2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。
①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。
整理2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
文件编号： 3B -A1-F1-B0-18
整理人 尼克
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题
考生注意：1.本试卷共有2个大题（13个小题）；
2.用黑色中性笔作答；
3.不能使用计算器。
一、填空题（本题满分90分，每小题9分）.
1.若非空集合，，则能使成立的所有的集合是.
2.已知是定义在上的函数,,且对任意的都有则
.
3.在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是.
4.去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第项.
5.若，则称为集合的孤立元素.的无孤立元素的4元子集有个.
6.集合(不必相异)的并集且求满足条件的集合的有序三元组的个数为.
7.已知集合对它的任意一个非空子集，可以将中的每一个元素
，都乘以再求和（例如,则可求得）对的所有非空子集，这些和的总和为.
8.已知二次函数.(1),(2)对任意的都有
成立，那么.
9.已知（其中）且.则.
10.在集合的子集中，任意两个元素的平方和不是7的倍数.则中元素个数最大值为.
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）.
11.求函数的值域
12.锐角△ABC的外心为O，线段OA、BC的中点分别为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN.
13.已知函数
.
求函数在区间上的最大值.
整理丨尼克
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2017浙江省高中数学竞赛试卷(PDF版)
5 q 6. 设 S 是 (0, ) 中所有有理数的集合，对简分数 ∈ S , ( p, q) = 1 ，定义函数 8 p 2 q q +1 ，则 f ( x) = 在 S 中根的个数为 _____________. f( )= 3 p p
解答 由于 f ( x) =
2 2m − 1 5 1 m∈ ， ， 令 q = 2m − 1, p = 3m ， 则有 0 < < ， <m<8 3 3m 8 2
x 2 + 32 > x 2 + 8 x 2 = 3 x （ 0 < x < 2 ）.
x2 + 16 f k ( x) > x 2 + 1 6 x > 3x 。 3
当 n = k 时，设 f k ( x) > 3 x ，则 f k +1 ( x) =
由此可得 0 < x < 2 都不是 f n ( x) = 3 x 的解（对于所有的 n）. 因此，对每个 n ， f n ( x) = 3 x 的实数解为 x = 2 。 …………………………20 分
有三个根 x1 < x2 < x3 . 若 x3 − x2= 2( x2 − x1 ) ，则实数 a = 解答：设 g ( = x) 2 1 − x 2 ，定义域为 −1 ≤ x ≤ 1 ，
max ( f ( x), g ( x)) = 1 ( f ( x) + g ( x) + f ( x) − g ( x) ) . 2
−4k 。 3k 2 + 1
……………………5 分
于是有 y p + yq= k ( x p + xq ) − 4k= 因为 PQ 的中点为 N ，所以 N (
江西省萍乡市2017年高一数学竞赛试题(含解析)
2017年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第Ⅰ卷（共60分）一、填空题（每题10分，共80分.）1. 若是单位向量，且，则__________．【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________．【答案】【解析】时，x-1时，1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，，，图象的交点数共有__________．【答案】5故答案为54. 若，则__________．【答案】0.........5. 已知，，，则__________．【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，∵=1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)= −，∵0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或②。
cos(γ−α)= −;解得：γ−α=或③。
∵0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值为.点睛：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的基本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，称甲乙“心相近”，现任意两人玩这游戏，则他们心相近的概率为__________．【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，若，则__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，则的最大值不小于__________．【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题（共70分）9. 已知函数（）是偶函数，若对一切实数都成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数（）是偶函数得出，证明出当时，为增函数，，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：（）是偶函数，当时，，得对一切都成立，所以，.于是设，，所以，当时，为增函数.，，于是，即，所以即对一切实数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，，（），证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由（）知，数列为正项递增数列.把化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由（）知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此，故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，，由射影定理，得，因为，所以，四点共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析：连，设为，的交点，因为，，由射影定理，得因为，所以，四点共圆.由圆幂定理，得所以，即（定值），所以，为定长.12. 有（）个整数：，，…，，满足，，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，若为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，如果中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，若为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.如果中仅有一个偶数，则中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年第10届全国中学数理化竞赛高一数学试题答案(初赛)
