斜弯曲组合变形
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8组合变形2
max M y max 6 M z max 6 M y max max 2 Wz Wy bh bh2
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
材料力学09组合变形_1斜弯曲_土
解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
Mz 1.5 kN m
M y 2 kN m
1.5 kN m Mz
2 kN m
My
x x
9
抗弯截面系数
Wz
bh2 6
46875 mm3
Wy
hb2 6
31250
mm3
1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题 基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一
种基本变形彼此独立、互不影响。 基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别
计算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加， 确定构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状 态；最终建立组合变形杆件的强度条件。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大。
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为 x
Mz Fy l / 4 29 kN m
max
M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
8
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
材料力学第八章斜弯曲与组合变形
满足强度条件，最后选用立柱直径 d=125mm 。
Fuzhou University
材料力学课件
二、偏心拉伸（压缩）
e F F F
F Fe
e
Fe F
F
轴向力F 偏心力F 附加力偶 Fe
F Fe y A Iz
Fuzhou University
材料力学课件
n x n C
y e
z
e
y
F
F
y
中性轴的位置： 令 得到 e e
FAx A Fx B FAy Q
弯曲和压缩
Fuzhou University
材料力学课件
e F
e
F Fe Fe
F F
弯曲和压缩
弯曲和拉伸
Fuzhou University
材料力学课件
Fr
A
F
B
C
Me
l
F
z A
y
MB F
Fr
C x
a
Me
弯扭组合
Fuzhou University
材料力学课件
两个平面内的弯曲组合 对于组合变形下的构件，在线弹性范围内且小变形的 条件下，可应用叠加原理将各基本变形下的内力、应 力或位移进行叠加
作用在梁上的载荷通过横截面的形心，但偏离纵向对称面 或梁的两个纵向对称面内同时作用有载荷，这种弯曲称为 双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲）。
F
Fuzhou University
材料力学课件
Fz
z x
Fy
y
F
将F 沿形心轴分解
Fy F cos
z轴作为中性轴
x-y平面内的对称弯曲 x-z平面内的对称弯曲
9.组合变形
2 y
2 z
设挠度 的方向与Y轴间的夹角 ，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只 有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯 曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲 （2）偏心压缩 （3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。 计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2
将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n
代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2
第11章 组合变形
120 MPa , 校核梁的强度。
z
z
30kN
y
A
C
D
x
h
B
30kN
b
y 100mm 100mm 100mm
A
B
C
Dx
+
My
1kNm 2kNm
Mz
1kNm
AB
2kNm
C
x D
解:(1)画内力图，确定 危险截面:
M By 2kNm, M Bz 1kNm
M Cy 1kNm, M Cz 2kNm
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所
示择D，工A字B梁为型工号字。A3钢梁，许用X应A Y力A [σ]＝10T0MPa，Ty 试选
A
Tx C
B
F
A
30° C B
FN
2m
1m F
_ 52kN
20kN·m
解：(1)选工字梁为研究对
象受力如图所示：
M
-
MA 0 : T 2sin 30 3F 0
F=1400kN ， 机 架 用 铸 铁 作 成 ， 许 用
拉 应 力 [σt]=35MPa ， 许 用 压 应 力 [σc]=140MPa， 试 校核该 压力机立 柱部分的强度。立柱截面的几何性质
如 下 ： yc=200mm ， h=700mm ， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 解：由图可见，载荷F 偏离立柱轴线，
h 2b 118.8mm
⑤、校核刚度
wmax
w2 y m ax
w2 z max
5L4 384E
(
qy Iz
)2
(
qz Iy
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
任务十九斜弯曲的计算
的。
任务十九：斜弯曲的计算
一、组合变形的概念
任务十九：斜弯曲的计算 二、斜弯曲变形 对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的 纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平 面内，这种变形称为平面弯曲。 如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁 的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力 所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
