太原理工大学研究生矩阵论例题第1章_线性空间与线性变换

例 5 在 R n 中如下的 n 个向量 1 (1,1,1,,1),T 2 (0,1,1,,1)T , ， n (0,0,,0,1)T 也是 R n 的一个基，因为对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，有
a11 (a2 a1 ) 2 (an an1 ) n
0；
且 a R, 有
lim
n
aan

a
lim
n
an
0；
并且易证八条性质也成立． 所以，一切收敛于 0 的实序列对于如上定
义的加法和数与序列的乘法构成 R 上的一个线性空间．
例 1. 9 问当 0 时，相容的线性方程组 Ax 的解的全体
S x Ax , x Cn 是否构成线性空间？
则在此运算下 R 构成实数域上的线性空间．
证明 因为该运算满足线性运算的全部性质：
i） a1 a2 a1a2 a2a1 a2 a1 ；
ii）
(a1 a2 ) a3 （a1a2） a3 （a1a2）a3 a（1 a2a3） a1 （a2 a3）；
iii） a1 1 a1 1 a1 ；
例 1.1 实数域 R 按照实数间的加法与乘法，构成一 个自身上的线性空间，仍记为 R ．
例 1.2 分 量 属 于 数 域 P 的 全 体 n 元 数 组
(x1, x2 , , xn )T 按照通常的加法与数与 n 元数组的乘法，
构成 P 上的一个线性空间，记作 Pn ． 当 P = C 时，Pn 称 为 n 元复线性空间，记作 C n ；当 P = R 时， Pn 称为 n 元 实线性空间，记作 Rn ．
解 对于任意的 x1, x2 S ，有 Ax1 ， Ax2 ． 但是 A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 2 ，
所以 x1 x2 S ，即 S 关于加法运算不封闭，故 S 不是线性空间．
例 1 在线性空间 R 2 中，任意两个不共线的向量都构成 R Nhomakorabea2 的一个
并且 dim C mn m n ．
例 3 取定 R3 中三个不共面的向量1,2 ,3 ，对于任意的 R3 ， 可以唯一的表示为
x11 x2 2 x33 ．
因此，向量 在基{1, 2 ,3 }下的坐标为 (x1 , x2 , x3 )T ．
例 4 在 R n 中的 n 个向量
所以 在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 a1,, an an1 )T ．
例 6 求线性空间 P[x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标． 容易看出，在线性空间 P[x]n 中，它的一个基为 p1 1, p2 x, p2 x2 , , pn xn1

0





0

( j)
注意到 Eij（ i 1,2,, m; j 1,2,, n ）为除去第 i 行，第 j 列
位置上的元素是 1 外，其余的元素都是 0． 由定义 1-3 可见 Eij
（ i 1,2,, m; j 1,2,, n ）构成线性空间 C mn 的一个基，
i
(0,,0, 1,0,,0)T ( i (i)
1,2,, n )，
可以作为 Rn 的一个
基 ， 此 基 称 为 Rn 的 标 准 基 ． 因 对 于 任 意 的
(a1, a2 , , an )T R n ，有
a11 a2 2 an n ，
所以 在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 ,, an )T ．
基；在线性空间 R3 中，任意三个不共面的向量都构成 R3 的一个基．并
且 dim R2 2 ； dim R3 3 ．
例 2 设 C mn 是数域 C 上一切 m n 矩阵构成的线性空间， 考虑如下的 mn 个矩阵

0





0

Eij 0 0 1 0 0 (i)
例 1. 3 在实数域上，次数小于 n 的多项式的全体
R[ x]n an1 xn1 a1 x a0 an1, , a1, a0 R
对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空间．
注意 在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而 得到不同的线性空间．
例 1.4 在实数域上， m n 矩阵全体 Rmn 按照通常矩阵
的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
例 1. 5 在实数域上，次数等于 n 的多项式全体，在多项式
加法，数与多项式的乘法运算下，由于运算不封闭，从而不构 成线性空间.
例 1. 6 设 R 表示全体正实数，定义运算 与 为 a b ab ， k a ak ，其中 a, b R ， k R ．
算与为 a a a ， k a a ，其中 a V ， k R ．
则V 在此运算下构成实数域 R 上的线性空间．这个空间叫做零空间．
例 1. 8 设 an ,bn 是两个收敛于 0 的实数无穷序列，则
lnim(an
bn )

lim
n
an

lim
n
bn
iv） a1

1 a1

a1
1 a1
1；
v） 1 a1 (a1 )1 a1 ；
vi） k (l a1 ) k (a1l ) (a1l )k a1lk (lk) a1 ；
vii） (k a1 ) (l a1 ) (a1k ) (a1l ) a1k
a1l

akl 1
(k l) a1 ；
viii） k (a1 a2 ) k (a1a2）（a1a2 )k a1ka2k (k a1 ) (k a2 ) 。
所以，全体正实数 R 在此运算下构成实数域 R 上的线性空间．
例 1. 7 设集合V 仅含有一个元素 a ，即V {a} ，在V 中定义运