续时间无穷小，瞬间量值无穷大的一个物理量。而)(at δ是对

)(t δ函数的尺度变换，其函数持续时间变化为原来的

a

1

倍，但是量值大小不变，所以相当于冲激强度变为原来的

a 1倍，所以可以表示为)(1

)(t a

at δδ=。 2、证明)(1

)(00a

t t a t at -=

-δδ 设⎰⎰∞∞-∞∞--=-dt a t t a dt t at )([)(00δδ

令⎰

⎰⎰∞

∞

-∞∞-∞∞-=

=-⇒=⇒-=ττδττδδττd a

d a dt a t t a d dt a t t )(1

)()([00

)(1

)()(1

)([00000a

t t a t at dt a t t a

dt a t t a d dt a t t -=-⇒-

=

-⇒=⇒-

=⎰

⎰∞

∞

-∞∞-δδδδττ

3、证明)(1||1)()(1||1)()

()('

'

t a a at t a

a at n n

n δδδδ=

=

先证明)(1||1)('

'

t a

a at δδ=

，利用冲激函数的广义函数定义证明。 dt t t a

a dt t t a

a dt t t t t a a dt t t a a dt t t a a dt

t at a t at a dt t at a dt t at ⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞

∞-∞

∞

-∞∞-∞

∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞

∞-∞

∞-∞

∞-==

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--=-=-=-==)()('1

1)()('11)()(')()(11)(')(11)(')(11)(')(1)()](1[)()]'(1[)()('

ϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδ

)('1

1)()()('1

1)()(''t a

a at dt t t a

a dt t at δδϕδϕδ=

⇒=⇒⎰

⎰∞

∞-∞

∞

-

再证明)(1||1)()

()

(t a

a at n n

n δδ

=

，我们可以利用归纳法来证明。步骤如下： （1）首先证明当1=n 时成立（已证明），即)('1

1)('

t a

a at δδ=

（2）假设当k n =时也成立，即)(1||1)()

()

(t a a at k k

k δδ=

（3）证明1+=k n 时若能成立，则性质是正确的，即是证明)(1||1)()

1(1

)

1(t a

a at k k k +++=δδ

证明：因为当k n =时也成立， 即)(1||1)()

()

(t a

a at k k

k δδ

=

， )(1||1)]'(1||1[1)]'([1)()

1(1

)()()1(t a

a t a a a at a at k k k k k k +++===⇒δδδδ （4）所以有)(1||1)()

()

(t a a at n n

n δδ

=

成立。

4、证明)()

(t n δ

的奇偶性为⎩

⎨

⎧为偶数时偶函数，当为奇数时奇函数，当

n n 证明：已知)(1||1)()

()

(t a

a at n n

n δδ=

，取1-=a ，则有)()1()()()(t t n n n δδ-=- 可见，)()

(t n δ的奇偶性为⎩⎨⎧=--=-为偶函数

，当为偶数时有当为奇函数为奇数时有奇函数当n t t n t t n n n n n )()(),()()

()()

()(δδδδ

第三章 连续时间系统的频域分析（傅里叶变换）

1、已知n n j t j t t )()()('1)()(ωδωδδ←→←→←→，证明和。 证明:用数学归纳法：

（1）已知n=1结论时成立，及ωδj t ←→)('；

（2）假设当n=k 是结论也成立，即k k j t )()()(ωδ←→，证明当n=k+1时结论也成立。 （3）当n=k+1时有

1

)

()()(')()1()

()()(0)()()()]([)(+-∞

∞

--∞

∞-∞∞---∞

∞

--∞

∞

-+==+=--==⎰⎰⎰⎰

k k

t

j k t j k t

j k t j k t j k j j j dt e

t j dt

e t j e t dt e t dt e t ωωωδ

ωδωδδδωωωωω

（4）综合前面的正面，说明结论n n j t )()()(ωδ←→成立。

2、思考题，求2

23

2)(22+-+-=t t t t t f 的傅里叶变换。

解：1

)1(1

122112232)(2222+-+

=+-+=+-+-=t t t t t t t t f |

|2

||2||2||122|

|e 11e 212e 12e 2e

ωωαππωωαα----=-↔+⇒↔+↔⇒+↔⇒+↔t t t t a t 对称性jw e t --↔-+⇒

||2

e )

1(11

ωπ 又jw e t f --+↔⇒↔|

|e )(2)()(21ωπωπδωπδ

3、思考题1

1

)(-=

t t f 的傅里叶变换？ 解：ω

ωπωπωπω

ωj e j t j j t t j j t --↔-⇒-=-↔⇒↔⇒↔

)sgn(1

1)sgn()sgn(21

211)sgn(212)sgn(时移特性对称性 4、傅里叶变换时域卷积、频域卷积定理的证明。 时域卷积定理：)()()()(2121ωωF F t f t f ∙↔* 证明： τττd t f f t f t f ⎰

∞

∞

--=

*)()()()(2121

τ

τττττωωd dt e t f f dt e

d t f f t f t f F t j t

j ])([)(])()([)]()([212121⎰⎰⎰⎰∞

∞

--∞∞

--∞

∞

-∞

∞

--=-=*∴利用换元法，令λτλλτ+==⇒=-t d dt t ,