任务十九：斜弯曲的计算
斜弯曲：两个相互正交的形心主惯性轴平面内平面 弯曲的组合。 1、斜弯曲的研究方法 ：
（1）将外力沿坐标轴y和Z轴分解
Py Psin Pz Pcos
（2）内力计算 ：
M z Py ( Lx) P( Lx)sin M sin
M y M 后将计算结果叠加起来。
任务十九：斜弯曲的计算 4、强度条件及强度计算
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为
任务十九：斜弯曲的计算
26 34 【例1】 图示檩条简支在屋架上，其跨度为3.6m。承受屋面传来的均布 荷载 q=1kN／m。屋面的倾角檩条为矩形截面，b=90mm，h=140mm， 材料的许用应力 10M Pa 试校核檩条强度。
由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为组合 变形。
任务十九：斜弯曲的计算 一、 组合变形的概念
P
R
P
z
M
y P 图1
x
组合变形：由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为
组合变形。
任务十九：斜弯曲的计算
一、 组合变形的概念 在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受 力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由 两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为 组合变形。 例如，图2(a)所示的屋架檩条；图2(b)所示的空心 墩；图2(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合 变形。
任务十九：斜弯曲的计算
一、组合变形的概念
任务十九：斜弯曲的计算 二、斜弯曲变形 对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的 纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平 面内，这种变形称为平面弯曲。 如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁 的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力 所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
任务十九：斜弯曲的计算
斜弯曲：两个相互正交的形心主惯性轴平面内平面 弯曲的组合。 1、斜弯曲的研究方法 ：
（1）将外力沿坐标轴y和Z轴分解
Py Psin Pz Pcos
（2）内力计算 ：
M z Py ( Lx) P( Lx)sin M sin
M y M 后将计算结果叠加起来。
任务十九：斜弯曲的计算 4、强度条件及强度计算
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为
任务十九：斜弯曲的计算
26 34 【例1】 图示檩条简支在屋架上，其跨度为3.6m。承受屋面传来的均布 荷载 q=1kN／m。屋面的倾角檩条为矩形截面，b=90mm，h=140mm， 材料的许用应力 10M Pa 试校核檩条强度。
由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为组合 变形。
任务十九：斜弯曲的计算 一、 组合变形的概念
P
R
P
z
M
y P 图1
x
组合变形：由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为
组合变形。
任务十九：斜弯曲的计算
一、 组合变形的概念 在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受 力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由 两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为 组合变形。 例如，图2(a)所示的屋架檩条；图2(b)所示的空心 墩；图2(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合 变形。
斜弯曲组合变形[教学学习]
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Mz
z
My
坐标(y, z)代入应力公式，
D2
中性轴
即可求得最大正应力。
荷载作用面
y
学习课堂
21
例1 图示悬臂梁由24b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。载荷和几何尺寸如图所示，试求：
(1) 求梁上C点的正应力； (2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。
q q=5kN/m
C
1m 3m
C z
=30
Vz =Fz=Fsin
组合变形时，通常学忽习课略堂 弯曲切应力。
9
应力
Mz:
Mz y
Iz
My:
M y z
Iy
学习课堂
D1
z
Mz
D2
y
D1
z
D2 My
y
10
3.应力叠加
D1
D1
z
z
由于两种基本变形 横截面上只有正应力， 于是“加”成了代数
Mz
D2
y
和。 截面上任意C点应力
Mz y
学习课堂
5
三、其他组合变形
• 矩形桁条（屋架） • 偏心荷载作用下的柱子 • 烟囱受风和自重作用，属于压弯构件
学习课堂
6
z x
Fz Fy
x
LF y
1.外力分解 (使每个力单独作用时，仅发生 基本变形)
Fy=F cos
Fz=F sin
学习课堂
7
2.分别计算各基本变形的内力、应力
z x
Fz Fy
强度条件： max≤ [ ]
学习课堂
D1
z
D2
My
y
D1
z
My Mz •C
sj12
一、计算方法：
二、注意事项：
1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受 拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并 分别按拉伸、压缩进行强度计算。 2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力 在横截面上引起附加弯矩DM=Py亦不能忽略，这时叠加法不能使用， 应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。
