斜弯曲组合变形

试算： 先不考虑轴力FN，仅考虑弯矩M设计截面
M max [ ] Wz
M max 45 10 3 6 3 Wz 281 10 m 6 [ ] 160 10
281cm
查型钢表：
Wz = 309cm3
3
22a 工字钢
A=42cm2
校核22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时 存在时的强度条件。
三、斜弯曲 ——两相互垂直平面内弯曲的组合
平面弯曲的两大特征：
1、弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2、中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
z
P
y
当载荷作用面不在梁的主形心惯性平面内时， 梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯曲。 此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直。
5
三、其他组合变形 • 矩形桁条（屋架） • 偏心荷载作用下的柱子 • 烟囱受风和自重作用，属于压弯构件
Mz FN | || | A Wz
Mz FN | || | A Wz
中性轴(零应力线)发生平移
危险点的位置很容易确 定，在截面的最上缘或最下 缘，由于危险点的应力状态 为简单应力状态(单向拉伸或 单向压缩) M z ,max FN max A Wz
强度条件

z
y

max≤ [ ]
危险点应力状态
y
y
D1 My Mz • C D2 y
z
单向应力状态
(D1是单向拉伸， D2是单向压缩)
强度条件： max≤ [ ]
12
D1
D1
z
Mz
z

D2
My
D2

y
点D1(y1, z1) max 显然
y
My Mz y1 z1 [ ] Iz Iy
Iz W z , y1
§6. 6
斜弯曲与弯拉组合
一、组合变形
四种基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲
P P
x c y z
M
x
c
y
z c x y
z
1
P1 P2
x c y
P1
z
P2
x
c
z
F
y
组合变形： 由两种或两种以上基本变形组合的变形。
2
二、叠加原理
分析组合变形时，可以先将外力进行简化或 分解，转化为几组静力等效的载荷，其中每一组载 荷对应着一种基本变形（拉压、扭转或弯曲）。
FN对应的应力 FN A Mz对应的应力
Mz y Iz
y

z

Mz FN 叠加 y A Iz
Mz FN y A Iz


叠加后，横截面上正应力分布规律只可能 为以下三种情况：
Mz FN | || | A Wz
z
M
y
中性轴
d: a点到中性轴的矩离。
利用中性轴确定截面危险点
作与中性轴平行的
D1
Mz My

直线与截面相切的点(D1 ，
D2)即为最大拉应力和最 z
大压应力点。将这些点的
坐标(y, z)代入应力公式， 即可求得最大正应力。
D2
荷载作用面
中性轴
y
21
例1 图示悬臂梁由24b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。载荷和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的正应力； (2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
y

My Iy z
截面上任意C点应力
My Mz yC zC Iz Iy
Iz
D1 My Mz • C D2 y
z
截面的危险点在哪？
11
4.强度计算
总弯矩 M=F(lx)
Mz
D1
z
D2
D1
z

D2
My
危险截面
x=0

危险点 D1最大拉应力， D2最大压应力 (数值相等)
C C P=2kN y
3m
z o
=30
z
1m
y
22
解： （1）查表（24b工字钢）：
I z 5283.96 cm
4
b C
.
t z y h
W z 422.72 cm
3
I y 309.297 cm 4
W y 52.423 cm 3
h 250mm ,
t 13mm , b 118mm
注意：当[c]与[t]不相等时，需分别计算出c,max 和t,max再校核。
例2
如图所示构架。已知材料许用应力为
[ ]=160MPa。试为AB梁设计一工字形截面。
3m A
1m
P=45kN
30
B
D
C
解： AB梁受力分 析 由AB梁的平衡方程易求得 NBC=120kN YA=15kN XA=104kN 作内力图 Mz P XA YA
250 h yc t 13 112 mm 2 2
b 118 zc 59 mm 2 2
23
b
(2) 外力分解
C
.
t z y
h
Py P cos 2 cos 30 1.732kN
Pz P sin 2 sin 30 1kN
中性轴 荷载作用面 y
z x
Fz F y F
| f | | f y |2 | f z |2
fz f

y

z
fy
中性轴
fz Fz I z I z tg tg 3 Fy l fy Fy I y I y 3EI z
Fz l 3 3EI y
y
Iz tg tg Iy
当Iz Iy时， 即位移不再发生在荷载作用面。 因而不属于平面弯曲。
Iz tg tg Iy
Iz tg tg Iy
Problem:
1、圆截面梁或正方形截面 梁会不会发生斜弯曲？
2、下图圆截面的弯曲应力怎 么计算？ M
z
c
y
M
z
c
c z y
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
14
M y Iz z0 中性轴方程 y 0 Mz Iy
M z P cos ( l x ) M cos M y P sin ( l x ) M sin
可见中性轴为一条过截 面形心的直线，它与z轴 的夹角为：
y0 M y I z I z tg tg z0 M z I y I y
1.外力分解
Py=Psin y为对称轴，引起平面弯曲
Px=Pcos
引起轴向拉伸
Py
P
· x
y
· l
·
·

