周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
(sz
)
1 0
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
(
sz
)
0 1
。
对一般的自旋态： (s
)
a
b
a
1
(sz
)
b
1
(sz
)
。
2
(CGS)
L 2m
L 2mc
自旋回旋磁比率等于轨道运动回旋磁比率的两倍。
二、电子的自旋算符和自旋函数 1．自旋算符和泡利矩阵
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与角动量类似，自旋角动量算符满足：
SS i S
S 在空间任意方向上的投影只能取两个数值 ，满足
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第 7 章 自旋与全同粒子
7.1 复习笔记
一、电子自旋
1．电子自旋假设的两个要点：
（1）每个电子具有自旋角动量 S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
Sz 2 。
（2）每个电子具有磁矩 M s
e me
S
(SI ),
Ms
e me c
S
(CGS)
内禀磁矩的值即玻尔磁子的值，即 M sz M B 。
2．电子自旋的回旋磁比率
电子自旋磁矩和自旋角动量之比（电子自旋的回旋磁比率）是：
M Sz e
Sz
me
(SI ) , M Sz e
Sz
me c
(CGS)
轨道运动的回旋磁比率是： M L e (SI ), M L e
2
H 2 U (r) (r)L S 2me
若不考虑电子的自旋和轨道运动之间的相互作用，守恒量完全集 (H , L2 , J 2 , J z ) 的本
2．总角动量平方与 J 的三个分量对易关系：
J
2
,
J
0
，
J
2
,
J
z
0
3．力学量 (J 2 , J z ) 的共同本征函数| jm ，满足
J 2 | jm j( j 1)h2 | jm Jz | jm mh | jm
其中 j 为０，正整数或半奇正整数， m - j, - j 1, L, j 。
2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
，S2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
3 2 4
记 S 2 s(s 1)2 ，则 s 1 ，称 s 为自旋量子数。 2
引入泡利算符 S ，显然 2i 。同时，泡利算符 满足下列关系：
2
2 x
2 y
2 z
1
x y
y z
yx z y
2iz 2ix
，
x y
En lm跃迁到En'l 'm'
时，谱线频率为
0
eB 2me c
m
，式中
0
Enl
En'l'
，在量子跃迁中磁量子数的改变遵循选择定则 m 0,1。由于能量简并
的消失，原来的一条谱线分裂为三条，形成了简单塞曼效应。
四、两个角动量的耦合
角动量理论是比较严格的理论，可自成体系，只需从基本定义式 J J iJ 出发，就
sz
时 2
sz
时 2
由此可见，在外磁场中，能级与 m 有关，原来 m 不同而能量相同的简并现象被外磁场
消除。当原子处于 s 态时， l m 0 ，因此原来的能级 Enl 分裂为两个。
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在外磁场中电子由能级
4．若 J1, J 2 是两个独立的角动量，则 J J1 J 2 也是角动量。
（1）耦合表象
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力学量组
(
J12
,
J
2 2
,
J
2
,
J
z
)
相互对易，其共同本征矢构成正交归一系。以此本征矢为基
矢的表象称为耦合表象。耦合表象的基矢记为：| j1 j2 jm ，或简记为| jm 。
可推演出角动量的几乎全部内容。
1．总角动量分量间的对易关系
体系的总角动量满足角动量的一般对易关系： J J iJ ；
分量形式： J x , J y iJ z , J y , J z iJ x , J z , J x iJ y ；
或统一写成： Ji , J j i ijk J k , i, j, k 1,2,3 。
y z
yx z y
0 0
，
x y
y z
y x z y
i z i x
z
x
x z
2iy
zx xz 0
z
x
xz
i y
在 z 表象中， x , y , z , Sx , Sy , Sz 的表示矩阵分别为：
x 10
1 0
,
y 0i
i 0
,
z
1 0
01
0 1 0 i 1 0 Sx 2 1 0, S y 2 i 0 , Sz 2 0 1
2．自旋函数
（1）当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可略去时，电子的自旋波函数不影响轨道
运动，此时，电子波函数可以表示为如下形式： (r , sz ,t) 1(r ,t)(sz ) ，其中 (sz ) 称
为电子的自旋波函数。
（2）任意的旋量波函数可表示为： (r , sz , t)
(r, ,t) 2