第6章水力学

积流量为Q=2 πr0vr，当r0→0时，保持Q不
变，这种流动称为点源流动，Q称点源强 度。
工程流体力学第6章
39
点源流的复势
设点源位于原点，以原点为 圆心，作一个半径为r的圆周, 在此圆周上只有法向速度vr, 设有切向速度vθ，则有：
Q ln r 2
工程流体力学第6章
40
Q 2
如果点源不在坐标原点，而在点z0=x0+iy0，则
证明：如图示，作A’的边界和包围A’的任一 条边界，并作割线a b和a’ b’，封闭曲线a b c b’ a’ d a所围的区域是无旋区。
v ds A 2ndA 0 abcb'a'da
工程流体力学第6章
11
分段计算曲线积分：
v ds v ds v ds v ds v ds 0
证明：
2
Q12 vxdy vydx
1
2 dy dx
1 y
x
2
d 2 1
1
工程流体力学第6章
24
(3) 在一条流线上, ψ(x,y)=常数. 证：流线方程：
dx vx
dy vy
，v x dy
v y dx
0
dy dx 0
y
x
d 0
C
工程流体力学第6章
25
4.平面流动中,φ和ψ的关系
29
求流函数ψ：
vx
y
x 4y
xy 2y2 f (x)
f (x)是待定函数，此函数只含变量x。
vy x y 4x [ y f '(x)] f '(x) 4x f (x) 2x2
xy 2y2 2x2
工程流体力学第6章
30
求速度流函数φ：
vx
x
x 4y
x2 2
W(z2) W(z1) L dW L d id iQ
工程流体力学第6章
35
3.复势的叠加原理
设W1，W2是解析函数(复势)
则W=W1+W2仍为解析函数(复势)
x
1
x
2
x
，vx
vx1
vx2
y
1
y
2
y
，vy
vy1 vy2
这种叠加后得到的流场速度为：
v v1 v2
工程流体力学第6章
第六章 平面势流和漩涡运动
工程流体力学第6章
1
6.1 流体微团运动分析 分析微元体ABCD的运动和变形。 速度引起运动，速度差引起变形。
工程流体力学第6章
2
流体微团各点速度：
点 坐标
速度
A x,y
vx，vy
B x+Δx,y D x,yΔy
vx
vx x
x,
vy
vy x
x
vx
vx y
y,
bcb'
ada'
工程流体力学第6章
12
例6.3 已知速度分布
vr 0
v r,
v
r02
r
,
r r0 r r0
试用斯托克斯定理判断：半径为r0的圆的内部 和外部是否有旋。
解:1. r≤r0,
2
0
v rd
2
0
r 2d 2r 2
流动有旋。
工程流体力学第6章
13
2. r> r0,
为了判断r> r0的区域是否有旋，作两个圆，圆 心在原点，半径分别为r0和r。并作割线ab(a’
b’)，得到封闭曲线abcb’a’d。计算此封闭曲线 的速度环量。
v ds v rd v r0d
abcb'a'da
bcb'
a'da
2 0
( r02 )rd
r
0 2
r0 r0d 2r02 2r02 0
由上可见，半径为r0的圆内是有旋区。圆外则 是无旋区。
工程流体力学第6章
36
6.5基本平面势流
本节介绍几种简单的势流. 1. 均匀直线流动
流场速度处处为v∞，方向与x轴成角α
vx v cos，vy v sin
dW dz
vx
ivy
v (cos
i sin )
W(z) v(cos i sin )z
工程流体力学第6章
37
均匀流的速度势ф和流函数ψ
W (z) i v(cos i sin )(x iy)
,
x y y x
所以 W(x,y)是解析函数，称为复位势，简称复势。
W x
x
i
x
vx ivy
由于W(z) 是解析函数，因此
dW dz
W x
vx
ivy
工程流体力学第6章
34
2.复势的性质
(1)复势的实部是φ,虚部是ψ。
W (z) (x, y) i (x, y)
(2)两点的复势之差，实部和虚部分别是过这两 点的任意一条曲线的速度环量和流量。
4xy
f1( y)
f1 (y)是待定函数，此函数只含变量y。
vy
y
y 4x 4x f '1 ( y)
f '1 ( y) y
f1 ( x)
y2 2
1 (x2 y2) 4xy
