多元正态分布及检验资料
多元正态分布参数的估计与假设检验-判别分析
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
三、贝叶斯风险
1、贝叶斯风险的定义 由第一小节内容可知，给定损失函数以后， 由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
R(d ) = inf R(d ),
* d ∈D
∀d ∈ D
则称d * ( X )为参数θ的贝叶斯估计量
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 、 函数. 函数 2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计 、不同的先验分布， 2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计 定理4.2 定理 设θ的先验分布为π(θ)和损失函数为 的先验分布为π θ 和损失函数为
Θ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))q( x | θ )π(θ )dxdθ
=∫
Θ
∫θ | x )g(x )dxdθ
Θ
= ∫ g(x ){ ∫ L(θ , d ( x ))h(θ | x )dθ }dx
Χ
四 、贝叶斯估计
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体 的分布函数F(x,θ)中参数θ为随机 定义 若总体X的分布函数 中参数θ 的分布函数 θ 中参数 变量， θ 为 的先验分布，若决策函数类D中存在 变量，π(θ)为θ的先验分布，若决策函数类 中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
第8.2节 节
判别分析
一、先验分布和后验分布 二、共轭先验分布 三、贝叶斯风险 四、贝叶斯估计
一、先验分布与后验分布
上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏， 上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏，但 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 贝叶斯通过引入先验分布， 的指标. 贝叶斯通过引入先验分布，给出了整体比较 的指标 1、先验信息 在抽取样本之前， 在抽取样本之前，人们对所要估计的未知参数 先验信息. 所了解的信息，通常称为先验信息 所了解的信息，通常称为先验信息 例1(p121例4.6) 某学生通过物理试验来确定当地 1(p121例 的重力加速度，测得的数据为(m/s²): 的重力加速度，测得的数据为 9.80, 9.79, 9.78, 6.81, 6.80 试求当地的重力加速度. 试求当地的重力加速度
多元统计分析期末复习
第一章、多元正态分布的参数估计二、判断题1.多元分布函数F (x )是单调不减函数，而且是右连续的。
（√）2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合α'X (α∈R p )都是一元正态分布。
（X）3.μ是一个P 维的均值向量，当A、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E（AX）=AE（X）（2）E（AXB）=AE（X）B （√）4．若P 个随机变量X1，…XP 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X1，…XP 是相互独立的。
（√）5．一般情况下，对任何随机向量是正定阵。
（X ）'X =(X 1, ,X p )，协差阵∑是对称阵，也6．多元正态向量的任意线性变换仍然服从多元正态分布。
（√）7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。
（ X ）8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。
（√）9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。
（√）1S n 10．是∑的无偏估计。
（ X ）2χ11.Wishart 分布是分布在p 维正态情况下的推广。
（√）'X =(X 1, ,X p )12.若n X (α)~N p (μ,∑)，α=1, ,n ，且相互独立，则样本离差阵(X (α)-X )'~W p(n -1,∑)S =∑(X (α)-X )α=1。
（√）13．若X ~W p (n ,∑)C CXC '~W p(n ,c ∑c ')，为奇异矩阵，则。
（ X ）第二章多元正态分布均值向量和协差阵的检验二、判断题1．设X ~N p (μ,∑)，S ~W p(n ,∑)，n ≥p ，则称统计量T 2=nX 'S -1X 的分布为非中心HotellingT 2分布，记为T 2~T 2(p ,n ,μ)。
（ X ）12．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵S 去代n替∑。
多元正态分布参数估计与检验
则称随机向量 为X维正p态随机向量，
其中
称为均值向量， V为协方差矩阵(协差阵)，且
V0. 对于一般情形 V0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为 X～ Np(,V 。) 当 V0时，
X有前面的密度表示，而当
布是退化的正态分布。
时|V，|0 X的分
