数学分析试题(一)答案及评分标准 - 陕西师范大学

数学分析试题（一）答案及评分标准
一、填空（每题3分）
1． ]
10,0(2．2)()(x f x f −+，2
)()(x f x f −− 3．5
2 4．，
1=a 1−=b 5．0
二、求极限（每题5分）
1．=++++++∞→n n 313131212
121222L L lim )(lim )(lim n n n n 3
1313121212122++++++∞→∞→L L ……………………………(1分) =3
1
13113
12112112
1−−−−∞→∞→))((lim ))((lim n n n n ……………………………………………………………(2分) 2=……………………………………………………………………………(2分) 2．))()((lim 22221111n n n
n ++++∞→L 2
2221211110n n n n n +≤++++≤)()(L ……………………………………………(2分) 利用夹逼原则，…………………………………………………………………(1分) 可求得021111222=++++∞→))
()((lim n n n n L ．……………………………………(2分) 3．=−−++∞→9020
70155863)()
()(lim x x x x 90
90207090155863()()(lim x
x x x x x −−++∞→………………………(2分)
=9020
70155863)()()(lim x
x x x −−++∞→…………………………………………………..(1分) 9020
705
83⋅=…………………………………………………………………..(2分) 4．x x x sin )(tan lim 0→= ………………………………………………..(1分) )ln(tan sin lim x x x e 0
→x x x x e tan ln sin lim lim 0
0→→=x x x x e sin tan ln lim lim 100→→=………………………………………………(1分)
x x x e sin sec lim 20→−=…………………………………………………………………(2分) 10==e ………………………………………………………………………(1分)
5．))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 2
2220L ∞→→ n n n x x x x x x x x x x 2
2222222212sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin L L +==== …………………………………………………………………………………..（2分）
=∞→)cos cos cos (cos lim n n x x x x 2222L 1212
2+∞→⋅n n n x x sin sin lim …………………………….(1分) 1212
2+∞→⋅n n n x x sin sin lim =x x x x
n n n 2222sin sin lim ⋅∞→x x 22sin =………………………………...(1分) ))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 2
2220L ∞→→=1220=→x x x sin lim …………………………(1分) 6．)sin (lim x x x 22011−→=)sin sin (lim x
x x x x 22220−→………………………………………..(1分) =)sin sin (lim x
x x x x 22220−→=x x x x x x x 2222220sin sin sin lim +−→……………………………….(1分) x
x x x x x x 22222220cos sin sin cos lim
++−=→……………………………………………(1分) x
x x x x x x 2226232220sin cos sin sin lim −+−=→…………………………………………(1分) 31−=．…………………………………………………………………………(1分) 三、计算（每题5分）
1．22x
x x x x x y tan sec )tan (−=′=′ 2．)ln )11(ln()1111(ln 2′−−−=′−++−−+=′x x x x x
x y ………通过分母有理化先将化
简………………………………………………………………………………..(2分) y x
x x x x x 11111
11222−−⋅−−=′−−−)ln )(ln(………………………………(2分) 211
1111x x x x x
x y −=′−++−−+=′)(ln ……………………………………………(1分)
3．……………………………………………………...(2分)
)()(ln sin sin ′=′=′x x x e x y )ln (sin )(sin ln sin ′⋅=′x x e e xinx x x …………………………………………………..(1分) )sin ln (cos )ln (sin sin sin x
x x x x x x e y x xinx +=′⋅=′………………………………..(2分) 4．，
则……………………………………………...(1分) 31x x f =−)(31)()(+=x x f 213()(+=′x x f )…………………………………………………………………(2分) 2)2(3)1(+=+′x x f ………………………………………………………………(1分) 231x x f =−′)(…………………………………………………………………..(1分)
5．，则⎪⎩⎪⎨⎧==t
a y t a x 33sin cos t t t a t t a dx dy tan sin cos cos sin −=−=2233……………………………(2分) ⎪⎩⎪⎨⎧−==x dx
dy t a x tan cos 3，则t t a t t a x dx y d sin cos sin cos sec 42222313=−−=…………………...(3分) 6．设，由于x x x y −=ln x x x x y ln )ln (=′−=′………………………………(3分)
xdx dy ln =……………………………………………………………………(2分)
四、由于∞=−+−→13221x x x x ))((lim
，1=x 是垂直渐近线……………………(1分) 21322=−+−∞→x
x x x x )())((lim ……………………………………………………….(2分)
=−−+−∞→)))(((lim x x x x x 21
32241124=−−∞→x x x lim ……………………………….(2分) 因此也具有斜渐近线42+=x y ．……………………………………..(1分) 五、x x x f 2ln )(=，由0222=−=′x
x x x f ln ln )(，可解出1=x ，……..(2分) 2e 当时，；当时，10<<x 0<′)(x f 21e x <<0>′)(x f ；当时， x e <20<′)(x f ……………………………………………………………………………………(2分) 所以是的极小值，1=x f 01=)(f ；是的极大值，. 2e x =f 224−=e e f )(…………………………………………………………………………………….(2分) 六、证：令⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0
120x x x x x f ,],(,sin )(π…………………………………………(1分) f 在],[20π上连续．当),(20π∈x 时，022<−=−=′x
x x x x x x x x f )tan (cos sin cos )(， 所以在f ],[20π
上严格递减，………………………………………………..(3分) 因此),(20π
∈x 时， 1022=<<=)()()(f x f f π
π 即
x x x
<<sin π2．…………………………….(2分)
七、不妨假设在上不恒正也不恒负，…………………………..(1分) f ],[b a 即存在，满足],[,b a x x ∈′′′0>′)(x f ，0<′′)(x f ，…………………………(2分) 由连续函数的介值定理，……………………………………………………(2分) 则存在),(x x x ′′′∈0，使得00=)(x f ………………………………………….(1分) 这与已知矛盾．……………………………………………………………….(1分)。