线性规划问题总结

线性规划常见题型及解法

一、约束条件及可行域面积

1.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是 ( ) A.(0,0) B.(－1,1) C.(－1,3) D.(2，－3) 答案 C

解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选 C.

说明：如图，易求边界两条直线分别为2x-y+2=0、2x+3y-6=0，又原点（0，0）在可行 域内，分别满足不等式0-0+2≥0与0+0-6≤0。

3、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐 标分别为A (0,1)，B (－2,2)，C (2,6)，试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组.

解 由已知得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为直线AB ：x ＋2y －2 ＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0，

∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号

可得不等式组为⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋4≥0x ＋2y －2≥0

5x －2y ＋2≤0

.

4、不等式组260302x y x y y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为 （ ）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B

5．（ 06浙江）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤

≥+-≥-+

2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 (B )

二、求线性目标函数的取值范围、最值

1、若x 、y 满足约束条件222

x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩

，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值

2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A

2、若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪

+⎨⎪⎩

≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．

3

2

D ．2

【答案】

D

3．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）

A ．

531 B. 6 C. 5

23 D. 4 【答案】C ．

4．【2015高考新课标2，理14】若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪

-≤⎨⎪+-≤⎩

，

，则z x y =+的最大值为____________．

【答案】

32

【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为3

2

．学优高考网 【考点定位】线性规划．

三、求可行域中整点个数

1、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

A 、9个

B 、10个

C 、13个

D 、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)

2(0,0)2

(0,0)

x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪

⎨

-+≤<≥⎪⎪--≤<<⎩

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 3、（2007全国I ）下面给出四个点中，位于1010

x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，

表示的平面区域内的点是（ C ）

Ａ．(02)，

Ｂ．(20)-，

Ｃ．(02)-，

Ｄ．(20)，

4．已知,x y 满足不等式组230

236035150x y x y x y -->⎧⎪

+-<⎨⎪--<⎩

，求使x y +取最大值的整数,x y ．

解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(

,)84

A ，(0,3)

B -，7512(

,)1919

C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为

6319，但不是整数解，又由75019

x <<知x 可取1,2,3，

当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；

当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或3

1x y =⎧⎨=-⎩

．

四、求线性目标函数中参数的取值范围

1、已知x 、y 满足以下约束条件5

503x y x y x +≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≤⎩

，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无

数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1

解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使

目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D

2．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，

且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.

14．－2

3.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B

【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，