多元正态分布的性质：
（1） p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯
即
～
H0
成立时， 1
时，
2
D 0 6 n 1 n 20 7(X Y )T V 0 8 1 (X Y )0 9 2 (p )1 0
n n 而当 不 1有偏2 大的趋
因此，对
给定的显著
当
H 成立时， 0
势。
D
性水平 ，
D n n 11 n n 22(X Y )T V 1 (X Y )1 2 (p )
体 Np(,V)的简单样本， 令
X
1n nk1
Xk
——样本均值向量
n
S (XkX)X (kX)T —样本离差阵
k1
定理18.1
态总体
的简单样本，
设 X 1 ,X 2 , ,X n ( n 是p ) 来自多元正
态总体 Np(,的V简)单样本，
且 V，0 则 X是
的极大似然估计，
1 S 是 V的极大似然估计。
体 Np(,V的) 简单样本，
其中 V已知。 考虑假设
检验问题
H 0 ： 0 ， H 1 ： 0
令 D n (X 0)T V 1(X 0),则可以证明当
H 0 成立时，即 时，0 D～ 2(p)
H0
D
01
0 2
03
04
多元正态分布的检验_2023年学习资料
4的p个线性组合a山，山，，d,u的1001-a%-T2联合置信区间为：-以-无gs+-n-i=1,2,… p-x元og咖e+元g-ae1。
4的p个分量4,42,4。的1001-a%-T2联合置信区间为：-i=1,2,…,p-其中，X是均值向量X 第个分量，-S是协方差矩阵S第个对角线上的元素。
x-可-Sw-当|t>t.n1+n2-2时，拒绝-10-英巾，之可立为-n1i-1-,i=1-42-20以 列-a+a-+a
或检验统计量：--,--收到列-当F>F.1,n1+n2-2时，拒绝H。
两个多元正态总体均值成组比较-设X1,X2,…,Xn和Y,Y2,…,Yn,分别取-自于p维正态总体N,1, 和N,42,∑-的随机样本，且两样本相互独立，-检验假设：-H0:41=42,H1:41≠42-∑未知
联合置信区间与单一置信区间的L比较-4,的单一置信区间：-外-4,的T2联合置信区间为：-4:的Bonfe roni联合置信区间为：
§2.2两个正态总体均值-的成组比较
一元情形的回顾-设x,2,…,x和，2，…，ym分别取自J-正态总体N4,σ 2和N42,σ 2的随机样本，两样本相互独立，检验假设：-H041=42,H1:41≠4o2未知
§2.1单个正态总体均值的检-验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾-1σ 2已知时-设x1,心2，…，xn为取自于正态总体V4,o2-的随机样本，检 假设-Ho:=4,H1:L≠40-02已知-检验统计量：U=-x-0-给定显著性水平a,当|U>u.时，绝原假设H·
202未知时-设x1,心2，，xn为取自于正态总体V4,o2-的随机样本，检验假设-H0:L=0,-H1: ≠4σ 2未知-检验统计量：t=-文一4。-sin-给定显著性水平a,当|t>tsn-1时，-拒绝原假设H。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
多元正态分布及其参数估计、假设检验
协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检 验
协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的 检验
协方差阵检验 多个协差阵相等的检验
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16
均值向量和协方差阵的假设检 验时常用的统计分布
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17
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10
多元正态分布密度函数
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11
多元正态分布的数字特征
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12
多元正态分布的性质
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13
多元正态分布的参数估计
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14
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15
多元正态总体均值向量和协方 差阵的假设检验
均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计 分布
均值向量的假设检验
多元变量的边缘密度独立性与条件分布多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布均值向量的假设检验协方差阵相等时两个正态总体均值向量的检验协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验
28
多个协差阵相等的检验
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29
第三讲 多元正态分布及其参数估计、 假设检验
多元分布概述 多元正态分布
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1
第一节 多元分布概述
