1-5 7单纯形法的矩阵描述及应用举例课案
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单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
单纯形法及应用举例
θ
11/1
1 -1
/
1 -1
10/2
1 -1 56/10
1
2
1
4
第3节 解目标规划的单纯形法
② 取k=1，检查检验数的P1行，因该行无负检验数，故转(5)。 ③ 因k(=2)＜K(=3)，置k=k+1=3，返回到(2)。 ④ 查出检验数P2行中有−1、 − 2；取min(− 1, − 2)= − 2。它对应
❖ 力求总运费最省
34
cij xij d13 d13 2950
i1 j1
❖ 目标函数为：
min z P1d 4 P2d 5 P3(d6 d 7 d 8 d 9)
P4d
10
P5
d
11
P6 (d
12
d
12)
Hale Waihona Puke P7d 1317第4节 应用举例
200 100
300
200
200
250 150 400
100 100
销量
200 100 450 250 1000/1000 14
第4节 应用举例
❖ 供应约束
x11+x12+x13+x14≤300 x21+x22+x23+x24≤200 x31+x32+x33+x34≤400 ❖ 需求约束：
x11+x21+x31+d1−− d1+=200
❖ 计算结果，得到满意调运方案见表5-10。
销地 B1
产地
B2
B3
B4 产量
A1
100
200 300
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
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XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
《运筹学》教案汇总
《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。
重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。
单纯形法步骤
2.4 单纯形法应用单纯形法时，先将一般形式转化成标准形式，如下所示：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++0 ... 1... 1 0 ...... ....... ... 1 0... 1 0 .... ... Z -211211212111121m n m m mn mm n m nm nm m b b b c c c c c a a a a a a b x x x x x E 单位阵基变量X B 非基变量X N N非基阵0N σ单纯形矩阵2 1 0 0 0nm c c c c 21→j c BC b BX —24/65/1min θjj z c -b b m''1 x x m1c c m1 检验数A 'z x x x x m n12 C单纯形表2 1 0 0 0nm c c c c 21→j c BC b BX —24/65/1min θjj z c -b bm''1 x x m 1 c c m1检验数A 'z x x x x m n12 C单纯形表== )0,,0,,,(1 m b b X ''=基可行解：2 1 0 0 0nm c c c c21→j c BC bBX —24/65/1minθjj z c -b b m''1 x x m1 c c m1 检验数A 'z x x x x m n12C有时不写此项求jnm j jj j j jnm j j j mi iji j m i i i x Z Z Z c x Z c Z Z ac Z b c Z ∑∑∑∑+=+===+=-=-+===10101'1'0 )()( σσ检验数令：令：单纯形表2 1 0 0 0n m c c c c 21→j c BC b BX —24/65/1minθjj z c -b b m''1x x m1 c c m1 检验数A 'z x x x x m n12 Cj cmjj a a '' 1求nm j j jjj jnm j j jmi iji j m i i i x Z Z Z c x Z cZ Z ac Z b c Z ∑∑∑∑+=+===+=-=-+===10101'1'0 )()( σσ检验数令：令：2 1 0 0 0nm c c c c 21→j c BC b BX —24/65/1minθjj z c -b b m''1 x x m1c c m1 检验数A 'z x x x x m n12 Ck m m k m a a ++'',,1k m +σkm m km ++,,1km +不妨设此为主列l 主行2 1 0 0 0nm c c c c 21→j c BC b BX —24/65/1min θjj z c -b b m''1 x x m1c c m1 检验数A 'z x x x x m n12 Ck m mk m a a ++'',,1km +σk m l a +',主元用单纯形表求解问题例、用单纯形表求解LP 问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0,524261552m ax212121221x x x x x x x x x z解：化标准型⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++=+++++=0,,524261550002max515214213254321x x x x x x x x x x x x x x x z表1：列初始单纯形表（单位矩阵对应的变量为基变量）2 1 0 0 00 15 0 5 1 0 00 24 6 2 0 1 00 5 1 1 0 0 12 1 0 0 0 —24/65/1minθ→j c BC bBX 1x 3x 2x 4x5xjj z c -3x 4x 5x 正检验数中最大者对应的列为主列主元化为1主列单位向量换出换入1x 4x 最小的值对应的行为主行（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）2 1 0 0 00 15 0 5 1 0 02 4 1 2/6 0 1 /6 00 1 0 4/6 0 -1/6 1 01/3 0 -1/3 015/524/26/4min θ→j c BC bBX 1x 3x 2x 4x 5x jj z c -3x 1x 5x 0*52*2/6+0*4/61-2/3=主元检验数>0确定主列最小确定主列θ初等行变换，主列化为单位向量，主元为12 1 0 0 00 15/2 0 0 1 5/4 -15/22 7/2 1 00 1/4 -1/21 3/2 0 10 -1/4 3/2 0 00 -1/4 -1/2→j c BC bBX 1x 3x 2x 4x 5x jj z c -3x 1x 2x min θ最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0)目标函数值Z=8.52*7/21*3/2+0*15/28.5检验数<=0。
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
大学运筹学经典课件第五章——单纯形法
j 1, 2,, n
x j j m 1, m 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 表示非基变量。
管
理
运
筹
学
14
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250.
