导数的四则运算法则
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1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=
f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u 'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)]
例1．求多项式函数
f(x)= a0 x a1x
n n1
an1x an 的导数。
n1
解：f ’(x)= (a0 x a1x
n
an1x an )'
n 2
a0nx
n1
a1 (n 1) x
an1
例2．求y=xsinx的导数。
解：y’=(x· sinx)’
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu) Cu. 三．函数的商的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0， 两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方，
即
f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)
1 例5．求y= · cosx的导数. x 1 解法一：y’=( x ·cosx)′ 1 1 =( )’cosx+ (cosx)′ x x
1 1 3 1 2 ( x ) cos x sin x x cos x sin x 2 x x cos x 1 cos x 2 x sin x sin x 3 x 2x x 2 x
1 x 例6．求y= 的导数. 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
3 x (1 x)(2 x) x 2 x 3 2 2 2 2 (3 x ) (3 x )
=x’·sinx+x· (sinx)’
=sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。 解：y’=(2sinxcosx)’ =2(cosx· cosx－sinx· sinx)
=2cos2x. 例4．求y=tanx的导数。
sin x )' 解：y’= ( cos x cos x cos x sin x sin x 1 2 2 cos x cos x
又∵ y’=3x2－6x＋2， ∴ k=3x02－6x0＋2，
∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0． ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x0
2－6x
3 2
1 0＋2=－ 4
，
1 综上所述，k=2或k=－ 4
1 2
1 cos x 解法二：y’=( ·cosx)’=( )′ x x
1 1 2 sin x x cos x x (cos x) x cos x( x ) 2 x ( x )2
2 x x cos x 2 x sin x 2x x x sin x 1 cos x 2 x sin x cos x 2x x
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，
即 (uv)' u' v uv'
证:
y f ( x ) u( x )v( x ),
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ),
2 2
练习题
1．函数y=sin2x的导数为（ B ） （A）y’=cos2x （B）y’=2cos2x （C）y’=2(sin2x－cos2x)
（D）y’=－sin2x
2．下列曲线在点x=0处没有切线的是 （D）
（A）y=x3＋sinx
（B）y=x2－cosx
（C）y=x
3
x +1
（D）y= x cos x
[ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g
y f g x x x
y f g f g lim lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x
2 5．曲线y=sinx在点P( , )处的切线的 4 2 2 倾斜角为 . arctan 2
6．函数 y=sinx(cosx＋1)的导数为
源自文库
y’=cos2x+cosx
.
7．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与 直线y=x＋1相切，求b，c的值．
b 1 c2
8．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相 切，试求k的值． 解： ∵ y=x3－3x2＋2x，
3．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导
函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
（C）f(x)=g(x)=0
（D）f(x)+g(x)为常数函数
4．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切 线方程为 y=x＋2 .
即 y ' ( f g ) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 f2
fn )' f1 ' f2 '
fn '
二．函数积的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，则
∴ y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相
切于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.
y0 则 k= x0
又点(x0，y0)也在曲线y=x3－3x2＋2x上,
∴
y0=x03－3x02+2x0,
y0 2 x0 3x0 2 x0
y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) l i m u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x
一．函数和（或差）的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=
f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u 'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)]
例1．求多项式函数
f(x)= a0 x a1x
n n1
an1x an 的导数。
n1
解：f ’(x)= (a0 x a1x
n
an1x an )'
n 2
a0nx
n1
a1 (n 1) x
an1
例2．求y=xsinx的导数。
解：y’=(x· sinx)’
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu) Cu. 三．函数的商的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0， 两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方，
即
f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)
1 例5．求y= · cosx的导数. x 1 解法一：y’=( x ·cosx)′ 1 1 =( )’cosx+ (cosx)′ x x
1 1 3 1 2 ( x ) cos x sin x x cos x sin x 2 x x cos x 1 cos x 2 x sin x sin x 3 x 2x x 2 x
1 x 例6．求y= 的导数. 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
3 x (1 x)(2 x) x 2 x 3 2 2 2 2 (3 x ) (3 x )
=x’·sinx+x· (sinx)’
=sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。 解：y’=(2sinxcosx)’ =2(cosx· cosx－sinx· sinx)
=2cos2x. 例4．求y=tanx的导数。
sin x )' 解：y’= ( cos x cos x cos x sin x sin x 1 2 2 cos x cos x
又∵ y’=3x2－6x＋2， ∴ k=3x02－6x0＋2，
∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0． ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x0
2－6x
3 2
1 0＋2=－ 4
，
1 综上所述，k=2或k=－ 4
1 2
1 cos x 解法二：y’=( ·cosx)’=( )′ x x
1 1 2 sin x x cos x x (cos x) x cos x( x ) 2 x ( x )2
2 x x cos x 2 x sin x 2x x x sin x 1 cos x 2 x sin x cos x 2x x
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，
即 (uv)' u' v uv'
证:
y f ( x ) u( x )v( x ),
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ),
2 2
练习题
1．函数y=sin2x的导数为（ B ） （A）y’=cos2x （B）y’=2cos2x （C）y’=2(sin2x－cos2x)
（D）y’=－sin2x
2．下列曲线在点x=0处没有切线的是 （D）
（A）y=x3＋sinx
（B）y=x2－cosx
（C）y=x
3
x +1
（D）y= x cos x
[ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g
y f g x x x
y f g f g lim lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x
2 5．曲线y=sinx在点P( , )处的切线的 4 2 2 倾斜角为 . arctan 2
6．函数 y=sinx(cosx＋1)的导数为
源自文库
y’=cos2x+cosx
.
7．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与 直线y=x＋1相切，求b，c的值．
b 1 c2
8．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相 切，试求k的值． 解： ∵ y=x3－3x2＋2x，
3．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导
函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
（C）f(x)=g(x)=0
（D）f(x)+g(x)为常数函数
4．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切 线方程为 y=x＋2 .
即 y ' ( f g ) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 f2
fn )' f1 ' f2 '
fn '
二．函数积的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，则
∴ y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相
切于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.
y0 则 k= x0
又点(x0，y0)也在曲线y=x3－3x2＋2x上,
∴
y0=x03－3x02+2x0,
y0 2 x0 3x0 2 x0
y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) l i m u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x