信号与系统第三章(陈后金)4

h1(t) x(t) h2(t) + h3(t) y(t)
解：
子系统h1(t) 与h2(t) 级联， h3(t)支路与h1(t) h2(t) 级联支路并联。
h(t ) h1 (t ) * h2 (t ) h3 (t )
d (t 1) * e 3t u(t ) u(t ) e 3(t 1) u(t 1) u(t )
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
系统的时域分析
线性非时变系统的描述及特点
连续时间LTI系统的响应
离散时间LTI系统的响应
冲激响应表示的系统特性
四、序列卷积和
图解法计算卷积和
列表法计算卷积和
y[k]=0
k
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1
N- 1
n
-(N-1)
0
n
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
结论:
并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。
x(t) h(t)=h1(t)+h2(t) y(t)
两个离散时间系统的并联也有同样的结论。
h1[k] x[k] h2[k] y2[k] y1[k] + y[k] x[k]
h[k]=h1[k]+h2[k] y[k]
例1 求图示系统的冲激响应，其中h1(t) = e3t u(t)， h2(t) =δ(t 1) ，h3(t) = u(t)。
n 0 k
当k = 0时， y[0] x[0]h[0] 当k = 1时， y[1] x[0]h[1] x[1]h[0] 当k = 2时， y[2] x[0]h[2] x[1]h[1] x[2]h[0] 当k = 3时， y[3] x[0]h[3] x[1]h[2] x[2]h[1] x[3]h[0]

n


n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k < 0 (k 1)a k u[k ]
k n k n n 0 0
1 t t (e e )u (t ) t t e u(t ) e u(t ) te at u (t )
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
y[k] = 0
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
RN[k -n] , k < 0 1 RN[n]
k-(N-1)
k
0
N- 1
k
n
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
RN[k -n] , 0 k N 1 1 RN[n]
x[k ] h[k ]
n


x[n]h[k n]
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
h [ k ] 或 h[ n ] 1
k 0
x [ k ] 或 x[ n ] 1
n
k 0 n
h[-n] 1
0
n
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
例3 计算 x[k ] {1, 2, 0, 3, 2} 与 h[k ] {1, 4, 2, 3}
的卷积和。
解:
h [ -1 ] 1 x[ -2 ] x[ -1 ] 1 1 2 2 x[ 0 ] 0 0 x[1] 3 3 x[ 2 ] 2 2


h[0]
4
4
8
0
12
8
h[1]
2
2
4
0
6
4
h[2]
级联系统的冲激响应 并联系统的冲激响应 因果系统 稳定系统
一、级联系统的冲激响应
x(t) h1(t) z(t) h2(t) y(t)
z(t ) x(t ) * h1 (t ) y(t ) z(t ) * h2 (t ) x(t ) * h1 (t ) * h2 (t )
根据卷积积分的结合律性质，有


x[ 1 ]
x[1] h[0]
x[1] h[1]
x[1] h[2]
x[1] h[3]

x[ 2 ]
x[2] h[0]
x[2] h[1]
x[2] h[2]
x[2] h[3]
x[ 3 ]
x[3] h[0]
x[3] h[1]
x[3] h[2]
x[3] h[3]





对角斜线上各数值就是 x[n]h[kn]的值。 对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。
y[k ] 1 k 1
n 0
k-(N-1)
0
k
N- 1
n
Fra Baidu bibliotek
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
N1< k 2N 2时，重合区间为[k (N1) ，N1]
y[k ]
n k ( N 1)
3. 卷积和的性质
位移特性： x[k] d [kn] = x[kn] 推论：若x[k]h[k]=y[k]，则
x[kn] h[k l] = y[k (n+l)]
差分与求和特性：若x[k]h[k]=y[k]
x[k ] * h[k ] x[k ] * h[k ] y[k ]
3. 卷积和的性质
交换律: 结合律:
x[k] { h1[k] h2[k]} { x[k] h1 [k] } h2 [k] x[k] h[k] = h[k] x[k]
分配律:
x[k] { h1 [k] + h2 [k] } x[k] h1 [k] + x[k] h2 [k]
1
N 1
2N 1 k
RN[n] 1 RN[k -n] , N 1 < k 2 N 2
0
k-(N-1)
N- 1
k
n
k > 2N2时，RN [n]与RN [kn]图形不再相遇
y[k] = 0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
y(t ) x(t ) * h1 (t ) * h2 (t ) x(t ) *[h1 (t ) * h2 (t )]
h(t)
一、级联系统的冲激响应
结论:
1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。
x(t) h(t)=h1(t)*h2(t) y(t)
2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。
三、因果系统
定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻 及以前的输入信号有关。 LTI系统因果的充分必要条件 因果连续时间LTI系统的冲激响应必须满足
h(t ) 0, t < 0
因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足
1
N 1
2N 1 k
y[k] = 0
k > 2N2时，RN [n]与RN [kn]图形不再相遇
4 3 2 1 0 1 2 3

