导数的四则运算法则
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
5.2.2导数的四则运算法则
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
四则运算与复合函数求导法则
四则运算与复合函数求导法则在微积分中，求导是一个重要的概念和工具。
通过求导，我们可以计算函数在某一点上的斜率，进而研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍四则运算和复合函数求导法则，帮助读者理解和应用这些常用的求导规则。
一、四则运算求导法则四则运算是指加法、减法、乘法和除法。
求导的四则运算法则可总结如下：1. 加减法：对于两个函数的和或差，求导后的结果等于各自函数的导数之和或差。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2. 乘法：对于两个函数的乘积，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x)3. 除法：对于两个函数的商，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即如果函数f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则有： (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))^2二、复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的复合形式，求导的复合函数法则可总结如下：1. 外函数求导后不变，内函数求导后乘上外函数对内函数的导数：若y = f(u)，u = g(x)，则y对x的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)2. 链式法则：对于一个复合函数，可以将其表示为一系列简单的函数的复合形式，利用链式法则求导，即将求导过程分解为多个简单函数的求导过程。
若y = f(u)，u = g(v)，v = h(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx = f'(u) * g'(v) * h'(x)综上所述，四则运算和复合函数求导法则是微积分中常用的工具。
课件11：1.2.3 导数的四则运算法则
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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式 求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学 一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则 若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式， 并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确 性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开 化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
5.2.2导数的四则运算法则
5284
=
，
100−
5284 ′ 0
100−
=
5284
(100−90)2
5284
× 100 − − 5284 × (−1)
=
.
2
2
(100 − )
(100 − )
= 52.84，即净化到纯净度为90%时，净化
费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
5284
′
所以 98 =
2 = 1321，即净化到纯净度为98%时，净化
′ = 2
, ′ = 1 .
；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即：
进一步, ′ = ′ + ′ = ′
′ = ′ .
ℎ′ = 3 2 , ′ ′ = 2
因此 [ ]′ ≠ ′ ′ .
同理,
′
=
′
2
′ ′
所以[
]≠ ′
()
.
=
′
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
导数的四则运算法则
1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数 （1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导 函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
4导数的四则运算法则
4导数的四则运算法则四导数的四则运算法则是微积分中基本的运算规则，用于计算函数的导数。
常用的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的具体计算法则。
1.加法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和f(x)+g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之和。
即：(d/dx)[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)2.减法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之差。
即：(d/dx)[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)3.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积f(x)*g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。
即：(d/dx)[f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4.除法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商f(x)/g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] /[g(x)]^2以上四则运算法则是微积分中的基本法则，可以通过这些法则计算各种复杂函数的导数。
在使用这些法则时，需要注意函数的定义域和需要应用的法则，并进行一定的代数化简，以得到最终的导数表达式。
举例说明：1.对于函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x-1，计算它们的和的导数：利用加法法则，有：(d/dx)[f(x) + g(x)] = (d/dx)[x^2 + 2x + 3x - 1]= (d/dx)[x^2 + 5x - 1]=2x+52.对于函数f(x)=x^3-4x和g(x)=2x^2+3，计算它们的差的导数：利用减法法则，有：(d/dx)[f(x) - g(x)] = (d/dx)[x^3 - 4x - (2x^2 + 3)]= (d/dx)[x^3 - 2x^2 - 4x - 3]=3x^2-4x-43. 对于函数f(x) = x^2 * sin(x)和g(x) = e^x，计算它们的乘积的导数：利用乘法法则，有：(d/dx)[f(x) * g(x)] = (d/dx)[x^2 * sin(x) * e^x]= (d/dx)[x^2 * sin(x)] * e^x + x^2 * sin(x) * (d/dx)[e^x]= (2x * sin(x) + x^2 * cos(x)) * e^x4.对于函数f(x)=3x^2-2x+5和g(x)=x+1，计算它们的商的导数：利用除法法则，有：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [(d/dx)(3x^2 - 2x + 5) * (x + 1) - (3x^2 - 2x + 5) * (d/dx)(x + 1)] / (x + 1)^2=[(6x-2)*(x+1)-(3x^2-2x+5)]/(x+1)^2=(3x^2+2x-7)/(x+1)^2综上所述，四导数的四则运算法则是微积分中的基本运算法则，通过这些法则可以计算各种复杂函数的导数。
4.导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则
学习 目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数. 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.