多元变量--随机向量 多元分布函数 多元分布密度 多元变量的边缘密度、独立性与条件分
布 多元变量的数字特征
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2
有关多元正态分布的均值和方差检验
多元统计分析实验报告基于spss多元正态分布均值和方差的检验院（系）：专业班级：学号姓名：指导老师：成绩：完成时间：目录基于多元正态分布均值和方差的检验 (1)一、引言 (2)二、实验目的 (2)（一）掌握正态分布均值及方差检验方法 (2)（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件 (2)（三）培养动手操作能力 (2)（四）学会理论知识与实践相结合 (2)三、实验环境 (2)四、实验内容 (2)五、实验过程及分析 (3)（一）实验步骤 (3)1.输入数据32.正态性检验33.均值与方差的检验44.不同分类经济发展水平的比较4（二）结果分析 (4)六、实验体会 (8)基于多元正态分布均值和方差的检验摘要多元正态分布是一种多元概率分布，在多元统计学中占有相当重要的位置。
本文采用多元统计的分析方法利用SPSS实现了均值向量和协方差阵的检验，得到各指标权重系数，从而解决验证各指标是否具有显著性差异的问题。
关键词：多元正态分布，假设检验，显著差异，SPSS一、引言在基础统计学中，随机变量的正态分布在理论和实际应用中都有着重要的地位。
同样，在多元统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。
原因是许多实际问题研究中的随机变量确实遵守或近似遵从多元正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且可以得到许多完整的结果。
二、实验目的（一）掌握正态分布均值及方差检验方法（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件（三）培养动手操作能力（四）学会理论知识与实践相结合三、实验环境MS Excel 2016 、SPSS 21.0四、实验内容现选取内蒙古、广西、贵州、云南、西藏、宁夏、新疆、甘肃和青海等9个内陆边远省区。
选取人均GDP、第三产业比重、人均消费支出、人口自然增长率及文盲半文盲人口占15岁以上人口的比例等5项能够较好地说明各地区社会经济发展水平的指标，验证边远地区及少数民族聚居区的社会经济发展水平与全国平均水平有无显著差异。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
而
Y n(X 0) ~ Np (0,)
故 T02 n(X 0)T 1(X 0) ~ 2( p)
(2)协差阵未知时，均值向量的检验
H0：＝（0 0为已知向量），H1： 1
假设H
成立，检验统计量为
0
F (n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
第三章 多元正态分布均值向量和
协差阵的检验
一、均值向量的检验
二、协差阵的检验
一、均值向量 •的假设检验
1、霍特林（Hotelling）T 2分布
定义1：设X ~ N p (, ),S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立，n p,
则称统计量 T 2 nX T S 1X的分布为非中心霍特林T 2分布，
X (i) ~ N4 (1, ), i 1,2,,10； Y(i) ~ N4 (2 , ), i 1,2,,10
且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F
(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
X
～N
p
(0,
2
n
)
，
在一元统计中，若 t ~ t(n 1) 分布， 则 t2 ~ F (1, n 1) 分布，即把t分布转化为F分 布来处理，在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1：设X ~ N p (0, ), S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立， 令 T 2 nX T S 1 X 则 n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
再由样本值计算出统计量T02，比较
若T02
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元正态分布参数的假设检验
2 22.74 32.56 51.49 61.39 9 22.62 32.57 51.23 61.39 16 23.02 33.05 51.48 61.44
3 22.60 32.76 51.50 61.22 10 22.67 32.67 51.64 61.50 17 23.02 32.95 51.55 61.62
5
武汉理工大学统计学系唐湘晋
一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p ( μ , Σ ) 的样本, 考虑假设: H 0 :μ = μ 0 ,
H 1 :μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U 1 )
T02 = n ( X − μ 0 )′ Σ − 1 ( X − μ 0 ) .
4