在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中x2的为正的系数除 对应的常量，得
b1 300 300, a12 1
b2 400 400, a22 1
管 理 运 筹 学
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形法的基本思路和原理
1 1 1 0 0 A ( p1 , p 2 , 它的系数矩阵p3 ,,p 4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
第五章 单 纯 形 法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的 单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
管
理
运
筹
学
1
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优
解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的
157单纯形法的矩阵描述及应用举例课案
14:00-15:00 15:00-16:00
到达快件数 3000 4000
1-23
11:00-12:00
2500
16:00-17:00
4500
12:00-13:00
4500
17:00-18:00
3500
13:00-14:00
2500
18:00-19:00
3000
该分拣部每天从早8:00-19:00对外营业,快件的分拣由工人操作机器进
(2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元；
(3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元；
(4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元.
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
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解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
x12
150000
下页
x23
200000
返回
x34 100000
x11,L , x34 0
上页 下页 返回
例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
3.2单纯形法的矩阵计算
1 1 1
X N1 ( x1, x5 )T
1 0 1 / 2 1 0 2,0 (0,0,3) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 (2, 3 / 4) 对应 x1 , x5
换入变量
求逆矩阵b1得初始基本可行解2计算单纯形乘子和目标函数值3计算非基变量检验数确定为换入变量计算0则问题没有有限最优解停止计算否则转下一步
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
xk
,若
B-1Pk
，则已得最优解，停止计算；否则转下一步。
（4）据 -1
B Pk
，确定
为换入变量，计算
,
若
≤0，则问题没有有限最优解，停止计算，否则转
下一步。
Page 9
-1 (B-1b)l (B b)i -1 （5）据min -1 /(B Pk )i >0 = -1 ，确定 xl (B Pk )l (B Pk )i
a1m alm amm
§3.2 单纯形法的矩阵计算
1 Bnew EB1 , 其中E (e1 ,
Page 6
, e l 1 , , e l 1 ,
, em )
a1k P1 alk a mk
§2 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
Page 12
B01b i min 1 B01 P2 0 B0 P2 i 12 8 min , , 3 x5 4 2
X N1 ( x1, x5 )T
1 0 1 / 2 1 0 2,0 (0,0,3) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 (2, 3 / 4) 对应 x1 , x5
换入变量
求逆矩阵b1得初始基本可行解2计算单纯形乘子和目标函数值3计算非基变量检验数确定为换入变量计算0则问题没有有限最优解停止计算否则转下一步
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
xk
,若
B-1Pk
，则已得最优解，停止计算；否则转下一步。
（4）据 -1
B Pk
，确定
为换入变量，计算
,
若
≤0，则问题没有有限最优解，停止计算，否则转
下一步。
Page 9
-1 (B-1b)l (B b)i -1 （5）据min -1 /(B Pk )i >0 = -1 ，确定 xl (B Pk )l (B Pk )i
a1m alm amm
§3.2 单纯形法的矩阵计算
1 Bnew EB1 , 其中E (e1 ,
Page 6
, e l 1 , , e l 1 ,
, em )
a1k P1 alk a mk
§2 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
Page 12
B01b i min 1 B01 P2 0 B0 P2 i 12 8 min , , 3 x5 4 2
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
单纯形法基本原理及实例演示
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
《管理运筹学》课件02-单纯形法
解决方案
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
11单纯形法(new)PPT精品文档151页
主要内容
1.1 线性规划概述 1.2 线性规划问题及其数学模型 1.3 线性规划的图解法及其几何意义 1.4 线性规划单纯形法与单纯形表 1.5 单纯形法的矩阵描述 1.6 人造基下的单纯形法 1.7 线性规划典型例题及应用
1
1.1 线性规划概述
线性规划是是运筹学中研究较早、发展较快、 应用广泛、方法较成熟的一个重要分支 。1947年丹 捷格提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯 形法。