二、填空题(每题 8 分，共 48 分) 9 9.－2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为 a<0， 1＋2＝－b， {x|1≤x≤2}，所以 b 1×2＝a， 3 a＝－2， 3 9 所以a＋b＝－2－3＝－2. 解得 b＝－3，
y f 0 x 2 的图像，作该图像在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图 3，其中 x 轴
上方的部分即是 f 2 x f1 x 2 的图像．易得所求面积为 7．
y
y
y (1,2) 1
(-1,2)
1
o
x
-1
o
1
x
-3
o
-1
3
x
图1
图2
图3
三、解答题（共 70 分） 13.（23 分）
特级教师 王新敞
126. com wxckt @
1 1 1 1 对于①，f(x)＝x－x ， f ( ) ＝x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②， f ( ) ＝ x x
1 1 1 x ,0 x 1, x , x 1, 1 1 1 1 不满足 “倒负” 变换； 对于③， f ( ) ＝ 0, 1, 即 f ( ) ＝ 0, x 1, x ＋x＝f(x)， x x x x,0 x 1 1 x , x 1 1 故 f ( ) ＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. x
2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案
2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。
【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。
由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。
若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。
∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。
【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。
又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。
3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。
【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。
∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷参考答案
m1 cos
2k
m1
i sin
2k
0, n1 cos 2k
n1
i sin
2k
0
k 0
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 0
m
k 0
n
k 0
n
所以 m1 cos 2k 0, n1 sin 2k 0 ，故： m1 cos 2k n1 sin 2k 0 .
k 0
m
k 0
n
k 0
m k0
n
而当 m
1 时 m 1 cos 2k
（x1, x2, x3, x4) (0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4) ，因此符合条件的四位数恰有：
4C31 3!4!
96 （个），故所求概率为
C915 C926
1 48
.
8. 已知 S 是正整数集合的无穷子集，满足对任何 a,b,c S, abc S ，将 S 中的元素按 照 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 成 的 数 列 记 为 {an} ， 且 已 知 a1 2, a2031 24061 ， 则 a2017 _____ .
68
x
1 2
(
x1
x2 )
1 2
b 34
25 b
25
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q( 25 , 9) 的纵坐标，即 bb
y 25 34 9 b bb
4
这就是说，点 Q( 25 , 9) 平分线段 MN . bb
--------------------------------------- 16 分
b3
|
11 11
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
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2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。
由243R ππ=，得R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】（1）不正确。
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，取m 为直线BD ，n 为直线11A C 。
过点A 的直线l 如果与直线BD相交，则l 在ABCD 面内，此时l 与直线11A C 不相交。
（2）、（3）正确。
（4）不正确。
如图，正方体1111ABCD A B C D -的面ABCD 内取两条与BC 平行的直线，如图中的直线AD 与EF ，则有11AD BCC B ∥面，11EF BCC B ∥面，1111AD A B C D ∥面，1111EF A B C D ∥面，但11BCC B 面与面1111A B C D 相交而不平行。
5．已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则()f x 的最小值为（ ）A ．16-B ．14-C ．12-D ．10- 【答案】 A【解答】 依题意，()f x 的图像关于直线3x =-对称。
∴ (6)(0)0f f -==，(4)(2)0f f -=-=。
于是，24(366)08(164)0m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得1024m n =⎧⎨=⎩。
10m =，24n =时，2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)f x x x x x x x x x x x x x =+++=+++=+++。
