概率论与数理统计(多维随机变量及其联合分布)

其它
试求P{X < Y}．
解：由联合概率密度的性质3知：P{ X Y } f ( x, y)dxdy
积分区域x < y与f(x，y)取值非零的区域的x交y 集如图.
所以 P{ X Y } f ( x, y)dxdy e(xy)dydx
x y
解：
F(x, y)
y
x
f ( x, y)dxdy



y 0
x 2e(2x y)dxdy,
0
0,
x 0, y 0 其它
(1 - e-2x )(1- e-y), x 0, y 0
0,
其它
3.1 多维随机变量及联合分布
【补充例 】设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
分布律也可写成以下表格的形式.
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
X
0
1
2
Y
0
1/7
2/7
1/21
1
2/7
4/21
0
2
1/21
0
0
(2) P{ X Y 2} P{ X 0,Y 2} P{ X 1,Y 1}
P{ X 2,Y 0} 6 . 21
P{ X 2 Y 2 1} P{ X 0,Y 0} P{ X 0,Y 1} P{ X 1,Y 0} 5 . 7
也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律．
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
…
…
…
…
…
…
xi
pi1
pi2
…
pij
…
…
…
…
…
…
…
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
联合分布律有如下性质：
(1) 非负性： pij 0, i, j 1,2,

(2) 归一性： pij 1
G
1x
1x
kx( x y)dydx kx( x y)dydx
0 x
0 x

1
x
kx2dydx 2k
1 x2dx
x
dy
2k
1 x3dx 1 k
0 x
0
0
0
2
解得 k=2
3.1 多维随机变量及联合分布
（2）设区域Ｄ为:[ Y X / 2 ]
行的花费，则(X1，X2，X3，X4)就是一个四维随机 变量．
逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还 需 要 将 (X1 ， X2 ， … ， Xn) 作 为 一 个 整 体 来 进 行 研 究．
本章中主要研究二维随机变量，二维以上的情 况可类似地进行.
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
定义3.2 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数 x，y，事件{X x}，{Y y}同时发生的概率
C2i 0.2i0.82i C2j 0.5 j0.52 j
i，j = 0，1，2．
故(X，Y)的分布律为
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
【补充例 】袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，
在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表 示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律.
为n维随机变量或n维随机向量，简记为X = (X1， X2，…，Xn)．
注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空 间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章 将不涉及这类问题．
3.1.1 多维随机变量的概念
【例3.1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感
兴趣于每个家庭（样本点）的衣食住行四个方面， 若用X1()，X2()，X3()，X4()分别表示衣食住
14 区域D∩G的面积=
13 3 44
3.1.5 常用二维分布
2. 二维正态分布
定义3.6 (X，Y)的概率密度为
f
( x,
y)

1 2 1 2
1
2
exp{
1 2(1
(x 2)[
1 )2

2 1

2
(x

1 )( y 1 2

2 )

(
y
2)2
容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质: (1) 单调性：F(x，y)分别对x或y是单调不减的，即 当 x1 x2 时，有 F ( x1, y) F ( x2, y) 当 y1 y2 时，有 F ( x, y1) F ( x, y2 )． (2) 有界性：对任意的x和y，有 0 F( x, y) 1 ，且
则 P{Y X / 2} P{( X ,Y ) D}
D f ( x, y)dxdy

f ( x, y)dxdy
D G

1
dx
x/2
2x( x y)dy
0
0
x
15/ 16.
y x
1 y x
y x/2
3.1 多维随机变量及联合分布
3.1.5 常用二维分布
(3) 二维随机变量(X，Y)落在平面上某个区域G
内的概率为
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度
【例3.5】已知随机变量X和Y的联合概率密度为
e( x y) ,0 x , 0 y
f (x, y) 0,
用Xi表示某类保险单的第i次理赔额，N表示在一个 会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y表示这一年
中对这类保单的理赔总量．建立如下理赔总量模型：
【保险中的理赔总量模型】
现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次 数为0，1，2和3，相应的概率为0.1，0.3，0.4和 0.2．每张保单可能产生的理赔额为1，2，3（万 元），相应的概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔
总量Y的概率分布，并求理赔总量超过6万元的概
率．
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及联合分布
3.1.1 多维随机变量的概念
定义3.1 如果X1()，X2()，…，Xn()是定义在同 一个样本空间 = {}上的n个随机变量，则称
X () ( X1(), X2(), , Xn())
F(, y) lim F( x, y) 0 x
F( x,) lim F( x, y) 0 y
F(,) lim F( x, y) 1 x y
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
(3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即
对任意的x0，有
求P{| X – Y | 1}．
解：设D表示区域{| x – y| 1}，由于( X，Y )的概率
密度为 所以
f
(
x,
y)