2
工程流体力学第6章
31
例 平面无旋流动的速度势为Φ=x2－y2，求ψ
解:
2
x2
2
y 2
22
0
流动不但无旋，而且不可压缩，故存在流函数ψ。
(vy vx )dxdy x y
2zdxdy
工程流体力学第6章
9
对所有面积元求和：
2nA
因此：
L v ds A 2ndA I
工程流体力学第6章
10
例6.4 已知：面积A’以外的区 域是无旋流动区域。
求证：包围A’的任意条封闭 线上的环量 等于A’边界上的 速度环量。
28
例6.6 已知速度分布：
vx x 4 y，vy y 4x
(1)验证此流场的流函数和速度势函数存在。 (2) 求流函数和速度势函数。
解： vx 1，vy 1, vx vy 0
x
y
x y
vy 4，vx 4, vy vx 0
x
y
x y
流函数和速度势函数都存在。
工程流体力学第6章
在直角坐标和极坐标中的 速度势和流函数：
vx x y ,
vr
r
r
vy y x
v
r
r
工程流体力学第6章
26
直角坐标和极坐 标的速度分量关 系式：
vx ur cos u sin , ur vx cos vy sin
vy ur sin u cos u vx sin vy cos
v (x cos y sin ) v ( y cos x sin )
流场的压强分布:
z p v2 常数
g 2g z p 常数
g
如果不计重力影响，则p=常数。
工程流体力学第6章
38
2.点源和点汇
点源的定义
设在半径为r0的圆周上，切向速度vθ=0， 法向速度vr>0，且均匀分布，圆周上的体
7
2.漩涡强度I 的定义:
I A 2ndA
3.斯托克斯定理:面积A上的漩涡强度 I 等于该面积的周边的速度环量Γ。
L v ds A 2ndA
工程流体力学第6章
8
证明：将面积A划分成若干个面积元，对某个面
积元求速度环量，则有：
vxdx (vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dyy)dx vydy
14
工程流体力学第6章
15
另一种解法：
vr
dr
v
rd
(v rd
r
)
dr
(vr
dr
(vr dr
)
d
)
v
rd
[(rv r
)
vr
]drd
2 z rddr
z
1 2r
[ (rv r
)
vr
]
工程流体力学第6章
16
求旋转角速度：
vr 0, v r
z
1 2r
(rv r
)
1 2r
(r 2 )
r
vr
0, v
W (z)
Q
2
ln(
z
z0 )
点源流的压强分布：
无穷远处的速度为零，不计重力影响,则有：
p
1 2
v 2
p，v
Q
2r
p
p
2
( Q )2
2r
工程流体力学第6章
41
点汇
如果流量Q从各方向均匀地流入一个半径为 r0的圆周内，当r0→0时而保持Q不变，则称 为点汇，Q为点汇强度。
位于点z0=x0+iy0的点汇的复势为:
W
(z)
Q
2
ln(
z
z0 )
工程流体力学第6章
42
3.点涡
点涡的定义 设在r=r0的圆周上无径向速度，切向速度均匀
分 布 ， 且 圆 周 上 的 速 度 环 量 为 Γ=2πrvθ(Γ 以
逆时钟方向为正)，当r0→0时，保持环量Γ不 变，则称为点涡，Γ称点涡强度。
工程流体力学第6章
43
点涡的复势 设点涡在坐标原点。 点涡的速度势：
在圆心位于原点,半径为r(>r0)的圆周上，则有：
vr 0,
2rv ,
v 2r
2
工程流体力学第6章
44
点涡的流函数：
vr
r
0,
v
r
2r
ln r 2
点涡的复势：
W (z) ( i ln r) ln z
2
2i
位于点z0的点涡的复势为：
W
2i
ln(
z
z0 )
19
2. 速度势函数
如果流动无旋，即：
x
1 (vz 2 y
vy z
)
z
1 (vy 2 x
vx y
)
则存在函数φ(x,y,z)，使得
vx x , vy y , vz z
Φ (x,y,z)称为速度势函数。
工程流体力学第6章
y
1 2
( vx z
vz x
)
20
速度势函数φ (x,y,z)的性质
10对不可压缩流体的无旋运动，速度势函数满足 拉普拉斯方程.
