【高考复习】2018届高三数学考前小练习：第23练 定积分与微积分基本定理(含答案)

一、选择题

1．(2016·安徽示范高中联考)⎠⎛1

e ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2

－2 B ．e －1 C ．e 2

D ．e ＋1

2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1

2g B ．g C.32

g D ．2g

3．(2016·江西师大附中期末)若⎠

⎛1

2(x －a )d x ＝∫π

40cos 2x d x ，则a 等于( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．4

4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2

－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )

A .⎠⎛0

2|x 2

－1|d x

B.⎪⎪⎪⎪

⎠⎛02(x 2

－1)d x

C.⎠⎛0

2(x 2

－1)d x

D.⎠⎛01(x 2

－1)d x ＋⎠⎛1

2(1－x 2

)d x

5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3

围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1

D ．2

6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分⎠⎛0

1x (2－x )d x 的值为( )

A.π4

B.

π2

C ．π

D ．2π

7．(2016·山西四校联考)定积分⎠⎛-2

2|x 2

－2x |d x 等于( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

8．若函数f (x )，g (x )满足⎠

⎛1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组

正交函数．给出三组函数：

①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2

.

其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

二、填空题

9．(2016·江西高安二中段考)已知⎠

⎛a －a(sin x ＋3x 2

)d x ＝16，则正实数a 的值为________．

10．(2017·德州月考)如图，已知点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2

上，若阴影

部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________.

11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2

＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)．

12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2

，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1

2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为

________. 答案精析

1．C [⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x

＋2x d x ＝(ln x ＋x 2)⎪⎪

⎪

e

1

＝lne －ln 1＋e 2

－1＝e 2

.]

2．C [由题意知电视塔高为⎠

⎛1

2gtdt ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝3

2g .]

3．B [∵⎠⎛1

2

(x －a )d x ＝

π

4

⎰

cos2x d x ，

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax ⎪⎪⎪

2

1

＝1

2

sin 2x ⎪⎪⎪⎪

π

4

，

∴32－a ＝1

2

，解得a ＝1.故选B.] 4．A [由曲线y ＝|x 2

－1|的对称性，知所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等， 即⎠⎛0

2|x 2

－1|d x

.]

5．B [∵曲线y ＝x 3

和曲线y ＝x 的交点为A (1,1)、原点O 和B (－1，－1)， ∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积

S ＝2⎠⎛0

1

(x －x 3

)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪

1

0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＝1

2

.故选

B.]

6．A [∵y ＝x (2－x )，∴(x －1)2＋y 2

＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分⎠⎛0

1x (2－x )d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，

∴定积分⎠

⎛0

1x (2－x )d x ＝π

4，故选A.]

7．D [|x 2

－2x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

－2x ，－2≤x <0，－x 2

＋2x ，0≤x ≤2，

⎠⎛-22

|x 2

－2x |d x ＝⎠⎛-20(x 2

－2x )d x ＋⎠⎛0

2

(－x 2

＋2x )d x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪

－2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪

⎪

2

＝8.]

8．C [①⎠⎛-1

1f (x )g (x )d x ＝⎠⎛-1

1sin 12x cos 1

2x d x

＝12⎠⎛-1

1sin x d x ＝(－12cos x )⎪⎪⎪

1

－1

＝0，

故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；

②⎠⎛-11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛-11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛-1

1(x 2

－1)d x ＝(x 3

3－x )⎪⎪

⎪

1

－1＝－4

3

≠0，故第②组

不是区间[－1,1]上的正交函数；

③⎠⎛-1

1f (x )g (x )d x ＝⎠⎛-1

1x ·x 2

d x ＝⎠

⎛-1

1x 3

d x ＝x 44⎪⎪

⎪

1

－1

＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函

数．

综上，满足条件的共有两组．] 9．2

解析 根据题意可得⎠⎛-a

a (sin x ＋3x 2

)d x ＝(－cos x ＋x 3

)⎪⎪

⎪

a

－a ＝2a 3

＝16，

解得a ＝2. 10.

6

4

解析 ∵点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2

上，∴y 0＝x 2

0， 则△OAP 的面积S ＝12|OA ||x 0|＝12×14x 0＝1

8x 0，

阴影部分的面积为