巧构直角三角形解题
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题（含答案）
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题知识解读在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。
解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。
培优学案典例示范例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m .（1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠F AM =13，求AM 的长.【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解；（2）有sin ∠F AM =13可以求AF ，再求AM .图3-14-1AB CDEFM跟踪训练如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）.【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题.【解答】DCB30°A图3-14-1l 1l 2例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型.【解答】ACDBFE图3-14-3跟踪训练一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）【解答】图3-14-4A BCD30°45°例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取【提示】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。
直角三角形的存在性问题解题策略
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CATALOGUE
直角三角形的存在性问题分类
直角在三角形内部
总结词
当直角位于三角形内部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直 角三角形的斜边长度。接着，根据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成 三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存在。
在题目中，有时候会隐含一些关于三角形或 角度的条件，需要仔细审题并挖掘。
举例说明
在求解三角形边长的问题时，需要注意隐含 的等腰或等边条件，这些条件可能会影响三 角形的形状和存在性。
掌握常见题型和解题方法
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常见题型
直角三角形存在性问题的 常见题型包括角度问题、 边长问题、高的长度问题 等。
直角在三角形外部
总结词
当直角位于三角形外部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长度。接着，根 据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存 在。
建立方程
根据题目条件，可以建立关于未知数 （如角度、边长等）的方程，然后求 解该方程。
解方程
解方程的方法有很多种，如代数法、 三角函数法等，选择合适的方法求解 方程。
利用数形结合思想
数形结合
将题目中的条件和图形结合起来，通过 观察图形和计算数据，找到解决问题的 线索。
VS
综合分析
综合运用数学知识和图形分析，逐步推导 和验证，最终得出结论。
解题方法
针对不同的问题类型，需 要掌握相应的解题方法， 如利用三角函数、勾股定 理、相似三角形等。
构造直角三角形解题
构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。
其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。
二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。
2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。
熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。
2017-2018学年八年级数学上册 第十三章 轴对称 微专题 巧构30°的直角三角形同步精练 (新版)新人教版
微专题 巧构30°的直角三角形【方法技巧】 遇到30°角常用的辅助线就是作垂线，构造直角三角形，将角度关系转化为边的关系来解决问题．基本图形：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ＝12BC ，CD ＝12AC ，BC ＝12AB .一、连接两点构造1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系．(导学号：58024208)【解题过程】解：连接AE ，证BE ＝AE ，∠EAC ＝90°，∴CE ＝2AE ＝2BE .2．如图，以等腰直角△ABC 的直角边AC 为边作等边△ACD ，CE ⊥AD 于E ，BD ，CE 交于点F .(导学号：58024209)(1)求∠DFE 的度数；(2)求证：AB ＝2DF .【解题过程】解：(1)易求∠BDC ＝15°，∠DCF ＝30°，∴∠DFE ＝45°.(2)证明：连接AF ，易证∠AFD ＝90°，AF ＝DF ，易求∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AF ＝2DF .二、作垂线构造3．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝30°，求证：AD ＝2BC .(导学号：58024210)【解题过程】证明：过C作CE⊥AD于E，证∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，CE＝CB，∴CD＝2BC.∵CD＝AD，∴AD＝2BC.4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC.(导学号：58024211)【解题过程】证明：过A作AE⊥CD于E，∴AC＝2AE，证△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AC＝2BC.三、延长两边构造5．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长．(导学号：58024212)【解题过程】解：延长CD，BA交于M，构造30°的直角△CBM，证△ADM是等边三角形，设AD＝AM ＝DM＝x，∴8＋x＝2(x＋2)，x＝4，∴AD＝4.。