Px
x
2.内力分析
FN=Px M z =P y (l x) 只有一个方向 的弯矩，就用平面 弯曲的弯矩符号规 定。剪力的影响忽 略不计。 FN l
Py Px Px
+
Mz
+
Pyl
3.应力及强度条件
(上拉，下压) (后拉，前压)
26
显然，最大拉应力发生在固端截面上的A点。 最大压应力发生在固端截面上的B点。
M z max 27.70kN m
b
(上拉，下压) My
M y max 3kN m
B
Mz
A t
z h
y
(后拉，前压)
27
L max
My Mz A yA zA Iz Iy Mz M y 27.70 10 3 3 10 3 6 W z W y 422.7 10 52.42 10 6
q
(3) 求C点所在截面弯矩
1m C
c z
z x
1 2 3m P M Py (3 1) q(3 1) y 2 1 1.732 2 5 22 13.46 kN m (上拉，下压) 2 c (后拉，前压) M y Pz (3 1) 1 2 2kN m
30
B

NBC 45kN · m 104kN
FN
+
显然危险截面为B截面左侧
( FN )
( M )
危险点为B截面最上缘
3m
1m P=45kN 30 B
由强度条件：
A
max
M max FN [ ] Wz A
C
由于型钢的Wz, A无一定的函数关系，一个不等式 不可能确定两个未知量，因此采用试算的方法来求解。
25
q
z
1m C
(4)求Lmax , Cmax
3m
P
y
ห้องสมุดไป่ตู้

x
在固定端有最大弯矩，因而Lmax , Cmax发生在该面上。
M z max 1 2 1 Py l ql 1.732 3 5 32 2 2
27.70kN m
M y max Pz l 1 3 3kN m
max
M max FN 45 10 3 104 10 3 170 10 6 Pa Wz A 309 10 6 42 10 4
170 MPa [ ] 160 MPa
强度不够，选大一号 22b Wz = 325cm3 A=46.4cm2
max
可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向
Vy= Fy =Fcos
Vz =Fz=Fsin
9
组合变形时，通常忽略弯曲切应力。
应力
Mz:
Mz y Iz
D2
D1
z
Mz

y My:

My Iy
z
D2
D1
z

My
y
10
3.应力叠加
M
D1
z
D2
D1
z

My
z 由于两种基本变形 D2 横截面上只有正应力， y 于是“加”成了代数 Mz 和。 y
123 106 Pa
123 MPa
b A t z h y
28
Mz
C max 123 MPa
B
My
B
四、 弯拉（压）组合变形
轴向拉压
P1
x
P2
平面弯曲
x
弯拉（压）组合的例子1
M FN
螺旋夹紧器
弯拉（压）组合的例子2
简易起重机的横梁
烟囱：自重引起轴向压缩 水平风力引起弯曲。
弯拉（压）组合的三种情况
P2
横向力和轴向力同时存 在； 力作用于截面形心，但 作用线与x轴成一定夹 角；
P1 x
· · · · Py

P
· · · ·
Px x
P
力作用线与轴线平行， 但不通过截面形心；
· · · ·
x
在这些情况下，杆将产生弯曲与轴向拉压 的组合变形，简称弯拉(压)组合变形。
Iy z1
Wy
Mz M y [ ] 强度条件： Wz W y
13
5.中性轴(零应力线)
不失一般性，令第 一象限的点的应力为零 即可得到中性轴方程.
Mz
My
My Mz y0 z0 0 Iz Iy
z
c(y, z) y
y0, z0为中性轴上的点 或写成
M y Iz y0 z0 Mz Iy
6
z x
Fz F y
x
L
F
y
1.外力分解 (使每个力单独作用时，仅发 生基本变形)
Fy=F cos Fz=F sin
7
2.分别计算各基本变形的内力、应力
z x
Fz F y
x
l
F
y
内力：x截面
M=F(lx) 总弯矩
V=F
8
z x Pz P y x l P y
z
My Mz
y
M z Fy l x F cos l x M cos (上拉、下压) M y Fz l x F sin l x M sin (后拉、前压)
M max FN Wz A
45 10 3 104 10 3 160 .8MPa 6 4 325 10 46.4 10
max [ ] 160 .8 160 0.5% 5% [ ] 160
可认为安全
可取22b工字钢
课后练习
有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土 墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水 用的小坝。试求： （1）当水位达到墙顶时墙底处的 最大拉应力和最大压应力（设混凝土 的密度为 ）； （2）如果要求混凝土中没有拉应力 ，试问最大许可水深h为多大？
24
(4) 求 c q
z
1m C C
b
.
My
Mz
t z h
3m
C
P
y

x
y
My Mz yc zc Iz Iy
13.46 103 2 103 0.112 0.059 5 6 5.284 10 3.093 10
9.62 106 Pa 9.62 MPa
P1
c x z
P1
c y
z
x
c y
z
P2
P2
x
y
3
P1
c x z
P1 P2
x c
y z x c y
z
P2
y
这样，可以分别计算每一种基本变形各自引起 的内力、应力、应变和位移，然后把所得的结果进 行叠加，便是构件在组合变形下的内力、应力、应 变和位移。这就是叠加原理。 条件： 要求内力、应力、应变和位移等与外力呈线性关系 4
Mz My

中性轴
荷载作用面 y
z
当Iz Iy时， 即中性轴不再垂直于荷载 作用面。
15
6.变形
Fz F y F Fy引起的自由端的挠度 Py l 3 fy 3 EI z
z x
Fy=F cos
y
Fz=F sin
fz
fy

z
Fz引起的自由端的挠度
Pz l 3 fz 3 EI y