Fl F W A Fl F W A
=
+
s c ,max
组合变形\拉（压）弯组合
例2 图示起重机的最大吊重F=12 kN，材料许用应力为 [s]=100 MPa， AB梁选用16号工字钢，试校核AB梁的强度。 FyA Fc FxA B A C F M 1.5 m A 2m C B 1m F FN 12 kN· m _ 24 kN
组合变形\扭转与弯曲的组合 8.5 扭转与弯曲的组合变形
1.外力向形心简化(建立计算模型)
2.作弯矩、扭矩图(找危险截面)
由弯矩图知：A截面弯矩绝对值|M|＝Fl最大；全梁扭矩T=Fa处 处相同，故A截面为危险截面。
3.危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最 大，故K1、K2点均为危险点。
Fy
z xy平面内的平面弯曲
Fy
y
组合变形\斜弯曲
已知：矩形截面梁截面宽度为b、高度为h、长度为l， 作用外载荷F，与主惯轴y成夹角为j。
求：根部截面上的最大正应力
Fz z
x z
j
F
y F
j
Fy
y
Fz F sin j , Fy F cosj
组合变y
My
s x (M y )
F
j压
y
.斜弯曲
三、 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称内
变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
如果我们将载荷沿两主形心轴 分解，此时梁在两个分载荷作 用下，分别在横向对称平面 ( XOZ 平面）和竖向对称平面
（ xoy 平面）内发生平面弯曲，
这类梁的弯曲变形称为斜弯曲， 它是两个互相垂直方向的平面 弯曲的组合。
D1 φ
面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生
F
平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正多边形
等的截面，无论力作用在哪个纵向平面内，梁只发生平面弯曲。
D2
Fy y
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周 边作中性轴的切线。
M cos
Iz
y
M sin
Iy
z
危险点的确定：对于具有凸角又有两条对称轴
的截面（矩形、工字形）最大拉压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max
My
max
Mz
max
max
Wy
Wz
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置，离中性轴 最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。
斜弯曲
教学目的：
1、了解组合变形的概念 2、了解解决组合变形的方法步骤 3、掌握斜弯曲的概念及计算
重点
1、组合变形的概念及解决方法； 2、斜弯曲的概念； 3、斜弯曲的计算。
难点
斜弯曲的计算。
四种基本变形计算：
变形 轴向拉压 外力 轴向力
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
11-1 斜弯曲
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
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Mz FN | || | A Wz
Mz FN | || | A Wz
中性轴(零应力线)发生平移
危险点的位置很容易确 定，在截面的最上缘或最下 缘，由于危险点的应力状态 为简单应力状态(单向拉伸或 单向压缩) M z ,max FN max A Wz
强度条件
z
y
max≤ [ ]
q
(3) 求C点所在截面弯矩
1m C
c z
z x
1 2 3m P M Py (3 1) q(3 1) y 2 1 1.732 2 5 22 13.46 kN m (上拉，下压) 2 c (后拉，前压) M y Pz (3 1) 1 2 2kN m
可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向
Vy= Fy =Fcos
Vz =Fz=Fsin
9
组合变形时，通常忽略弯曲切应力。
应力
Mz:
Mz y Iz
D2
D1
z
Mz
y My:
My Iy
z
D2
D1
z
My
y
10
3.应力叠加
M
D1
z
D2
D1
z
My
z 由于两种基本变形 D2 横截面上只有正应力， y 于是“加”成了代数 Mz 和。 y
24
(4) 求 c q
z
1m C C
b
.
My
Mz
t z h
3m
C
P
y
x
y
My Mz yc zc Iz Iy
13.46 103 2 103 0.112 0.059 5 6 5.284 10 3.093 10
9.62 106 Pa 9.62 MPa
6
z x
Fz F y
x
L
F
y
1.外力分解 (使每个力单独作用时，仅发 生基本变形)
Fy=F cos Fz=F sin
7
2.分别计算各基本变形的内力、应力
z x
Fz F y
x
l
F
y
内力：x截面
M=F(lx) 总弯矩
V=F
8
z x Pz P y x l P y
z
My Mz
y
M z Fy l x F cos l x M cos (上拉、下压) M y Fz l x F sin l x M sin (后拉、前压)
三、斜弯曲 ——两相互垂直平面内弯曲的组合
平面弯曲的两大特征：
1、弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2、中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
z
P
y
当载荷作用面不在梁的主形心惯性平面内时， 梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯曲。 此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直。
5
三、其他组合变形 • 矩形桁条（屋架） • 偏心荷载作用下的柱子 • 烟囱受风和自重作用，属于压弯构件
C C P=2kN y
3m
z o
=30
z
1m
y
22
解： （1）查表（24b工字钢）：
I z 5283.96 cm
4
b C
.