知识点一 导数运算法则
法则
语言叙述
两个函数的和(差)的导数，等于这两个函 [ff′(x)(±x)±g(xg)′]′(x＝) _____________ 数的导数的和(差)
知识点二 复合函数的导数
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b， 给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值， 这样y可以表示成x的函数 ，我们称这个函数为函数 y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作 y＝f(φ(x)) .
复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝ f′(u)φ′(x)
解 令 y＝u2，u＝sin 1x，再令 u＝sin v，v＝1x，
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin
v)′·1x′＝2u·cos
0－1 v· x2 ＝2sin
1x·cos1x
(3)y＝
1 x·cos
x；
解析答案
(4)y＝x－sin 2x·cos 2x.
解
∵y＝x－sin
x 2·cos
2x＝x－12sin x，
∴y′＝x－12sin x′＝1－12cos x.
反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知
函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差
[f(x)·g(x)]′＝ __f′__(_x)_·_g_(x_)_＋__f(_x)_·_g_′__(x_)_
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
导数的四则运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
小
结
追问： 你有哪些收获？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函
数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研
究更多函数的性质.
课后作业
1. 求下列函数的导数：
（1） = 3cos + 2 ；
（2） = e ln；
（3） = tan.
2
2. 求曲线 = +
3
在点(1,4)处的切线方程.
′ 98 = 25 ′ 90
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净
度为90%时净化费用变化快慢的25倍.
小
结
问题5 我们学习了哪些知识内容？
函数的和、差、积、商的导数运算法则.
小
结
1. 函数的和、差的导数运算法则
2sin
′
（2） () =
2
′
2sin ′ 2 − 2sin( 2 )′
=
4
2cos ⋅ 2 − 2sin ⋅ 2
=
4
2cos − 4sin
=
.
3
3
ℎ′ () = [ 2 + 2
= 2 + 2
′
]′
导数的四则运算法则
A.－2excos x
B.－2exsin x
C.2exsin x
√D.－2ex(sin x＋cos x)
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x) ＝－2ex(sin x＋cos x).
1234
2.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值是
A.139
B.136
C.133
√D.130
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
3.若函数 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3，则 f′(－1)的值为
√A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
1234
4.某物体作直线运动，其运动规律是 s＝t2＋3t (t 的单位：s，s 的单位：m)， 125
则它在第 4 s 末的瞬时速度应该为__1_6___m/s. 解析 由题意得 s＝t2＋3t ， 可得瞬时速度 v＝s′＝2t－t32， 故它在第 4 s 末的瞬时速度应该为 2×4－432＝11265 m/s.
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)；
解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y＝x2＋tan x；
解 因为 y＝x2＋csoins xx， 所以 y′＝(x2)′＋csoins xx′ ＝2x＋cos2x－scionsx2x－sin x＝2x＋co1s2x.