x1 2x2 30
st
3
x1
2x2 2x2
60 24
x1 , x2 0
17
▪ 在各不等式中分别加上一个松弛变量 x3, x4, x5，使不等式 变为等式，便得到标准型。
ma x 4x 1 0 5x2 0
▪ 线性规划定义：对于求取一组变量Xj（j＝1，2，3…n) 使得它满足线性约束条件的目标函数取得极值的一类 最优化问题。
8
▪ 特征
➢ 每个问题都用一组决策变量（x1， x2 ，…， xn ）表 示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。 一般这些变量取值是非负的。
➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 等式或线性不等式来表示。
2
1.2 线性规划问题及其数学模型
1.2.1 问题提出
例1【经典例题】:某企业在计划期内要安排生产甲、乙两种 产品，已知其生产利润及原材料的消耗量如表 1-1。问应如 何安排生产计划使该企业获得的利润最大？
表1-1
甲
乙 资源限量/吨
原材料A/吨
1
2
30
原材料B/吨
3
2
60
原材料C/吨
0
2
24
产品利润 千元/吨 40
1.1 线性规划概述 1.2 线性规划问题及其数学模型 1.3 线性规划的图解法及其几何意义 1.4 线性规划单纯形法与单纯形表 1.5 单纯形法的矩阵描述 1.6 人造基下的单纯形法 1.7 线性规划典型例题及应用
1
1.1 线性规划概述
线性规划是是运筹学中研究较早、发展较快、 应用广泛、方法较成熟的一个重要分支 。1947年丹 捷格提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯 形法。
x1 2x2 30
st
3
x1
2x2 2x2
60 24
x1 , x2 0
17
▪ 在各不等式中分别加上一个松弛变量 x3, x4, x5，使不等式 变为等式，便得到标准型。
ma x 4x 1 0 5x2 0
▪ 线性规划定义：对于求取一组变量Xj（j＝1，2，3…n) 使得它满足线性约束条件的目标函数取得极值的一类 最优化问题。
8
▪ 特征
➢ 每个问题都用一组决策变量（x1， x2 ，…， xn ）表 示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。 一般这些变量取值是非负的。
➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 等式或线性不等式来表示。
2
1.2 线性规划问题及其数学模型
1.2.1 问题提出
例1【经典例题】:某企业在计划期内要安排生产甲、乙两种 产品，已知其生产利润及原材料的消耗量如表 1-1。问应如 何安排生产计划使该企业获得的利润最大？
表1-1
甲
乙 资源限量/吨
原材料A/吨
1
2
30
原材料B/吨
3
2
60
原材料C/吨
0
2
24
产品利润 千元/吨 40
1-5-2单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法
非基变量
基变量
单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX b ( B N ) X N BX B NX N b
1
~ ~ X B B (b NX N ) b NX N ~ ~ 1 其中 b B b, N B1N
令
XN 0
x l 时，
il il
B
new
修正单纯形法简介
有关公式：
确定新的换入变量
1
j c j C B B Pj c j Pj
其中 C B B 1 单纯形乘子（行向量）
~ ~ 1 1 Pk B Pk , b B b i
确定新的换出变量
修正单纯形法简介
~ 1 XB b B b
得当前的基解为： 当前基解
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (C B C N ) X CB X B C N X N N 1 1 C B B b (C N C B B N ) X N ~ ~ C B b (C N C B N ) X N
矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
CB
X B B 1b cj zj
当前基解
XB I 0
XN Xs B 1 N B C N CB B 1 N C B B 1
当前检验数
~ 1 其中 Pj B Pj
当前 x j 对应的系数列
矩阵单纯形法计算的描述
基变量
单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX b ( B N ) X N BX B NX N b
1
~ ~ X B B (b NX N ) b NX N ~ ~ 1 其中 b B b, N B1N
令
XN 0
x l 时，
il il
B
new
修正单纯形法简介
有关公式：
确定新的换入变量
1
j c j C B B Pj c j Pj
其中 C B B 1 单纯形乘子（行向量）
~ ~ 1 1 Pk B Pk , b B b i
确定新的换出变量
修正单纯形法简介
~ 1 XB b B b
得当前的基解为： 当前基解
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (C B C N ) X CB X B C N X N N 1 1 C B B b (C N C B B N ) X N ~ ~ C B b (C N C B N ) X N
矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
CB
X B B 1b cj zj
当前基解
XB I 0
XN Xs B 1 N B C N CB B 1 N C B B 1
当前检验数
~ 1 其中 Pj B Pj
当前 x j 对应的系数列
矩阵单纯形法计算的描述
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初始单纯形表：
初始解 b cj-zj B σN返回
最终单纯形表：
基可行解 基变量 非基变量
b′
cj-zj
I
0, …,0
N′
σN ′
B-1
-y1, …, -ym
单纯形法的矩阵描述
不妨设基矩阵为
则
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B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
