数学建模：人走路问题

走路问题

问题：人在行走时，步长多大最省力。

一、问题分析：

1.所谓省力是指走步过程中做功最少；

2.走步时步子过长或过短都不省力，必有一个合适的步长，使得做功最少。做功大小是步长的函数。

3.提高人体重心所需的势能，以及人两腿前后运动所需的动能应为主要因素。

4.相关的因素：穿着的多少，是否负重，鞋子是否轻便，地面是否平坦、干燥。

二、模型假设：

1.人在行走时所做的功，由两部分组成，提高人体重心的势能，两条腿运动的动能。

2.人的行走可以视为腿绕腰的转动。

3.运动与所穿戴情况无关，地面相对平坦、干燥。

4.设定参量：

M------------人的体重；

m------------人的腿重；

l--------------人的腿长；

v-------------行走速度；

x-------------步长；

n-------------单位时间内行走的步数；

三、建立模型

1. 人体重心提高所需的势能，令人体重心提高的幅度为h 则有:

222

1241()sin 1(cos l

x

l l l l l l h --=--=-=θθ由动能与势能的关系可知，单位时间 内重心抬高h 所需的势能为：

])41([2

1

2

2l

x l l Mg Mgh W --==此式子即为走一步所产生的是势能，则在单位时间内走了n 步有：

])41([2

1

2

2l

x l l nMg nMgh W --== 2.双腿运动所需要的动能：

由动能定理得：n I E 2

2

1ω=（I 表示转动惯量，l v =ω为角速度，

n 是单位时间人走n 步所消耗的动能）3.2

2ml dr r l m I l ==⎰

则有6212

2nmv n I E ==ω,

nx v = 则人在走路时所作的总功:x mv l x x vMgl E W P 6])41(1[3

2

12

2+-=+=

计算结果： )12(622

2mv Mgl m mv

Mgl l x ++=

四、模型求解、分析、修改

本题求的是P 的最小值，即0=dx

dp 或0=、

P ，可求出x 的值。

)

12(622

2

mv Mgl m mv

Mgl l

x ++=

因为参数较多，计算麻烦，最直接的“罪犯”是

2

1

22)41(l x -。

如果我们把它用泰勒展开式展开就有)(8132

2x o l

x +-，只取前两项2281l x -，就有x l

Mgv

W 8≈。 在求动能中如果腿的重量全部集中在脚上，则消耗的动能可

近似为2

2

1nmv E =，nx v =，m M ≈，从而

x mv x l Mgv P 283+=，再令0=dx

dp ，有Mg lmv x 22

4=，nx v =。所以l

g

n 42

=。定义的变量全部消掉，这是理想过程。只与人的腿

长有关，人的腿长大约在85cm-----130cm 之间，则n=1.4--1.7，即人在2秒内走走三步是最省力的。 结论是合乎常理的！！！！