vx 6 y，vy 8x
求速度沿曲线L：x2+y2=1的速度环量:
解： L vxdx vydy L 6 ydx 8xdy
x cos，y sin
L vxdx vydy
L 6 ydx 8xdy 2 (6sin 2 8cos2 )d
0
14
工程流体力学第6章
vy
vy y
y
工程流体力学第6章
3
旋转角速度
定义微元体的转动角速度：
x
1 2
( vz y
vy z
)
y
1 2
( vx z
vz x
)
z
1 (vy 2 x
vx y
)
无旋流动： ωx = ωy = ωz =0
工程流体力学第6章
4
同理
x
1 2
( vz y
vy z
)
y
1 2
( vx z
vz x
)
涡量：
Ω 2ω
Ωx 2x，Ωy 2y，Ωz 2z
流体的无旋运动： x y z 0
工程流体力学第6章
5
6.2 速度环量Γ和漩涡强度I
速度环量Γ:在某条封闭曲线上，速度
对曲线长度的积分值。
L v ds L vxdx vydy vzdz
工程流体力学第6章
6
例6.2已知速度分布：
vx vy 0 x y
令
vx
y
,
vy
x
则该方程可得到满足,ψ(x,y)称为流函数。
工程流体力学第6章
22
流函数ψ(x,y) 的性质：
(1) 平面流动中，如果流动无旋，则ψ满足拉普 拉斯方程：
vy vx 0 x y
2
x2
2
y2
0
工程流体力学第6章
23
(2) 平面流动中，通过两点之间任一条曲线的 流量等于这两点的流函数的差值。
vx
x
2x,
vy
y
2y
y
vx 2x,
2xy f (x)
x vy
2y f '(x) 2y,
f '(x) 0, f (x) C 0
2xy
工程流体力学第6章
32
作业
6-4
6-11
工程流体力学第6章
33
6.4 平面势流的复位势
1.复位势
复数:z=x+iy
令: W (z) (x, y) i (x, y)
abcb'a'da
ab
bcb'
b'a'
a'da
v ds v ds v ds v ds v ds 0
ab
b'a'
abcb'a'da
bcb'
a'da
由于 v ds v ds 0
ab
a'b'
因此
v ds v ds 0
bcb'
a'da
即 v ds v ds
工程流体力学第6章
27
流线与等势线正交
证明：求流线的切线的斜率为，
流线: ψ(x,y)=常数
d
x
dx
y
dy
0，vxdy
vdx
0
流线切线的斜率：
k1
vy vx
等势线：φ(x,y)=常数
d
x
dx
y
dy
0，vxdx
v y dy
0
流线切线的斜率：
k2
vy vx
流线与等势线正交： k1k2 1
工程流体力学第6章
vx vy vz 0 x y z
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
20两点速度势函数之差等于过这两点的任一连线 的速度环量。
B v dl
A
B
A vxdx vydy
Bdx dy
A x y
B
A d B A
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21
3.流函数
流函数的引入 平面不可压缩流动的连续性方程为：
工程流体力学第6章
45
顺时钟方向的点涡
如果点涡的速度环量为负值，记作-Γ，称为 顺时针方向的点涡，Γ仍称为点涡强度，位 于z0=x0+iy0的点涡的复位势为
W
2i
ln( z z0 )
工程流体力学第6章
46
例6.7 试分析下列复势由那些基本势流组成。 W 2z (1 i)ln( z2 4)
r02
r
z
1 2r
(rv r
)
1 2r
(r02 )
r
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作业
6-9
6-14
工程流体力学第6章
18
6.3 速度势函数和流函数
1.平面流动的概念 在每一个与z轴相垂直的平
面上的流动情况都相同。 平面流动：流体运动轨迹
在一个平面之内。 平面流动是某些空间流动
的简化。
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