密度泛函理论
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能级结构分析：
首先看出这个体系是金属、半导体还是绝缘体。判断的标准是看费米能级和导带（也即在高对称点附近近似成开口向上的抛物线形状的能带）是否相交，若相交，则为金属，否则为半导体或者绝缘体。对于本征半导体，还可以看出是直接能隙还是间接能隙（导带的最低点和价带的最高点在同一个k点处，则为直接能隙，否则为间接能隙）
1、密度泛函理论（DFT）
一种研究多电子体系的材料电子结构的量子力学方法。计算此凝聚态物质的电子性质，最基本的方法是对构成该体系的多粒子系统的薛定愕方程进行求解。
2.1.1伯恩-奥本海默(Born-Oppenheimer)近似
在原子的运动当中，原子核的质量比电子大出许多，而电子的运动速度则比原子核快上许多。因此伯恩与奥本海默提出，可以近似的认为在某一时刻，考虑原子核运动时并不考虑电子的分布与影响，而考虑电子运动的时候将原子核近似为是静止不动的，称为伯恩-奥本海默绝热近似。
晶体知识点
晶体的结构=结构基元+点阵
每个点阵点按在空间排列而成的平面，点阵的单位向量平移，就与另一个点阵点（即分子）完全重叠。 可以用三个互相不平行的单位向量a, b 和c描述点阵点在空间的平移，通过这个向量的操作，可以得到整个点阵。点阵中任意点可以用向量r表示。 r=n1a+n2b+n3c。其中n1, n2和n3为整数。晶体学上的坐标系均采用右手定则，即食指代表x轴，中指代表y轴，大拇指代表z轴。晶体结构的周期性所划分的六面体单位就叫晶胞（cell）. 三个单位向量的长度a,b和c以及它们之间的夹角α，β，γ就叫晶胞参数。α是b和c的夹角，β是a和c的夹角，γ是a和b的夹角。
3、态密度（Density of States，简称DOS）。
电荷密度图
电荷密度图是以图的形式出现在文章中，非常直观，因此对于一般的入门级研究人员来讲不会有任何的疑问。唯一需要注意的就是这种分析的种种衍生形式，比如差分电荷密图（deformation charge density）和二次差分图（difference charge density）等等，加自旋极化的工作还可能有自旋极化电荷密度图（spin-polarized charge density）。所谓“差分”是指原子组成体系（团簇）之后电荷的重新分布，“二次”是指同一个体系化学成分或者几何构型改变之后电荷的重新分布，因此通过这种差分图可以很直观地看出体系中个原子的成键情况。通过电荷聚集（accumulation）/损失（depletion）的具体空间分布，看成键的极性强弱；通过某格点附近的电荷分布形状判断成键的轨道（这个主要是对d轨道的分析）。
三方trigonala=b=c; α=β=γ≠90o
立方 cubic a=b=c; α=β=γ=90o
注 表中的≠表示不需要等于。
根据电子能带理论, 靠近导带底的杂质能级属于n型掺杂, 而靠近价带顶的杂质能级属于p型掺杂.
价带上的电子可以吸收光子跃迁到杂质能级上, 也可以使杂质能级上的电子吸收光子跃迁到导带上, 由于杂质能级处于禁带之中, 可以吸收长波光子, 这是TiO2吸收光谱红移的原因.
