2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．已知集合203x A x

x Z x +⎧⎫

=≤∈⎨⎬-⎩⎭

，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由

2

03

x x +≤-，得23x -≤<。又x Z ∈。因此{}21012A =--，，，，。 所以，集合A 中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）

A ．43

B ．23

C ．16

D ．19

【答案】 C

【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半

径R =

。 由243R ππ=

，得R =

。 ∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积311

66

V a ==。

3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）

A ．(43)(0)--⋃+∞，

， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，

， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23

x

y x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +

<+，即(4)

03

x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。 ∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，

，。 B

C

（第2题图）

4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）

（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B

【解答】（1）不正确。如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，

取m 为直线BD ，n 为直线11A C 。过点A 的直线l 如果与直线BD

相交，则l 在ABCD 面内，此时l 与直线11A C 不相交。

（2）、（3）正确。

（4）不正确。如图，正方体1111ABCD A B C D -的面ABCD 内取两条与BC 平行的直线，如图中的直线AD 与EF ，则有11AD BCC B ∥面，11EF BCC B ∥面，1111AD A B C D ∥面，

1111EF A B C D ∥面，但11BCC B 面与面1111A B C D 相交而不平行。

5．已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则

()f x 的最小值为（ ）

A ．16-

B ．14-

C ．12-

D ．10- 【答案】 A

【解答】 依题意，()f x 的图像关于直线3x =-对称。 ∴ (6)(0)0f f -==，(4)(2)0f f -=-=。

于是，24(366)08(164)0m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得1024m n =⎧⎨=⎩。

10m =，24n =时，

2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)f x x x x x x x x x x x x x =+++=+++=+++。

∴ 2

22222

()(6)8(6)(3)98(3)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++=+-++-⎣⎦⎣⎦，

即2

42

2

()(3)10(3)9(3)516f x x x x ⎡⎤=+-++=+--⎣⎦。

此时，22(3)(5)16f x x -+=--，22(3)(5)16f x x --=--，符合题意。 ∴ 2(3)50x +-=

，即3x =-±()f x 取最小值16-。

1A

A （第4题图）

6．已知a ，b ，

c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则a 的最小值为（ ） A ．16- B ．15- C ．14- D ．13

-

【答案】 D

【解答】 由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=。 ∴ 1ab bc ca a b c ++=++-。 设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-。

∵ 2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，

∴ 22(1)1x x --=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=。 ∴ ()0ab a b c ++=，即()(1)0ab a b a b ++--=。 ∴ 220a b ab a b ++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=。 由a ，b R ∈知，22(1)4()0a a a =---≥△。

∴ 23210a a --≤，解得113a -≤≤。因此，13a ≥-。

又当13a =-时，代入前面解得，2

3b c ==。符合题设要求。

∴ a 的最小值为1

3

-。

二、填空题（每小题6分，共36分）

7．已知定义在[]10-，上的函数()log ()a f x x m =+（0a >，且1a ≠）的值域也是[]10-，，则a m +的值为 。

【答案】

5

2

【解答】当1a >时，()f x 在[]10-，上为增函数，依题意有

(1)log (1)1

(0)log (0)0a a f m f m -=-+=-⎧⎨

=+=⎩

，方程组无解。 当01a <<时，()f x 在[]10-，上为减函数，依题意有

(1)log (1)0(0)log (0)1a a f m f m -=-+=⎧⎨

=+=-⎩，解得212

m a =⎧⎪

⎨=⎪⎩。 所以，5

2

a m +=

。 8．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PC BA BC ====，6AC =，

4PB =。设PA 与ABC 面所成的角为θ，则sin θ的值