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题，包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量，若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题，虽然可以使问题简化，但忽略了p个 分量间的互相依赖关系，常常得不出正确的结 论。
13
武汉理工大学统计学系唐湘晋
解:
⎡ X 1 ⎤ ⎡ 22.82 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ 32.79 ⎥ ⎥ = X=⎢ ⎢ X 3 ⎥ ⎢ 51.45 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X 4 ⎥ ⎣ 61.38 ⎦ ⎢ ⎦ ⎣
1 21 V= ∑ (Xi − X)(Xi − X)′ 21 − 1 i=1 ⎡ 70.3076 ⎤ ⎢ −52.1469 ⎥ 73.5511 ⎥ =⎢ ⎢ 3.4462 −19.3637 ⎥ 90.4098 ⎢ ⎥ 1.2022 −33.6989 40.0895⎦ −6.9624 ⎣
厦门大学《应用多元统计分析》习题第03章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
3
2
50.5
2.25
53
2.25
3
51
2.5
51.5
2.5
4
56.5
3.5
51
3
5
52
3
51
3
6
76
9.5
77
7.5
7
80
9
77
10
8
74
9.5
77
9.5
9
80
9
74
9
10
76
8
73
7.5
11
96
13.5
91
12
12
97
14
91
13
13
99
16
94
15
14
92
11
92
12
15
94
15
91
12.5
3.6 1992 年美国总统选举的三位候选人为布什、佩罗特和克林顿。从支
持三位候选人的选民中分别抽取了 20 人，登记他们的年龄段（ x1 ）、受教育
程度（ x2 ）和性别（ x3 ）资料如下表所示：
投票人
x1
x2
x3
投票人
x1
x2
x3
布什
2
1
2
1
1
11
1
1
2
2
1
3
2
12
4
1
2
3
3
3
1
13
4
0
2
4
1
3
2
14
3
4
2
5
3
1
多元正态分布
混合模型
除了高斯混合模型，还有其他类 型的混合模型，如多项式混合模 型、泊松混合模型等。
扩展应用领域
多元正态分布在许多领域都有广 泛的应用，如心理学、经济学、 生物统计学等。
THANKS
感谢观看
02
联合分布的均值向量和协方差矩阵由各个分量的均 值和协方差决定。
03
当各分量之间相互独立时，其联合分布的协方差矩 阵为各分量协方差矩阵的线性组合。
04
多元正态分布的推断
参数估计
最大似然估计
01
通过最大化样本数据的似然函数来估计多元正态分布的参数，
包括均值向量和协方差矩阵。
最小二乘估计
02
将多元正态分布的均值向量作为回归系数，利用最小二乘法进
多元正态分布
• 多元正态分布概述 • 多元正态分布的参数 • 多元正态分布的性质 • 多元正态分布的推断 • 多元正态分布在统计和机器学习中的
应用 • 多元正态分布的扩展和变种
01
多元正态分布概述
定义与性质
定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 概率分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、边缘分布的独立性和最大熵 等性质。
当其他维度固定时，该维度的边缘分 布是关于均值对称的，且方差与该维 度与其他维度的协方差成正比。
随机变量的线性变换
对于多元正态分布的随机变量，对其 进行线性变换后，新变量的分布仍然 是多元正态分布。
线性变换包括平移、旋转、缩放等， 这些变换不会改变变量的分布形态。
随机向量的联合分布
01
对于多元正态分布的随机向量，其各分量之间的联 合分布也是正态分布。
06
第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
H 0：? ? ? 0，H 1：? ? ? 0
令F
?
n (n ? p
p)( X
?
? 0 )T S ?1 ( X
?
? 0 ),
则可以证
明当 H 0 成立时，即 ? ? ? 0时，F ～ F ( p, n ? p)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ? ，当
F
?
n (n ?
?
?
)T V
?1(X
?
?
)?? ?
则称随机向量 X 为 p维正态随机向量，其中 ?
称为均值向量，V 为协方差矩阵(协差阵)，且
V ? 0. 对于一般情形V ? 0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为X ～ N p(? ,V )。 当 V ? 0时，
X有前面的密度表示，而当 |V |? 0 时， X 的分 布是退化的正态分布。
且相互独立， 故 ? 2 ? 分布的定义知 Y TY ～ ? 2 ( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 ? 和V的估
计。为简单计，仅考虑 V ? 0 的情形。 设 X 1, X 2 ,? , X n (n ? p) 是来自多元正态总
体 N p (? ,V )的简单样本，令
? X
?
1 n
Y ～N p ( A? ? b, AVA T ).
（4） X 为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c， cT X 是一维正态随机变量。
（5）
设X
?
(
X
T 1
,
X
T 2
)T
为多维正态随机向量，
多元正态分布及检验
协方差分析