1 0 0 0 0 1 I 0 0
0
0 1 0
cj z j
例10单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
上页 下页 返回
2 0 3
XB b x1 3
x4
x1 x4 x2
1 0 0 0 0 I1 0 0 0 0 1 0
x3 x4 x5
1/2 -2 0 -1 0 -1/5 1-1 4/5 B 0 1/5 0 -1/5
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
上页 下页 返回
2 2 1 0 0 系数矩阵 A 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1
XB
x3 x4
b
12 16
x1
2 4
x2
2 0
x3
1 0
x4
0 1
x5
0 0
0
x5
cj - Zj x3
15
0
2
5*
3 0
0
0 1
0
0 0
1
0 -2/5
0
6
2*
上页 下页 返回
0
3
x4
x2 cj - Zj x1 x4 x2 cj - Zj
16
3
4
0 2
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1/2 -2 0 -1
~ 1 其中 Pj B Pj
当前 x j 对应的系数列
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
上页 下页 返回
CB
XB B b cj zj
当前基解
1
CB XB I 0
CN 0 XN Xs 1 -1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
当前检验数
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max
上页 下页 返回
z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
c j→
2
3
0
0
0
CB
0 0
A 甲 ≥60% 乙 ≥30% 丙 原料成本 (元/kg) 2.00 每月限制 用量(kg) 2000
B C 加工费(元 /kg)
售价(元 /kg)
1.5 ≤20% 0.50
3.40
2500 1200
≤50% 0.40
2.85
≤60% 0.30
2.25
1
解：用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C ，用j= 1,2,3分别代表甲、乙、 丙三种糖果.设xij为第j种糖果中第i种原料的重量,则问题的数学模型为：
max z (3.4 0.5)( x11 x21 x31 ) (2.85 0.4)( x12 x22 x32 ) (2.25 0.3)( x13 x23 x33 ) 2.0( x11 x12 x13 ) 1.5( x21 x22 x23 ) 1.0( x31 x32 x33 ) x11 x12 x13 2000 x x x 2500 21 22 23 x31 x32 x33 1200 x11 0.6( x11 x21 x31 ) s.t. x12 0.3( x12 x22 x32 ) x 0.2( x x x ) 11 21 31 31 x32 0.5( x12 x22 x32 ) x33 0.6( x13 x23 x33 ) x11 , , x33 0
x2
4 3
cj z j
最优解为(3,3,0,4,0)，最大值为Z = 15
应用举例
一个经济、管理问题要满足下列条件，才能 归结为线性规划模型： (一) 要求解的问题的目标能用某种效益指标度 量大小程度,并能用线性函数描述目标的要求 (二) 为达到这个目标存在多种方案 (三) 要达到的目标是在一定约束条件下实现的, 这些条件可用线性等式或不等式描述
非基变量 当前基解
基变量
X B b B b
1
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (CB C N ) X CB X B C N X N N
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CB B 1b C N X N ~ CBb C N X N
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
1
0 0 0 1 0 0
0
1/5 -3/5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
2 0 3
3 4 3
1 0 0 0
初始单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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0 0 0
XB x3 x4 x5
b
12 16 15
x1 x4 x2
2 4 0 2 0 1 B 0 0 2 0 5 3
x3 x4 x5
1 z0 C B b C B B b
当前目标函数值
单纯形法的矩阵描述
检验数
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~ ~ (Cm1 Cn ) CB ( Pm1 Pn ) ~ m1 Cm1 CB Pm1 ~ n Cn CB Pn
当前检验数
~ N C N CB N
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例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、 丙.已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示. 问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大. 试建立这个问题的线性规划的数学模型. 上页 下页 返回
第五、七节 单纯形法的进一步讨 论和应用举例
继续
----单纯形法的矩阵描述 及应用举例
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矩阵单纯形法计算的描述 P41
线性规划问题 max z CX AX b s.t. X 0 解：化为标准型，引入松弛变量 X s
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max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0