联想出妙解——构造直角三角形解题一例
2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧.doc
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
第7讲、构造直角三角形
第七讲 构造直角三角形知识梳理1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k ≠0,k 为常数）也是勾股数。
2．判定一个三角形是否为直角三角形的步骤与方法◆步骤：① 首先确定最大边；② 计算最大边的平方及其余两边的平方和； ③ 比较最大边的平方与其余两边的平方和。
◆方法：假设三角形的三边分别为a ，b ，c ，且c 为最大边：（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
例题精讲例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状。
（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （2）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=。
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD 。
同步训练 A 组1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个。
2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(二) 巧用30 °角的直角三角形解题
思维特训(二)巧用30 °角的直角三角形解题方法点津·30°的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常考查，利用它的关键是设法构造出含有30°角的直角三角形，再利用它的性质解题．典题精练·类型之一无须构造，直接运用含30°角的直角三角形的性质解题1．如图2－TX－1①，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2－TX－1②所示．若EF＝3 m，则斜梁增加部分AE的长为()图2－TX－1A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m2．如图2－TX－2，一块含有30°角(∠ABC＝30°，∠ACB＝90°)的木制三角板是由三块宽度相等的木条拼合而成的．若木条的宽度为5 cm，求制作时拼合缝AA′的长．图2－TX－23．如图2－TX－3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4 3，AD平分∠BAC，交BC于点D.求AD的长．图2－TX－34．如图2－TX－4，在等边三角形ABC中，AB＝2，P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ ⊥AB，垂足为Q.求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．图2－TX－45．如图2－TX－5，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．该船以原速度继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里．图2－TX－5类型之二作辅助线构造含有30°角的直角三角形解题6．设计一张折叠型方桌如图2－TX－6，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使B距离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB的度数为()图2－TX－6A．60°B．90°C．120°D．150°7．在△ABC中，已知AB＝4，BC＝10，∠B＝30°，则△ABC的面积为__________．8．如图2－TX－7，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD＝15°，∠ADC＝4∠BAD，DC＝2BD.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：∠CAD ＝∠ABC .图2－TX －79．如图2－TX －8，某气象站测得台风中心在A 城正西方向300 km 的B 处，以每小时10 7 km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动．已知距台风中心200 km 的范围是受台风干扰的区域，则A 城是否会受到此次台风的干扰？为什么？若会受到台风干扰，求出A 城受台风干扰的时间．图2－TX －8类型之三 与含有30°角的直角三角形有关的分类讨论题10．已知等腰三角形的腰长为10厘米，一腰上的高为5厘米，则这个等腰三角形的顶角为____________．11．学习了三角形后，八(6)班的王老师出了这样一道题让同学们讨论：“已知一个三角形的两边长分别是6 cm 和5 cm ，其中一个内角是30°，求这个三角形的面积．”于是得到很多结果：甲同学认为面积应该是152 cm 2，乙同学认为面积应该是3（3 3－4）2cm 2，而丙同学认为面积应该是3（3 3＋4）2 cm 2等，你认为他们的说法全面吗？若你有不同的结论，请你用所学的数学知识求出其面积．详解详析1．D [解析] ∵立柱AD 垂直平分横梁BC ，∴AB ＝AC ＝4 m ．∵∠B ＝30°，∴BE ＝2EF ＝6 m ，∴AE ＝BE －AB ＝6－4＝2(m)．2．解：如图，过点A ′分别作A ′D ⊥AC 于点D ，A ′E ⊥AB 于点E .A ′D ＝A ′E ，∴AA ′平分∠CAB . ∵∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝60°， ∴∠DAA ′＝30°.∵∠ADA ′＝90°，∴DA ′＝12AA ′.∵木条的宽度为5 cm ，∴DA ′＝5 cm ，∴AA ′＝10 cm.3．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝4 3， ∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝2 3.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，AC ＝2 3， 设AD 的长为x ，则CD 的长为x2.由勾股定理，得x 2＝⎝⎛⎭⎫x 22＋(2 3)2. ∵x >0，解得x ＝4，∴AD 的长为4.4．