概率统计第3章答案()

第三章 作业一

1. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数

与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：

2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=

35147

2

222=

C C C P {X=1, Y=1 }=

3564

722

1213=C C C C P {X=1, Y=2 }=

35

64

712

2213=

C C C C P {X=2, Y=0 }=

35347

2223=

C C C P {X=2, Y=1 }=

35

124

712

1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=

353472223=

C C C P {X=3, Y=0 }=

352471233=

C C C P {X=3, Y=1 }=

35

247

1233=

C C C P {X=3, Y=2 }=0

3. 设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,

0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数；

（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=⎰

⎰

⎰

⎰

得 A

（2） 由定义，有 (3) {01,02}P X Y ≤<≤<

4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

而 所以 (2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

⎰⎰⎰⎰如图

第三章 作业二

1. 袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y . （1） 求X 与Y 的联合概率分布；

（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

(2) 因{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立

2. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1） (,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

⎰

⎰

⎰⎰如图

得

21

4

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰

3. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为

f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.

,

0,0,

2

12/其他y y e

（1）求X 和Y 的联合概率密度；

（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.

【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 2

1e ,1,

()20,y

Y y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩

其他.

故/21e

01,0,(,),()()2

0,

.

y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他

题14图

(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是

故 X 2≥Y ， 从而方程有实根的概率为：

4. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰ 所以

第三章 作业三

1. 设随机变量（X ，Y ）的分布律为

（1） 求{=2｜=2}，{=3｜=0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律；

（4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}

{2|2}{2}

P X Y P X Y P Y =====

=

（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 所以V 的分布律为

(3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 于是

(4)类似上述过程，有

2. 设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从

参数为2n ，p 的二项分布.