以前介绍的方差分析可用于两组或多组均数间 的比较，其处理因素一般是可以控制的。方差 分析要求各比较组除了所施加的处理因素不同 外，其他对观察指标有影响得因素齐同或均衡， 即要求控制对观察指标有影响的其它因素。在 实际工作中，有时有些因素无法加以控制，或 由于实验设计的疏忽、实验条件的限制等原因， 造成对观察指标有影响的个别因素未加控制或 难以控制。此时用方差分析不合适，应考虑用 协方差分析。
x1i x2i
x1i n
n 1
x2i
12 21 /
11 22 r12
x1ix2i
x1i
x2i
n
x2
1i
x1i
2
n
x2 2i
x2i
2
n
协方差阵与逆阵
11 21
12
22
1
1
11
22
2 12
22
12
21
11
1122
2 12
11 22
N k m ni nj
Di2j
F
一组资料（单样本）
对于单变量且服从正态分布资料的样本 与总体的比较，
变形
t = (X - m0) = n (X - m0)
S/ n
S
t2 = n(X - m0)S- 2 (X - m0)
当为多元资料时，此公式推广为HoTt2eling
T 2 = n(X - ) m0 ' S- (X - m0)
( ) ( ) T 2 = n1n2
n1 + n2
X1 -
X2
Sc- 1
X1 -
X2
其中 X1, X2为样本均数向量，S1, S2 为样本协方差阵， Sc 为合并 样本协方差阵。
多元正态总体的假设检验和方差分析
第 3 章多元正态总体的假设检验与方差分析从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。
统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。
按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。
由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。
所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。
统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。
统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。
参数估计问题回答诸如“未知参数的值有多大?”之类的问题, 而假设检验回答诸如“未知参数的值是吗?”之类的问题。
本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。
3.1 一元正态总体情形的回顾一、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）, 一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为和。
1、显著性检验2为便于表述，假定考虑假设检验问题：设X1, X2，…,X n来自总体N（,）的样本,我们要检验假设3.1)原假设H。
与备择假设H i应相互排斥，两者有且只有一个正确。
备择假设的意思是，一旦否定原假设H0 ，我们就选择已准备的假设H1。
2当 已知时，用统计量 z在原假设H 。
成立下，统计量z 服从正态分布z 〜N （0 ,1），通过查表，查得N(0 ,1)的上对于检验问题（3.1.1，我们制定这样一个检验规则（简称检验）(3.2)分位点z 2。
当z z 2时，拒绝H 0 ； 当z z 2时，接受H o 。
多元正态分布
1
n1
n
)
X
二、多元正态总体的最大似然估计及其性质
利用最大似然法求出 μ和 的最大似然估计为：
μˆ X
ˆ 1S n
求解过程
似然函数为：
L (, ) f(x ( 1 ))f(x (2 )) f(x (n ))
n (2) p2 1 2ex 1 (x p [) 1 (x)]
2
22 n
（引理：设A为p阶正定矩阵，则 tr(A)lnAp 当A=I
等号成立。
A1/2S n1/2Ip时等号成 立 n S ，即
最大似然估计的性质
1. E(X)μ ，即 X 是 μ的无偏估计 。
E(1nS)nn1，即
1S n
不是 的无偏估计。
E( 1 S) n1
样本均值向量可以用样本矩阵表示出来，即
X
p 1
1 n
X
1 n
1n (1,1, ,1)
因为：
X 11
1 n
X 1n
1 n
X
12
X
1n
X 21 X 22
X 2n
X p1 X p2
X pn
1 1
n
独立同分布于 Np(μ,)， 则随机矩阵 W (i)(i) 服从自由度
为n的非中心维斯特分布，记为
i1
W~Wp(n,,μ)
随机矩阵的分布：
X11 X12 X1p
X
X21
X22
X2p
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的多面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布的概念及表和查表方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
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38.30 134.32 103.60
295.743
F n m T2
5 3 295.743
n 1m
51 3
0.776 0.780 0.574
df1 3, df2 2
两组比较
对于单变量且服从正态分布资料的两样
本的比较 变形
t
X1 X2
n1 n2 n1n2
Sc2
t2
n1n2 n1 n2
X1
X 2 Sc 2 X1
反之，如果出现下列情况之一，就难以得出