锐钛矿TiO2
锐钛矿相的禁带宽度3.14eV为只能被波长小于380nm的紫外部分光所激发,
如何分析第一原理的计算结果
用第一原理计算软件开展的工作，分析结果主要是从以下三个方面进行定性/定量的讨论：
1、电荷密度图（charge density）；
2、能带结构（Energy Band Structure）；
单层MoS2的晶格常数为a = b = 3.12Å，Mo与S之间形成共价键的键长为2.411Å，S-Mo-S之间形成的较大的键角为80.94°，较小的键角为46.21°,这些结果与H. S. S. Ramakrishna Matte等人的研究结果非常相近。
能级结构
能层：
1s2s2p 3s3p 4s3d 4p 5s4d 5p 6s4f 5d 6p7s5f 6d 7p
七个晶系
三斜 triclinic a≠b≠c;α≠β≠γ
单斜 monoclinic a≠b≠c;α=γ=90oβ≠90o
正交 orthorhombic a≠b≠c; α=β=γ=90o
四方 tetragonal a=b≠c; α=β=γ=90o
六方 hexagonal a=b≠c; α=β=9Байду номын сангаасo,γ=120o
图3.3(a)给出了单层MoS2的电子能带结构。可以看出，-12eV-14eV范围内的能带主要来自S原子的s电子的贡献。其它的价带则主要分布在-6eV到费米能级的范围内，其能带以Mo-d态及S-p态杂化的贡献为主。费米能级以上的能带主要为Mo-d态及S-p态杂化的反键态。从能带图中还可以看到，单层MoS2呈现为直接带隙，价带顶和导带底都位于K对称点上，带隙宽度为1.79eV。相较于体材料M0S2的间接带隙1.29eV[26],单层M0S2禁带宽度要更大一些。出现这一差别的原因是对于单层的MoS2不存在层与层之间的范德瓦尔兹力。图3.3(b)给出的是单层MoS2的电子分态密度图。单层MoS2的分态密度与体材料非常接近，只有带隙宽度及附近有所不同。
TiO2的晶型主要有金红石（Rutile）、锐钛矿（Anatase）和板钛矿（Brookite）三种。其中，金红石和锐钛矿结构的光催化性能较好。两者都是由相互连接的八面体组成的晶型结构，如图3.2，锐钛矿TiO2属于四方晶系，晶格常数为a b 0. 378nm,c 0.951nm。是一种N 型宽禁带光催化剂，其禁带宽度为3.2eV，价带顶与导带底分别由O的p轨道电子与Ti的d轨道电子贡献形成。与TiO2具有相同的氧化能力，其价带顶比水的氧化电势低约1.7eV；锐钛矿型TiO2的导带底略高于金红石相（大约为水的还原电势），具有比金红石相更高的还原能力。
2.1.2霍恩伯格-科恩(Hohenberg-Kohn)定理
定理一：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子密度函数的唯一泛函。即粒子数密度函数 是决定系统基态物理性质的一个基本变量，所有基态性质、能量、波函数等都由密度函数唯一确定。
定理二：在粒子数不变的情况下以粒子数密度 为变量对能量泛函 取极小值，可以得到基态的能量。对于给定的外势厂 ， 可以表示为：
首先看出这个体系是金属、半导体还是绝缘体。判断的标准是看费米能级和导带（也即在高对称点附近近似成开口向上的抛物线形状的能带）是否相交，若相交，则为金属，否则为半导体或者绝缘体。对于本征半导体，还可以看出是直接能隙还是间接能隙（导带的最低点和价带的最高点在同一个k点处，则为直接能隙，否则为间接能隙）
1、密度泛函理论（DFT）
一种研究多电子体系的材料电子结构的量子力学方法。计算此凝聚态物质的电子性质，最基本的方法是对构成该体系的多粒子系统的薛定愕方程进行求解。
2.1.1伯恩-奥本海默(Born-Oppenheimer)近似
在原子的运动当中，原子核的质量比电子大出许多，而电子的运动速度则比原子核快上许多。因此伯恩与奥本海默提出，可以近似的认为在某一时刻，考虑原子核运动时并不考虑电子的分布与影响，而考虑电子运动的时候将原子核近似为是静止不动的，称为伯恩-奥本海默绝热近似。
晶体知识点
晶体的结构=结构基元+点阵
每个点阵点按在空间排列而成的平面，点阵的单位向量平移，就与另一个点阵点（即分子）完全重叠。 可以用三个互相不平行的单位向量a, b 和c描述点阵点在空间的平移，通过这个向量的操作，可以得到整个点阵。点阵中任意点可以用向量r表示。 r=n1a+n2b+n3c。其中n1, n2和n3为整数。晶体学上的坐标系均采用右手定则，即食指代表x轴，中指代表y轴，大拇指代表z轴。晶体结构的周期性所划分的六面体单位就叫晶胞（cell）. 三个单位向量的长度a,b和c以及它们之间的夹角α，β，γ就叫晶胞参数。α是b和c的夹角，β是a和c的夹角，γ是a和b的夹角。
3、态密度（Density of States，简称DOS）。
电荷密度图
电荷密度图是以图的形式出现在文章中，非常直观，因此对于一般的入门级研究人员来讲不会有任何的疑问。唯一需要注意的就是这种分析的种种衍生形式，比如差分电荷密图（deformation charge density）和二次差分图（difference charge density）等等，加自旋极化的工作还可能有自旋极化电荷密度图（spin-polarized charge density）。所谓“差分”是指原子组成体系（团簇）之后电荷的重新分布，“二次”是指同一个体系化学成分或者几何构型改变之后电荷的重新分布，因此通过这种差分图可以很直观地看出体系中个原子的成键情况。通过电荷聚集（accumulation）/损失（depletion）的具体空间分布，看成键的极性强弱；通过某格点附近的电荷分布形状判断成键的轨道（这个主要是对d轨道的分析）。
三方trigonala=b=c; α=β=γ≠90o
立方 cubic a=b=c; α=β=γ=90o
注 表中的≠表示不需要等于。
根据电子能带理论, 靠近导带底的杂质能级属于n型掺杂, 而靠近价带顶的杂质能级属于p型掺杂.
