2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（每题5分）.

1．若i为虚数单位，则＝（）

A．B．C．D．

2．已知集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，11，14}，则A∩B的真子集个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个

3．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）之间的四组数据如表：

售价x4a 5.56

销售量y1211109用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程＝﹣1.4x+17.5，那么表中实数a的值为（）

A．4B．4.7C．4.6D．4.5

4．若过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0，则椭圆C的标准方程为（）

A．＝1B．＝1

C．＝1D．＝1

5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）

A．B．C．D．1﹣

6．已知等比数列{a n}中，a n a n+1＝4n，则公比q为（）

A．B．2C．±2D．±

7．函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）

A．B．

C．D．

8．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法“在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝≈0.618还可以表示成2sin18°，则＝（）

A．4B．﹣1C．2D．

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

A．6B．7C．D．

10．函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函

数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称

C．函数f（x）的图象关于（，0）对称

D．函数f（x）在[，]上递增

11．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD，AB＞CD，若双曲线E以A，B为焦点，且过C，D两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

12．若直角坐标平面内A，B两点满足：

①点A，B都在函数f（x）的图象上；

②点A，B关于原点对称，则称点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，

B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”．

已知函数f（x）＝．恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜e﹣2B．0＜a≤e﹣2C．0＜a＜e﹣1D．0＜a≤e﹣1

二、填空题（共4小题）.

13．已知向量||＝2，＝（3，﹣4），若•（+）＝，则向量与向量夹角的余弦值为

14．安排5个党员（含小吴）去3个不同小区（含M小区）做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为．

15．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在同一球面上，底面ABC是等腰直角三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于．16．将正整数排成如下数阵：

用a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2020，则i+j的值为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；

（2）若a+c＝6，b＝2，求△ABC的面积．

18．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

19．第五代移动通信技术（英语：5thgenerationmobilenetworks或5thgenerationwirelesssystems、5th﹣Generation，简称5G或5G技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G（LTE ﹣A、WiMax）、3G（UMTS、LTE）和2G（GSM）系统之后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如表频数分布表：

得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数4912131163

女性人数122211042

（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”

（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对

“5G”的了解程度”与“性别”有关？

不太了解比较了解合计男性

女性

合计

（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率，现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：K2＝（n＝a+b+c+d）．

临界值表：

P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；

（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN，问直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝lnx+．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；

（3）求证：当x＞0时，ln（x+1）＞．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．直角坐标系xOy中，曲线C：+＝1，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcosθ+2ρsinθ＝5．

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；

（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．