结论： 1．两组指标虽有显著差别，但趋势不一。或无 显著差别，但P接近0.05。 2 ．两组间有些指标有显著差别，有些却无显著 差别。
多元正态分布 定义
P维正态分布定义：对随机变量 X=(X1,X2,…,XP) 的密度函数是
f (X )
2
1 X 1 X / 2 e p / 2 1/ 2
x1i x2i
x1i n
n 1
x2i
12 21 /
11 22 r12
x1ix2i
x1i
x2i
n
x2
1i
x1i
2
n
x2 2i
x2i
2
n
协方差阵与逆阵
11 21
12
22
11Biblioteka 11222 12
22
12
21
11
1122
2 12
11 22
xi
称之为多元正态分布，简记为 N p,
下面以二维正态分布介绍
n
x1i
1 E X1
X1
i 1
n
n
x2i
2
EX2
X2
i 1
n
11 D X1 S11
x2 1i
2
x1i n
n 1
22 D X2 S22
x2 2i
2
x2i n
n 1
12 21 Corr X1, X 2 S21
编号 血沉（X1） 抗“O”（X2） 白细胞数（X3）
1
A
2
3
┇
N1
1
B
2
3
┇
N2
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┇
┇
┇
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┇
┇
┇
┅
┅
┅
这三项指标都是测得值越高病情越重，如果采用 t检验法对每个指标作检验，则只有出现下列情 况之一时，才能作出明确判断： 1．两组间三指标均有差异，且大小趋势一致。 2．两组间各指标均无差别，且P较大于0.05。
数向量。
当
H0
成立时
n
F
n
m 1m
T
2
,
df1
m, df2
nm
例1：
如随机抽取某单位5名有冠心病的成年男 性，测量其甘油三脂（mmol/L），总 胆固醇（mmol/L），和高密度脂蛋白 胆固醇（mmol/L）含量，已知某单位 正常成年男性的甘油三脂、总胆固醇、 和高密度脂蛋白胆固醇的均数是1.02 mmol/L、2.73 mmol/L和 2.04mmol/L。问该单位冠心病成年男 性的血脂与正常成年男性有无差别？
多元正态性的判定
通常对多元正态分布的判断采用对边缘 分布的判断，即：若对多元变量X而言它 所有的一元分布都是正态分布的话，就 认为X是多元正态分布，此时很少出现非 正态的多元数据集。
多元正态均值检验
H0 : 1 2 k
H1 : 至少存在，使 i j i j
统计量的构造
组间协方差阵：B
df1 m, df2 n1 n2 m 1
当n1, n2 较大时，F近似服从自由度为m的 2 分布。
多变量统计描述
均数向量与离差矩阵
均数向量与离差矩阵
协方差矩阵
相关矩阵
多元正态分布及检验
多元正态分布
在许多医学问题中，当作均值的假设 检验时所依据的指标可能不止一个。 例如，当比较两组风湿性与类风湿性 关节炎患者的病情程度时，就不能仅 只用一个指标，如采用血沉、抗“O”、 白细胞计数三个指标，则数据呈下列 格式：
0.35 0.08 0.24 0.08 0.13 0.21 0.24 0.20 0.36
17.51 47.59 38.30 S 1 47.59 182.86 134.32
38.30 134.32 103.60
T2 n X
'
0S X
0
17.51 47.59 38.30
5 0.776, 0.780, 0.574 47.59 182.86 134.32
图1: 两个二元正态分布
11 22 且 12 0
11 22 且 12 0.75
多元正态分布的性质
1．有限个多元正态的线性组合为多元正 态分布。 2．一个多元正态分布的所有子集分布有 一个多元正态分布。 3．零协方差意味着相应的随机变量是独 立的。 4 ．分量的条件分布是正态分布。
k
n
X X
'
X X
1
组内协方差阵：E k
n
X
j
X
'
K
X
j
X
A
1 j1
1
总协方差阵：T k n
X
j
X
'
X
j
X
BE
1 j1
维尔克斯（Wilks）统计量（分布）
EE
T EB
1 0
两两比较的统计量
Di2j
Xi X j
E 1
'
Xi X j
(N k m 1)ninj
N k m ni nj
Di2j
F
一组资料（单样本）
对于单变量且服从正态分布资料的样本 与总体的比较，
变形
tX0 S/ n
nX 0 S
t2 n X 0 S 2 X 0
当为多元资料时，此公式推广为HoTt2eling
T2 n X
'
0S X
0
其中 X 为样本均数向量，S 为样本协方差阵， 0 总体均
1 2 12
样本协方差阵与逆阵
S11 S21
S12
S22
1
1 S11S22
S122
S22 S12
S21
S11
二维正态分布密度函数可写成：
1
f (x, x)
2
11 22
1 2 12
exp
2
1
1 2 12
x1
1
11
2
x2
22
2
2
212
x1
1
11
x2
2
22
X2
当为多元资料时，此公式推广为HotelingT 2
T2
n1n2 n1 n2
X1
X 2 Sc 1 X1
X2
其中 X1, X2为样本均数向量，S1, S2 为样本协方差阵， Sc 为合并 样本协方差阵。
1 Sc n1 n2 2 n1 1 S1 n2 1 S2
F n1 n2 m 1T 2 n1 n2 2 m
样 甘油 本 三脂 号
X1 1.02
1 1.78 2 0.67 3 0.56 4 0.66 5 0.21
总胆 固醇
X 2 2.73
0.83 0.96 0.83 1.12 0.16
高密度脂蛋白 胆固醇
X3 2.04
-1.01 -0.84 -0.39 -1.03 -0.40
计算：
X0
0.776 0.780 S 0.574