∴ 222222()(6)8(6)(3)98(3)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++=+-++-⎣⎦⎣⎦，即2422()(3)10(3)9(3)516f x x x x ⎡⎤=+-++=+--⎣⎦。
此时，22(3)(5)16f x x -+=--，22(3)(5)16f x x --=--，符合题意。
∴ 2(3)50x +-=，即3x =-±()f x 取最小值16-。
1AA （第4题图）6．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则a 的最小值为（ ） A ．16- B ．15- C ．14- D ．13-【答案】 D【解答】 由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=。
∴ 1ab bc ca a b c ++=++-。
设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-。
∵ 2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，∴ 22(1)1x x --=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=。
∴ ()0ab a b c ++=，即()(1)0ab a b a b ++--=。
∴ 220a b ab a b ++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=。
由a ，b R ∈知，22(1)4()0a a a =---≥△。
∴ 23210a a --≤，解得113a -≤≤。
因此，13a ≥-。
又当13a =-时，代入前面解得，23b c ==。
符合题设要求。
∴ a 的最小值为13-。
二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在[]10-，上的函数()log ()a f x x m =+（0a >，且1a ≠）的值域也是[]10-，，则a m +的值为 。
【答案】52【解答】当1a >时，()f x 在[]10-，上为增函数，依题意有(1)log (1)1(0)log (0)0a a f m f m -=-+=-⎧⎨=+=⎩，方程组无解。
当01a <<时，()f x 在[]10-，上为减函数，依题意有(1)log (1)0(0)log (0)1a a f m f m -=-+=⎧⎨=+=-⎩，解得212m a =⎧⎪⎨=⎪⎩。
所以，52a m +=。
8．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PC BA BC ====，6AC =，4PB =。
设PA 与ABC 面所成的角为θ，则sin θ的值为 。
【答案】235【解答】如图，取AC 中点O ，连接OP ，OB 。
∵ 5PA PC BA BC ====，6AC =， ∴ AC OP ⊥，AC OB ⊥，4OP OB ==。
∴ AC POB ⊥面，ABC POB ⊥面面。
又由4PB =，知POB △是等边三角形。
作PH OB ⊥于H ，则PH ABC ⊥面，且23PH =。
∴ PAH ∠是PA 与ABC 面所称的角。
∴ 23sin sin 5PH PAH PA θ=∠==。
9．已知(912)A -，，(1612)B --，，(00)O ，，点D 在线段OB 内，且AD 平分OAB ∠，则点D 的坐标为 。
【答案】 9(6)2--，【解答】如图，OB 方程为34y x =，设(43)D t t ，（40t -<<）。
又直线AO 方程为430x y +=，AB 方程为2473000x y -+=，AD 平分OAB ∠。
∴ 点D 到直线AO 、AB 距离相等。
∴1699621300525t t t t +-+=。
解得，6t =（舍去）或32t =-。
因此，点D 坐标为9(6)2--，。
OACBPH （第8题图）（第8题图）（第9题图）10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减。
若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为 。
【答案】 []282ππ--，【解答】∵ ()f x 是偶函数，且在区间[]01，上单调递减。
∴ ()f x 在区间[]10-，上为增函数。
又()f x 是以2为周期的周期函数， ∴ ()f x 在区间[]12，上为增函数。
又()1f π=，(2)2f π=，以及()f x 是以2为周期的偶函数。
∴ (2)()1f f ππ-==，(82)(28)(2)2f f f πππ-=-==。
又12822ππ<-<-<，∴ 不等式组的解集为[]282ππ--，。
11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = 。
【答案】2019323-【解答】 依题意，有1333(3)523f ==-，2433(3)1323f ==-，3533(3)2923f ==-， …………… 一般地，有23(3)23n n f +=-。
所以，201720193(3)23f =-。
12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2xy yz +的最大值为 。
【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)x y z x y y z xy yz xy yz =++=+++≥+=+，知122xy yz +≤，当且仅当2x y =，且y z =，即x =，y z ==所以，2xy yz +的最大值为12。
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立。
（1）求()f x 的解析式；（2）已知11()A x y ，、22()B x y ，是函数()y f x =图像上不同的两点，1(1)6P -，，且PA PB ⊥。
当1x 、2x 为整数，123x x <<时，求直线AB 的方程。
【解答】（1）依题意，1(0)6f c =≤，11(1)36f c =+≤。
∴ 1166c -≤≤，且1126c -≤≤-。
∴ 16c =-。
…………………………… 4分此时，1(0)6f =-，可见()f x 在区间[]11-，上的最小值为(0)f 。
∴ ()f x 的对称轴为0x =，即103a -=，13a =。
∴ 211()36f x x =-。
…………………………… 8分（2）由（1）知，2111111111()16366(1)13PA y x x k x x ----===--+。
同理213PBx k -=。
∵ PA PB ⊥， ∴ 1211133PA PB x x k k --⋅=⋅=-。
∴ 12(1)(1)9x x --=-。
…………………………… 12分 又1x 、2x 为整数，且12x x <，∴ 121911x x -=-⎧⎨-=⎩，或121313x x -=-⎧⎨-=⎩，或121119x x -=-⎧⎨-=⎩。