N- 1

2N-2
k
2. 列表法计算序列卷积和
设x[k]和h[k]都是因果序列，则有
y[k ] x[k ] h[k ] x[n]h[k n], k 0
y1 (t ) x(t ) * h1 (t )
y(t)
y2 (t ) x(t ) * h2 (t )
y(t ) x(t ) * h1 (t ) x(t ) * h2 (t )
应用卷积积分的分配律性质，有
y(t ) x(t ) *[h1 (t ) h2 (t )]
h(t)
二、并联系统的冲激响应
x(t) h2(t) h1(t) y(t)
两个离散时间系统的级联也有同样的结论。
x[k]
x[k] h[k]=h1[k]*h2[k]
h1[k]
y[k]
x[k]
h2[k]
h2[k]
y[k]
h1[k] y[k]
x[k]
二、并联系统的冲激响应
h1(t) x(t) h2(t) y2(t) y1(t) +

以上求解过程可以归纳成列表法。
2. 列表法计算序列卷积和
将h[k] 的值顺序排成一行，将x[k]的值顺序排成一列，行 与列的交叉点记入相应x[k]与h[k]的乘积，
h[0] x[ 0 ] x[0] h[0] h[1] x[0] h[1] h[2] x[0] h[2] h[3] x[0] h[3]
x[ n ] h[k-n],
k 0
y[k ] a k n
n 0
k
1
0
k
n
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k] k < 0， x[n]与h[kn]图形没有相遇 k 0，x[n]与h[kn]图形相遇
y[k]
卷积和的性质
交换律 结合律 分配律 位移特性 差分与求和特性
1. 图解法计算卷积和
卷积和的定义为 计算步骤：
(1) 将x[k]、h[k]中的自变量由k改为n； (2) 把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得 h[n] ； (3) 把h[n]平移k，k是参变量。k>0图形右移，k<0图形 左移。 (4) 将x[n]与 h[kn] 相乘； (5) 对乘积后的图形求和。
x[k ] * h[n] ( x[n]) * h[k ]
n n
k
k
n

k
y[n]
例5 计算 x[k ] {1, 0, 2, 4} 与 h[k ] {1, 4, 5, 3}
的卷积和。
解:
x[k ] d [k 2] 2d [k ] 4d [k 1]
3
3
6

0
9
6
利用卷积 和的起点 坐标等于 待卷积两 序列起点 之和，确 定卷积和 的原点。
y[k ] {1, 6, 10, 10, 20, 14, 13,6}
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]
例2 求图示系统的单位脉冲响应，其中h1[k] =2ku[k]， h2[k] = d[k1] ，h3[k] = 3ku[k]， h4[k] = u[k]。
h1[k] x[k] + h2[k] h3[k] h4[k] y[k]
解：
子系统h2[k]与h3[k] 级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k] h3[k] 级联支路并联，再与h4[k]级联。 全通支路满足
x[ n ] 1
h[-n] 1
0
n
0
k < 0, x[n]与h[kn]图形没有相遇
h[k-n],k<0 x[ n ] 1
y[k]=0
k
0
n
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
x[ n ] 1
h[-n] 1
0
n
0
k 0, x[n]与h[kn]图形相遇


利用位移特性
x[k ] * h[k ] {d [k 2] 2d [k ] 4d [k 1]}* h[k ] h[k 2] 2h[k ] 4h[k 1]
y[k ] x[k ] * h[k ] {1, 4, 7, 15, 26, 26, 12}

冲激响应表示的系统特性
y[k] = 0
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇 0 k N 1时，重合区间为[0，k] N1 < k 2N 2时， 重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N

y[k ] 1 k 1
n 0
y[k ]
n k ( N 1)
y[k ] x[k ] * h[k ] x[k ]
全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d [k] h[k ] {h1[k ] d [k ] h2[k ] h3[k ]} h4[k ]
2(2)k u[k ] u[k ] [1.5(3)k 1 0.5]u[k 1]