1 4
,
0,
(x, y)G 其它
P{| X Y | 1} f (x, y)dxdy 1dxdy
D:|x y|1
D G 4
=
F( x, y) P{ X x,Y y}
称为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或X与Y的 联合分布函数．
如果将二维随机变量(X，Y)看成是平面上随机 点的坐标，那么分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数 值就是随机点(X，Y)落在以点(x，y)为右上角的无 穷矩形内的概率.
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
i1 j1
求二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，关键 是写出(X，Y)所有可能取到的数对及其发生的概 率．
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
【例3.3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率
为0.2，乙每次命中率为0.5．以X、Y分别表示甲、
乙各射击两次的命中次数，试求(X，Y)的分布律．
注意，一个二元函数F(x，y)满足前三条性质时 不一定满足性质(4) ．(见例3.2)
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
定义3.3 如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可 列个数对(xi，yj)，则称(X，Y)为二维离散型随机变 量，称 P{ X xi ,Y yj } pij , i, j 1,2, 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律．
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及联合分布 3.2 二维随机变量的边缘分布 3.3 条 件 分 布 3.4 随机变量的相互独立性 3.5 二维随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布
在实际问题的研究中，只用一个随机变量往 往是不够的．
例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身 高和体重两个随机变量来描述；
1. 二维均匀分布
定义3.5 设G是平面上的一个有界区域，其面积为
A，令
f
(
x,
y)


1 A
,
0,

(x, y)G 其它
以f(x，y)为概率密度的二维随机变量(X，Y)称为服
从区域G上的均匀分布．
3.1.5 常用二维分布
【例3.7】设( X，Y )服从区域
G：{0 x 2；0 y 2}上的均匀分布，
0x
e x e ydydx e2xdx 1
0
x
0
2
3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度 【例3.6】设二维随机变量(X，Y)具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其它
求分布函数F(x，y)．

f ( x, y)dxdy

1x
f ( x, y)dxdy 0 x kx( x y)dydx
G
3.1 多维随机变量及联合分布
解:（1）由于在区域G:
y x
[0<x<1, -x<y<x]上有f(x,y)>0,
其他f(x,y)＝0．所以
0
1

y x
1 f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度 等多个随机变量；
研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资 产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变 量来描述．
本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、 理论和应用．
【保险中的理赔总量模型】
保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每 次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量．某保险 公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，
(2)求概率P{ X Y 2}, P{ X 2 Y 2 1}.
解: (1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能 取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
P{ X i,Y
j}
C2iC2jC32i j C72
,
i 0,1,2, j 0,1,2, 0 i j 2.
f
(
x,
y)

kx( x 0,

y),
0 x 1, x 其 它.
y
x,
(1) 试确定常数k;
y x
(2) 求概率P{Y X / 2}.
解:（1）由于在区域G:
0
1
[0<x<1, -x<y<x]上有f(x,y)>0,
y x
其他f(x,y)＝0．所以 1

3.1 多维随机变量及联合分布
3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度
定义3.4 如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维随 机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)可表示为
xy
F( x, y)
f (u, v)dudv

则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的概
lim
x

x
0
F
(
x,
y)

F
(
x0
,
y)
；
对任意的y0，有
lim
y y0
F
(
x,
y)

F
(
x,
y0
)
Baidu Nhomakorabea
．
(4) 非负性：对任意的a < b，c < d有
P{a X b, c Y d} F(b, d) F(a, d) F(b, c) F(a, c) 0
事实上，具有上述四条性质的二元函数F(x，y) 一定是某个二维随机变量的分布函数．
率密度，或X与Y的联合概率密度．
显然，在F(x，y)偏导数存在的点上有
f (x, y) 2F(x, y) xy
3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度
联合概率密度有如下性质：
(1) 非负性：f(x，y) 0
(2) 归一性：

f ( x, y)dxdy 1

Y
解：由题知，X、Y均X可取00，1，2．1 由于甲2、乙
是独立进行射击，所以0{X = i}0与.16{Y = j0}.3两2 事件0相.16互
独立，i，j = 0，1，2．1于是 0.08
0.16 0.08
P{X = i，Y = j} = P{X =2i}P{Y =0.0j1}
0.02 0.01