解：设BP ＝x .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°. 在Rt △PBE 中，∵∠BPE ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°， ∴BE ＝12BP ＝12x ，则EC ＝2－12x .在Rt △EFC 中，∠FEC ＝90°－∠ACB ＝90°－60°＝30°， ∴FC ＝12EC ＝1－14x ，∴AF ＝2－FC ＝2－(1－14x )＝1＋14x .同理：AQ ＝12AF ＝12＋18x .当点P 与点Q 重合时，BP ＋AQ ＝2，即x ＋(12＋18x )＝2，解得x ＝43.故当BP ＝43时，点P 与点Q 重合．5．解：由题意，得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°，∴BC ＝2BD .∵船从B 到D 航行了2小时，船速为每小时40海里， ∴BD ＝80海里，∴BC ＝160海里．由∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，得∠ACB ＝30°， ∴AB ＝BC ，即AB ＝160海里．∵AD ＝AB ＋BD ，∴AD ＝160＋80＝240(海里)． 因此船从A 到D 一共走了240海里．6．C [解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵AD ＝50＋30＝80(cm)，DE ＝40 cm ，∴∠A ＝30°. ∵AO ＝BO ，∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠AOB ＝180°－30°－30°＝120°.故选C.7．10 [解析] 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D .∵AB ＝4，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝2.又∵BC ＝10，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×2＝10.8．解：(1)∵∠BAD ＝15°，∠ADC ＝4∠BAD ，∴∠ADC ＝60°，∴∠ABC ＝60°－15°＝45°.(2)证明：如图，过点C 作CE ⊥. 由(1)知∠ADC ＝60°，∴∠ECD ＝90°－60°＝30°，∴DC ＝2ED . ∵DC ＝2BD ，∴ED ＝BD ，∴∠DBE ＝∠DEB ＝12∠ADC ＝30°，∴∠ECD ＝∠DBE ，∠EBA ＝45°－30°＝15°＝∠BAD ， ∴AE ＝CE ＝BE ，∴△AEC 为等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠ABC . 9．解：A 城会受到此次台风的干扰．理由：如图，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，则 ∠AMB ＝90°.∵∠FBA ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝12AB ＝12×300＝150(km)．∵150<200，∴A 城会受到此次台风的干扰．以A 为圆心，200 km 为半径作弧交BF 于C 1，C 2两点，连接AC 1，AC 2，则AC 1＝AC 2. ∵AM ⊥BF ，∴C 1C 2＝2C 1M .在Rt △AMC 1中，有C 1M ＝2002－1502＝50 7(km)， ∴C 1C 2＝100 7 km ， ∴A 城受台风干扰的时间为100 710 7＝10(时)． 10．30°或150°[解析] (1)如图①所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝5厘米． ∵在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ，∴∠A ＝30°.(2)如图②所示，在△ABC ＝交BA 的延长线于点D ，且CD ＝5厘米．∵∠CDA ＝90°，CD ＝12AC ，∴∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝150°.故答案为30°或150°.11．解：不全面，应该有四种情况．(1)如图①所示，在△ABC 中，AC ＝5 cm ，AB ＝6 cm ，∠A ＝30°. 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ＝52 cm ，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×6×52＝152(cm 2)；(2)如图②所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3＋4)×3＝3（3 3＋4）2(cm 2)；(3)如图③所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 交AC 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)， ∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3－4)×3＝3（3 3－4）2(cm 2)；(4)如图④所示，在△ABC 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝52 cm ，∴AD ＝52 3 cm.在Rt △BDC 中， CD ＝BC 2－BD 2＝62－（52）2＝1192(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(52 3＋1192)×52＝5（5 3＋119）8(cm 2)．。
构造直角三角形解代数最值问题
2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。
高中数学论文走进圆中巧解直角三角形
圆中巧解直角三角形在圆的背景条件下解直角三角形，突出解直角三角形，可谓是圆搭台，直角三角形唱戏。
下面就采摘几例，供学习时参考。
1、圆搭台，巧求锐角三角函数值例1、如图1所示的半圆中，AD 是直径，且3AD =，2AC =，则s i n B 的值是 ． （2008乌鲁木齐）．方法解读：遇到锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行。
在圆中寻找直角三角形的最好办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角是直角，来完成问题的求解。
另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中，本题就是用的这两种办法。
