对特征多项式方程各种稳定判据的优缺点分析
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江西电力
第 ３ ４卷
２１ ０ ０年
第 ３期
１ ３
文 章 编 号 ： ０ ６ ３ ８ ２ ０） ３ ０ １ — ５ １ ０ — ４ Ｘ（ ０１ ０ — ０ ３ ０
对 特 征 多 项 式 方 程 各 种 稳 定 判 据 的优 缺 点 分 析
张旭 俊
（ 两 省 电力 科 学 研 究 院 ， 西 南 昌 ３ ０ ０ ） 江 江 ３ ０ ６
数 的 ， 负数个 数 就是 多项 式方 程 正根 的个数 ， 其 当多
项 式 具 有 缺 项 时 ， 就 是 不 稳 定 的 。 文 同 时 阐 明 它 它 本
和古 尔维 茨判 据 、 劳斯判 据 、 哈依 洛夫判 据 之 间的 米 关 联 。它 还对 米 哈依洛 夫判 据 图示方 法 给 出 了一 些
……＋ ｐ ｄ＝ ， 中 Ｐ为 拉普 拉斯 算 子 。而研判 特 ｄ一 ＋ ０ 其 ｌ
征 多 项 式 方 程 ｐ ＝ ｏｐ Ａ ）Ｐ Ａ ）Ｐ Ａ ） … （— ） ｄ （— （— ：（ — … Ｐ
Ａ ）０的复数根 Ａ 是 否 全部 位 于复 数 坐标 的左 半 平 ＝ 面 ． 就是特 征 方程式 的负定 判别 问题 。 符 合负 定 这 若 条 件 ，这 样 求解 的结 果就 会是 随 时 间按指 数 衰减 的 时 间 函数 。 目前 负定 判别 的方 法 分两类 ， 是 直接 求 一 复 根 （ 士 锷 一 ａ ｓ ｗ方 法 ） 它是 渐 近 迭 代 过 程 ， 林 Ｂｉｔ ｒｏ ， 计 算工 作量 大 ， 有时 可能 不 收敛 。 二是 不需 求 复根 的 负 定判 据 ， 者 有 劳斯 判 据（８ ７年 ， ｏ ｔ）古 尔 维 后 １７ Ｒ ｕｈ 、 茨 判 据 （８ ５年 ， ｕｗｔ） 他 们 的原 理 是 来 自数 学 １９ Ｈ ｒｉ ， ｚ 的证 明 ． 由于过 于复 杂 ， 一般 Ｔ程 书上 都没 有 给 出证 明 ， 对读 者灵 活应用 就 带来 限 制 。 这 还有 米 哈依 洛夫 判 据 （ ９ ８年 ， ｋ ａ ｏ ） 它 具有 明显 的 几何 意 义 ， １３ Ｍｉｈ ｉ ｖ ， ｌ
摘
要 ： 文 对 特 征 多项 式 方 程 的 稳 定 性 ， 本 提 了 基 于辗 转 相 除 的 连分 式 稳 定 判 据 ， 理 清 晰 ， 明 容 易 。它 还 能 在 ， 原 证
特 征 多 项 式 方 程 缺 项 和 不 稳 定 的情 况 下 ， 出 正 根 的 个 数 。也 推 导 了它 和 劳斯 判 据 、 尔 维 茨 判 据 之 间 的 关 系 式 ， 指 古
并且对米哈伊洛夫判据曲线进行了改良。 关键词 ： 定判据 ： 稳 自控 系 统 ： 征 多 项 式 特
中 图 分 类 号 ： Ｍ７ １ Ｔ ｌ 文献 标 识 码 ： Ａ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Ａｂ ｔ ａ ｔ： ｈ ｓ ｐ ｐ ｒｐ ｅ ｅ ｔ ａ ｎ ｗ ｓａ ｉ ｔ ｒ ｅ ｏ ｆｃ ａ ａ ｔ ｒ ｔ ｏｙ ｏ ａ ｑ ａｉｎ ｗｈ ｃ ａ ｅ ｎ Ｅｕ ｌ ｅ ｎ ｓｒ ｃ Ｔ ｉ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓ ｅ ｔｂ ｌ ｙ ｃ ｔ ｒ ｎ ｏ ｈ ｒ ｃｅ ｉ ｉ ｐ ｌ ｎ ｍｉ ｌ ｕ ｔ ， ｉｈ ｂ ｓ ｄ ｏ ｃ ｉ ａ ｉ ｉ ｉ ｓｃ ｅ ｏ ｄ ｄｖ ｓｏ ｏ ｇ ｔｃ ｎ ｉ ｕ ｄ ｆ ｃ ｉｎ ｆｒ ｌ Ｔ ｅ ｃ ｔｒｏ ， ｈ ｃ ａ ｎ ｉａｅ ｔ ｅ ｎ ｍｂ ｒｏ ｏ ｉ ｖ ｏ ｔ ｏ ｈ ｒ ｃ ｅ ｓｉ ｉ ｉｉｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｅ ｒ ｔ ｏ ｍｕ ａ． ｈ ｒ ｅ ｉｎ ｗ ｉｈ ｃ ｎ ｉ ｄ ｃ ｔ ｈ ｕ ｅ ｆ ｓｔ ｅ ｒ ｏ ｓ ｆｃ ａ ａ ｔ ｒ ｔ ｎ ａ ｏ ｉ ｐ ｉ ｉ ｃ
改进 ， 果 十 分显 著 。 效
ｐｏｙ ｍｉ ｌｅ ｕａｉ ｎ ｉ ｌ ａ ｎ ａ ｉ ｏ ｅ ｌｎｏ ａ ｑ ｔｏ ｓ ｃ ｅ ｒ ａ ｄ ｅ ｓｌ ｐｒ ｖ ｄ．Ｔｈ ｓ ｐａ ｒ ａｓ ｉ ｅ ｈ ｅｌｔｏ ｏｒ ｕ ａ ｂｅｗｅ ｎ ｔ ｓａ ｌｔｃｒｔｒ【 ｙ ｉ ｐｅ ｌｏ ｇ ｖ ｓ ｔ ｅ ｒ ａｉ ｎ ｆ ｍ ｌ ｔ ｅ ｈｅ ｔｂｉｉ ｙ ｉ ｉ） ｅ ｎ ｗｉｈ Ｒｏ ｈ— ｕ ｗｉ ｔ ｂ ｌｔ ｒｔ ｒｏ ｎ ｍｐｒ ｖ ｓｔ ｅ ｃ ｖ ｆＭ ｉ ａ ｌｖ ｓａ ｌｔ ｒｔ ｒｏ ｔ ｕｔ Ｈ ｒ ｔ ｓａ ｉｉｙ ｃ ｉｅ ｎ ａ ｄ ｉ ｚ ｉ ｏ ｅ ｈ ｕｒ ｅｏ ｋｈ ｉｏ ｔｂｉ ｙ ｃ ｉｅ ｉｎ． ｉ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ ：ｓａ ｌｔ ｒｔｒｏ ｄ ｔｂｉ ｙ ｃ ｉｅ ｎ；ａ ｏ ｔｃ ｃ ｎｔｏ ｙ ｔ ｍ ； ｈａ ａ ｔｒｓｉ ｏ ｙ ｏ ｉｌ ｉ ｉ ｕｔｍａ ｉ ｏ ｒ ｌｓ ｓｅ ｃ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｐ ｌ ｎ ｍ ａ
Ｏ 前 言
在 分析 自动 控制 系统 的稳 定 性 问题 时 。往往 会 导 出一 个 特 征 多 项 式 方 程 （ ） ｄ ｄｏ ＋ ｚ ＋ 厂ｐ ＝ ０ ＋ ｕ ｄｖ ｐ
读 者 对负 定判 据 的每 一项应 用都 了然于 心 ，就能 自 信 地灵 活 应用 。古 尔维 茨判 据 的缺 点就是 多 阶行 列 式 计 算 麻烦 ： 劳斯 判 据 的缺 点 是 ： 如多 项 式 有缺 项 ，
计 算 就难 以为 继 ， 且正 根 （ 指所 有 位于 右半 平 面的 泛 复根 ） 的个 数 等于 系数 符 号变化 的次 数 ， 用 有些 不 应
便。 本文 提 出的连 分式 负定 判据 的充要 条件 是 ： 有 所
辗 转 相 除 得 到 连 分 式 的 系 数 大 于 零 ，如 果 系 数 有 负
第 ３ ４卷
２１ ０ ０年
第 ３期
１ ３
文 章 编 号 ： ０ ６ ３ ８ ２ ０） ３ ０ １ — ５ １ ０ — ４ Ｘ（ ０１ ０ — ０ ３ ０
对 特 征 多 项 式 方 程 各 种 稳 定 判 据 的优 缺 点 分 析
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……＋ ｐ ｄ＝ ， 中 Ｐ为 拉普 拉斯 算 子 。而研判 特 ｄ一 ＋ ０ 其 ｌ
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辗 转 相 除 得 到 连 分 式 的 系 数 大 于 零 ，如 果 系 数 有 负