y′＝f′(x)＝ lim Δx→0
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。
首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。
2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。
4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。
其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。
四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。
3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。
通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。
在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中非常重要的一个内容，它们是利用导数的性质进行四则运算的基本规则。
本质上，这些规则是微分操作与代数运算之间的对应关系，它们使得我们能够灵活、高效地应用导数概念解决各种实际问题。
1. 常数倍法则：设k是常数，对于任意可导函数f(x)，有d/dx (k·f(x)) = k·(d/dx) f(x)。
它表示常数倍的函数导数等于常数倍的函数原函数的导数。
2. 常数法则：对于常数c，有d/dx(c) = 0。
它表示常数的导数等于0，因为常数在任意两点之间没有变化。
3.基本变换法则：设f(x)和g(x)是可导函数，对于任意实数a和b，有：a. d/dx (f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)，它表示函数的加减运算在取导数时可以分别取导。
b. d/dx (a·f(x) ± b·g(x)) = a·(d/dx)f(x) ±b·(d/dx)g(x)，它表示常数倍的函数的加减运算在取导数时可以先取导再进行加减运算。
4.乘积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，对于任意实数a和b，有：d/dx (u(x)·v(x)) = u(x)·(d/dx)v(x) + v(x)·(d/dx)u(x)，它表示两个函数乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
特别地，若其中一个函数是常数函数，则该法则简化为常数倍法则。
5.商法则：设u(x)和v(x)是可导函数，对于任意实数a和b（b≠0），有：d/dx (u(x)/v(x)) = (v(x)·(d/dx)u(x) -u(x)·(d/dx)v(x))/v^2(x)，它表示两个函数商的导数等于分子函数乘以分母函数的导数再减去分母函数乘以分子函数的导数，最后除以分母函数的平方。
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两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，
即 (uv)' u' v uv'
证:
y f ( x ) u( x )v( x ),
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ),
∴ y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相
切于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.
y0 则 k= x0
又点(x0，y0)也在曲线y=x3－3x2＋2x上,
∴
y0=x03－3x02+2x0,
y0 2 x0 3x0 2 x0
2 5．曲线y=sinx在点P( , )处的切线的 4 2 2 倾斜角为 . arctan 2+cosx
.
7．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与 直线y=x＋1相切，求b，c的值．
b 1 c2
8．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相 切，试求k的值． 解： ∵ y=x3－3x2＋2x，
即 y ' ( f g ) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 f2
fn )' f1 ' f2 '
fn '
二．函数积的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，则
1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=
f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u 'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)]
1 2
1 cos x 解法二：y’=( ·cosx)’=( )′ x x
1 1 2 sin x x cos x x (cos x) x cos x( x ) 2 x ( x )2
2 x x cos x 2 x sin x 2x x x sin x 1 cos x 2 x sin x cos x 2x x
3．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导
函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
（C）f(x)=g(x)=0
（D）f(x)+g(x)为常数函数
4．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切 线方程为 y=x＋2 .
y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) l i m u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x
2 2
练习题
1．函数y=sin2x的导数为（ B ） （A）y’=cos2x （B）y’=2cos2x （C）y’=2(sin2x－cos2x)
（D）y’=－sin2x
2．下列曲线在点x=0处没有切线的是 （D）
（A）y=x3＋sinx
（B）y=x2－cosx
（C）y=x
3
x +1
（D）y= x cos x
又∵ y’=3x2－6x＋2， ∴ k=3x02－6x0＋2，
∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0． ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x0
2－6x
3 2
1 0＋2=－ 4
，
1 综上所述，k=2或k=－ 4
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu) Cu. 三．函数的商的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0， 两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方，
即
f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)
1 例5．求y= · cosx的导数. x 1 解法一：y’=( x ·cosx)′ 1 1 =( )’cosx+ (cosx)′ x x
1 1 3 1 2 ( x ) cos x sin x x cos x sin x 2 x x cos x 1 cos x 2 x sin x sin x 3 x 2x x 2 x
=x’·sinx+x· (sinx)’
=sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。 解：y’=(2sinxcosx)’ =2(cosx· cosx－sinx· sinx)
=2cos2x. 例4．求y=tanx的导数。
sin x )' 解：y’= ( cos x cos x cos x sin x sin x 1 2 2 cos x cos x
例1．求多项式函数
f(x)= a0 x a1x
n n1
an1x an 的导数。
n1
解：f ’(x)= (a0 x a1x
n
an1x an )'
n 2
a0nx
n1
a1 (n 1) x
an1
例2．求y=xsinx的导数。
解：y’=(x· sinx)’
1 x 例6．求y= 的导数. 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
3 x (1 x)(2 x) x 2 x 3 2 2 2 2 (3 x ) (3 x )
[ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g
y f g x x x
y f g f g lim lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x