解：因为，AD 是直径，所以，∠ACD 是直角，因此，三角形ACD 是直角三角形，所以，sin ∠ADC=AD AC =32， 因为，∠ADC ，∠B 同时对着弧AC ，所以，∠ADC=∠B ，所以，sin ∠B= sin ∠ADC=32。
例2、如图2所示，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的值等于（ ）（2008年南京市）A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB方法解读：锐角三角函数有一个特点，这就是：同角或者等角的锐角三角函数值相等。
所以，一个角三角函数值就有多种表示方法。
解：因为，AB 与⊙O 相切于点A ，OD OA ⊥，所以， 三角形COD 和三角形AOB 都是直角三角形，并且点O 、D 、A 在一条直线上，点O 、C 、D 在一条直线上，所以，∠AOB=∠DOC ，而在直角三角形COD 中，cos ∠DOC=OCOD ， 因为，⊙O 的半径为1，所以，OC=1，所以，cos ∠DOC=OD ，所以，cos ∠AOB =OD ，所以，选A 。
例3、如图3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ．（08河南省卷）方法解读：直接求难度很大，所以，在解答时，我们可以利用在同圆中，同弧上的圆周角相等，把∠AED 转接到直角三角形ABC 中的∠ABC 上，在直角三角形ABC 中，完成问题的解答。
初中数学巧构等腰直角三角形求一次函数解析式
巧构等腰直角三角形求一次函数解析式
一、复习回顾
(1)已知直线过点B（0,3）、M（-4,1），则直线BM解析式为
（2）基本图形：遇等腰直角三角形，常可过斜边两端点向过直角顶点直线作垂线构造全等三角形。
（如下图，已知△BAC是等腰直角三角形，补全两图基本图形）
二、合作探究掌握新知
任务1：如图1，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0,3），直线BC交坐标轴于B、C，且∠CBA =45°，求直线BC解析式。
任务2：如图2，点A（0,-1），B（3,0），直线BC交坐标轴于B、C，且
∠CBA =45°，求直线BC解析式。
思路总结：．
三、知识应用巩固新知
任务3：如图3，点A（4,-2），B（0,4），直线BC交坐标轴于B、C，且∠CBA =45°，求直线BC解析式。
五、能力提高训练
如图4，直线l交坐标轴于A、B两点，A（a,0）、B（0,b）,且（a-b）2+|b-4|=0,
(1)求A、B两点坐标.
（2）C是线段AB上一点,C点横坐标为3，P是y轴正半轴上一点，且∠OCP =45°，求P 点坐标.。
思维点拨：巧解三角形典型例题
思维点拨：巧解三角形典型例题【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－12BAC在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－12［180°－（∠2＋∠3）］=12（∠3+∠2）.又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.所以∠G＝∠1－∠2＝12（∠3+∠2）－∠2＝12（∠3－∠2）.所以应选C.【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，能求出∠A的度数吗？【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD 的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.解：延长BO交AC于D.因为∠BOC是三角形ODC的外角，所以∠BOC＝∠ODC+∠C.因为∠BOC=110°，∠C＝20°，所以∠ODC＝110°－20°＝90°.因为∠ODC是三角形ABD的外角，所以∠ODC＝∠A+∠B.因为∠B＝10°，所以∠A＝90°－10°＝80°.【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.解：延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.解：（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.解：（1）当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，所以∠ABD＝90°－45°＝45°.所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整.【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A 的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A 这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.解法二：设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.（1）∠A=80°，∠B=25°；（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.解：（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.（3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.1.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=12ah a=12bh b=12ch c.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，解决十分方便.解：S△ABC =12BC·AD=12AB·CE1 2×5×3=12AB·4，解得AB=154（cm）．【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD 与三角形ACD的面积之间的关系为.【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD ，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm ）.（2）因为S 三角形ABD ＝12BD×AE ，S 三角形ACD ＝12CD×AE ，而BD=CD ，所以S 三角形ABD ＝S 三角形ACD .【例14】如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.下列判断正确的有（ ）.（1）AD 是三角形ABE 的角平分线.（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线.（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高.个 个 个 个【思考与解】由∠1＝∠2，知AD 平分∠BAE ，但AD 不是三角形ABE 内的线段，所以（1）不正确；同理，BE 虽然经过三角形ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是三角形ABD 内的线段，故（2）不正确；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是三角形ACD 边AD 上的高，（3）正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC=12cm ，AC=5cm.（1）求三角形ABC 的面积.（2）求CD 的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S △=12ab （a 、b 为两条直角边的长）；②S △=12ch （c 为直角三角形斜边的长，h 为斜边上的高）.由此可知ab ＝ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.解：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=12cm ，AC=5cm ，所以S△ABC ＝12AC×BC＝30（cm2）.（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC ＝12AB×CD，即12×13×CD＝30.解得CD＝6013cm.【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为，第三个内角为x++30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：x+＋（x++30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为，第三个内角的度数为（x＋＋30°），列方程可得x+＋（x++30°）＝180°，解得x＝30°.所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC 边上的高，求∠DBC的度数.【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC 的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC＝90°.在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°－72°＝18°.。
2019勾股定理中考复习(含解析)
构造直角三角形巧解题有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.一、利用已知直角构造直角三角形例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.1（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路， 请你按照他们的解题思路完成解答过程．2如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( ) A ．(11－2)米 B ．(11－2)米 C ．(11－2)米 D ．(11－4)米图13已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．二、利用勾股定理构造直角三角形例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形.∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形，因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6.∴248621=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为34823=⨯. 31634821=⨯⨯=∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为243a .图21如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元 三、利用高构造直角三角形例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC.由等腰三角形的性质知BD=DC=21BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.解得x=47，即BP=47(cm). P 点移动的时间为47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47='C P (cm).425478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.图3四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长.解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.中考真题3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4， ∴4×ab+（a ﹣b ）2=25， ∴（a ﹣b ）2=25﹣16=9， ∴a ﹣b=3，故选：D ．8．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为（﹣1，0）．【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣4=1，∴点C的坐标为（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0），9．（2018•玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是2＜AD＜8．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范围为2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8．10．（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为2或2．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．