价带上的电子可以吸收光子跃迁到杂质能级上, 也可以使杂质能级上的电子吸收光子跃迁到导带上, 由于杂质能级处于禁带之中, 可以吸收长波光子, 这是TiO2吸收光谱红移的原因.
锐钛矿TiO2
锐钛矿相的禁带宽度3.14eV为只能被波长小于380nm的紫外部分光所激发,
如何分析第一原理的计算结果
用第一原理计算软件开展的工作，分析结果主要是从以下三个方面进行定性/定量的讨论：
1、电荷密度图（charge density）；
2、能带结构（Energy Band Structure）；
单层MoS2的晶格常数为a = b = 3.12Å，Mo与S之间形成共价键的键长为2.411Å，S-Mo-S之间形成的较大的键角为80.94°，较小的键角为46.21°,这些结果与H. S. S. Ramakrishna Matte等人的研究结果非常相近。
能级结构
能层：
1s2s2p 3s3p 4s3d 4p 5s4d 5p 6s4f 5d 6p7s5f 6d 7p
七个晶系
三斜 triclinic a≠b≠c;α≠β≠γ
单斜 monoclinic a≠b≠c;α=γ=90oβ≠90o
正交 orthorhombic a≠b≠c; α=β=γ=90o
四方 tetragonal a=b≠c; α=β=γ=90o
六方 hexagonal a=b≠c; α=β=9Байду номын сангаасo,γ=120o
图3.3(a)给出了单层MoS2的电子能带结构。可以看出，-12eV-14eV范围内的能带主要来自S原子的s电子的贡献。其它的价带则主要分布在-6eV到费米能级的范围内，其能带以Mo-d态及S-p态杂化的贡献为主。费米能级以上的能带主要为Mo-d态及S-p态杂化的反键态。从能带图中还可以看到，单层MoS2呈现为直接带隙，价带顶和导带底都位于K对称点上，带隙宽度为1.79eV。相较于体材料M0S2的间接带隙1.29eV[26],单层M0S2禁带宽度要更大一些。出现这一差别的原因是对于单层的MoS2不存在层与层之间的范德瓦尔兹力。图3.3(b)给出的是单层MoS2的电子分态密度图。单层MoS2的分态密度与体材料非常接近，只有带隙宽度及附近有所不同。
TiO2的晶型主要有金红石（Rutile）、锐钛矿（Anatase）和板钛矿（Brookite）三种。其中，金红石和锐钛矿结构的光催化性能较好。两者都是由相互连接的八面体组成的晶型结构，如图3.2，锐钛矿TiO2属于四方晶系，晶格常数为a b 0. 378nm,c 0.951nm。是一种N 型宽禁带光催化剂，其禁带宽度为3.2eV，价带顶与导带底分别由O的p轨道电子与Ti的d轨道电子贡献形成。与TiO2具有相同的氧化能力，其价带顶比水的氧化电势低约1.7eV；锐钛矿型TiO2的导带底略高于金红石相（大约为水的还原电势），具有比金红石相更高的还原能力。
2.1.2霍恩伯格-科恩(Hohenberg-Kohn)定理
定理一：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子密度函数的唯一泛函。即粒子数密度函数 是决定系统基态物理性质的一个基本变量，所有基态性质、能量、波函数等都由密度函数唯一确定。
定理二：在粒子数不变的情况下以粒子数密度 为变量对能量泛函 取极小值，可以得到基态的能量。对于给定的外势厂 ， 可以表示为：