t z y h
W z 422.72 cm
3
I y 309.297 cm 4
W y 52.423 cm 3
h 250mm ,
t 13mm , b 118mm
123 106 Pa
123 MPa
b A t z h y
28
Mz
C max 123 MPa
B
My
B
四、 弯拉（压）组合变形
轴向拉压
P1
x
P2
平面弯曲
x
弯拉（压）组合的例子1
M FN
螺旋夹紧器
弯拉（压）组合的例子2
简易起重机的横梁
烟囱：自重引起轴向压缩 水平风力引起弯曲。
30
B
NBC 45kN · m 104kN
FN
+
显然危险截面为B截面左侧
( FN )
( M )
危险点为B截面最上缘
3m
1m P=45kN 30 B
由强度条件：
A
max
M max FN [ ] Wz A
C
由于型钢的Wz, A无一定的函数关系，一个不等式 不可能确定两个未知量，因此采用试算的方法来求解。
试算： 先不考虑轴力FN，仅考虑弯矩M设计截面
M max [ ] Wz
M max 45 10 3 6 3 Wz 281 10 m 6 [ ] 160 10
281cm
查型钢表：
Wz = 309cm3
3
22a 工字钢
A=42cm2
校核22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时 存在时的强度条件。
弯拉（压）组合的三种情况
P2
横向力和轴向力同时存 在； 力作用于截面形心，但 作用线与x轴成一定夹 角；
P1 x
· · · · Py
P
· · · ·
Px x
P
力作用线与轴线平行， 但不通过截面形心；
· · · ·
x
在这些情况下，杆将产生弯曲与轴向拉压 的组合变形，简称弯拉(压)组合变形。
中性轴 荷载作用面 y
z x
Fz F y F
| f | | f y |2 | f z |2
fz f
y
z
fy
中性轴
fz Fz I z I z tg tg 3 Fy l fy Fy I y I y 3EI z
Fz l 3 3EI y
y
Iz tg tg Iy
当Iz Iy时， 即位移不再发生在荷载作用面。 因而不属于平面弯曲。
Iz tg tg Iy
Iz tg tg Iy
Problem:
1、圆截面梁或正方形截面 梁会不会发生斜弯曲？
2、下图圆截面的弯曲应力怎 么计算？ M
z
c
y
M
z
c
c z y
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
14
M y Iz z0 中性轴方程 y 0 Mz Iy
M z P cos ( l x ) M cos M y P sin ( l x ) M sin
可见中性轴为一条过截 面形心的直线，它与z轴 的夹角为：
y0 M y I z I z tg tg z0 M z I y I y
危险点应力状态
y
y
D1 My Mz • C D2 y
z
单向应力状态
(D1是单向拉伸， D2是单向压缩)
强度条件： max≤ [ ]
12
D1
D1
z
Mz
z
D2
My
D2
y
点D1(y1, z1) max 显然
y
My Mz y1 z1 [ ] Iz Iy
Iz W z , y1
1.外力分解
Py=Psin y为对称轴，引起平面弯曲
Px=Pcos
引起轴向拉伸
Py
P
· x
y
· l
·
·
Px
x
2.内力分析
FN=Px M z =P y (l x) 只有一个方向 的弯矩，就用平面 弯曲的弯矩符号规 定。剪力的影响忽 略不计。 FN l
Py Px Px
+
Mz
+Pyl3来自应力及强度条件zM
y
中性轴
d: a点到中性轴的矩离。
利用中性轴确定截面危险点
作与中性轴平行的
D1
Mz My
直线与截面相切的点(D1 ，
D2)即为最大拉应力和最 z
大压应力点。将这些点的
坐标(y, z)代入应力公式， 即可求得最大正应力。
D2
荷载作用面
中性轴
y
21
例1 图示悬臂梁由24b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。载荷和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的正应力； (2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
Mz My
中性轴
荷载作用面 y
z
当Iz Iy时， 即中性轴不再垂直于荷载 作用面。
15
6.变形
Fz F y F Fy引起的自由端的挠度 Py l 3 fy 3 EI z
z x
Fy=F cos
y
Fz=F sin
fz
fy
z
Fz引起的自由端的挠度
Pz l 3 fz 3 EI y
FN对应的应力 FN A Mz对应的应力
Mz y Iz
y
z
Mz FN 叠加 y A Iz
Mz FN y A Iz
叠加后，横截面上正应力分布规律只可能 为以下三种情况：
Mz FN | || | A Wz
250 h yc t 13 112 mm 2 2
b 118 zc 59 mm 2 2
23
b