11、（2016•哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为．11、【解答】解：①如图1，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，3．（2016·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10B．8C．6或10D．8或10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.14．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．7．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B． C．D．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=，故选：C．3. （2014•山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长222015 =25（尺）． 故答案为：2515．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 20 cm （杯壁厚度不计）． 【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B===20（cm ）．故答案为20．3．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。
直角三角形构造问题
直角三角形构造问题直角三角形，那可是几何图形里相当有个性的一种呢！就像一个站得笔直的小士兵，有一个角永远是规规矩矩的九十度，另外两个角就像是小跟班，度数加起来正好是九十度，可听话了。
咱们来说说这直角三角形的构造。
你要是想在纸上画一个直角三角形，可不能瞎画哦。
比如说，你知道了一条直角边的长度和斜边的长度，那就像你知道了去宝藏的一段路的距离和从起点到宝藏的总距离一样。
那另一条直角边的长度，就可以用一个神奇的公式算出来，这个公式就像是一把钥匙，能打开这个直角三角形边长的秘密之门。
这个公式就是勾股定理，a²+ b² = c²，这里的c就是斜边，a和b就是两条直角边。
这就好比你知道了宝藏之旅的两段路程，就可以算出剩下那段路程啦。
你要是随便乱画，就像是在没有地图的情况下在森林里乱闯，最后肯定找不到那个宝藏，也就是画不出准确的直角三角形。
再比如说，你要是只知道一个锐角的度数和一条边的长度，这就有点像你只知道去一个地方的大致方向和一段路程。
那怎么画出这个直角三角形呢？你可以先根据这个锐角的度数，确定另外一个锐角的度数，因为它们两个加起来得九十度嘛。
这就好比你知道了方向的偏差，就能算出另一个方向。
然后再根据已知的那条边的长度，利用三角函数，像正弦、余弦、正切这些，来算出其他边的长度。
这就像是根据一段已知的路程和方向的关系，算出整个路程的全貌。
要是不这么做，你画出来的三角形可能就歪歪扭扭，不成直角三角形的样子了。
有时候，我们还可以根据面积和一条直角边来构造直角三角形呢。
这就好比你知道了一块地的面积和其中一边的长度，要算出另一边的长度然后把这块地修成直角三角形的形状。
先根据面积公式，面积等于直角边相乘再除以二，那知道了面积和一条直角边，就能算出另一条直角边啦。
然后再利用勾股定理算出斜边的长度，这样直角三角形就构造出来了。
还有一种情况，要是给你三条边的长度，你得先判断这三条边能不能构成直角三角形呢。
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巧构直角三角形解题
在近几年的中考试题中，出现了一类关于解斜三角形和不规则四边形的问题，解这类问题的关键是运用“化斜为直”的数学思想方法，即将斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形，从而应用解直角三角形的知识来解决．常用的化归方法有以下几种：
一、通过添作高线转化
例1． （兰州市中考题）如图1所示，在△A BC 中，∠B ＝45°，A C ＝5，BC ＝3，求sin A 和A B ．
解：作CD ⊥A B ，D 为垂足．
在Rt △BDC 中，∠B ＝45°，
∴BD ＝CD ＝cos45°·BC ＝2·3＝2
，
∴sin A ＝CD AC ＝10．A D ＝2
．
∴A B ＝BD ＋A D ． 注 作CD ⊥A B ，构造直角三角形，这是重要的化斜为直的思想、解题的关键一步！ 例2．（福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图2所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
（A ）450a 元 （B ）225a 元
（C ）150a 元 （D ）300a 元
解：作A B 边上的高CD ，在Rt △A DC 中，
DC ＝A C·sin ∠D A C ＝30×sin30°＝15，
．
因此购买该种草皮至少需要150a 元．故选（C ）．
注 给出了草皮每平方米售价a 元，欲求购买这种草皮至少需要多少元，求出三角形的面积是关键，由于给出三角形是非直角三角形，但给出两边长和150°角，因此作两条已知边上的高均能求解，切忌从150°角顶点向对边作垂线，这样会使解题出现僵局．
二、通过连结两点构造
例3．（新疆中考题）如图3，在四边形A BCD 中，A B 、BC 、CD 、D A 的长分别为2，2，
22，且A B ⊥BC ，则∠B A D ＝__________．
解：连结A C ，则A C ＝A CD 中，
A C 2＋A D 2＝8＋4＝12＝（2＝CD 2．
即∠D A C ＝90°．又∵∠B A C ＝45°．
∴∠B A D ＝135°．
三、延长两边构造
例4．(天津市中考题)某片绿地的形状如图4所示，其中∠A ＝60°，A B ⊥BC ，A D ⊥CD ，
A B ＝200m ，CD ＝100m ，求A D 、BC 的长（精确到1m ）．
分析 根据图形特点，把图形补充完整，使四边形转化为直角三角形．连结A C 是解这类问题常见的错误，它破坏了∠A ＝60°这一条件．
解：延长A D ，交BC 的延长线于点E ．在Rt △A BE 中，由A B ＝200m ，∠A ＝60°，得
BE ＝A B·t a n A ＝，
A E ＝cos 60AB
＝400m ． 在Rt △CDE 中，∵CD ＝100m ，∠CED ＝90°－∠A ＝30°，得CE ＝2CD ＝200m ，
DE ＝CD·cos ∠CED ＝
∴A D ＝A E －DE ＝400－，
BC ＝BE －CE ＝200≈146m ．
答：A D 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．
注 添加辅助线，构造直角三角形，把残缺的图形补为完整的图形求解是解直角三角形中一类见的题型．。