计算传热学-传热基本原理及其有限元应用

1. 传热学的发展概述

18世纪30年代首先从英国开始的工业革命促进了生产力的空前发展。生产力的发展为自然科学的发展成长开辟了广阔的道路。传热学这一门学科就是在这种大背景下发展成长起来的。导热和对流两种基本热量传递方式早为人们所认识，第三种热量传递方式则是在1803年发现了红外线才确认的，它就是热辐射方式。在批判“热素说”确认热是一种运动的过程中，科学史上的两个著名实验起着关键作用。其一是1798年伦福特(B ．T ．Rumford)钻炮筒大量发热的实验，其二是 1799年戴维(H ．Davy)两块冰块摩擦生热化为水的实验。确认热来源于物体本身内部的运动开辟了探求导热规律的途径。1804年毕渥根据实验提出了一个公式，认为每单位时间通过每单位面积的导热热量正比例于两侧表面温差，反比例于壁厚，比例系数是材料的物理性质。傅里叶于1822年发表了他的著名论著“热的解析理论”，成功地完成了创建导热理论的任务。他提出的导热定律正确概括了导热实验的结果，现称为傅里叶定律，奠定了导热理论的基础。他从傅里叶定律和能量守恒定律推出的导热微分方程是导热问题正确的数学描写，成为求解大多数工程导热问题的出发点。他所提出的采用无穷级数表示理论解的方法开辟了数学求解的新途径。傅里叶被公认为导热理论的奠基人。在傅里叶之后，导热理论求解的领域不断扩大。同样，自1823年M. Navier 提出流动方程以来，通过1845 年 G.G. Stokes 的改进，完成了流体流动基本方程的创建任务。流体流动理论是更加复杂的对流换热理论的必要前提，1909和1915年W. Nusselt 开辟了在无量纲数原则关系正确指导下，通过实验研究对流换热问题的一种基本方法。1904 年，L. Prandtl 提出的对流边界层理论使流动微分方程得到了简化，1921年 E. Pohlhausen 基于流动边界层理论引进了热边界层的概念，为对流传热微分方程的理论求解建立了基础。在辐射传热研究方面，19世纪J. Stefan 根据实验确定了黑体辐射力正比于它的绝对温度的四次方的规律，1900年M.Planck 提出的量子假说奠定了热辐射传热理论基础。上述传热理论为传热分析解析、数值以及实验研究奠定了理论基础。还要特别提到的是，由于计算机的迅速发展，用数值方法对传热问题的分析研究取得了重大进展，在20世纪70年代已经形成一个新兴分支—数值传热学。近年来，数值传热学得到了蓬勃的发展[2-4]。

2. 传热分析计算理论

热量传递主要有三种传递形式，分别是热传导、热对流和热辐射。热传导是指两个相互接触良好的物体之间的能量交换或一个物体由于其自身温度梯度而

引起的内部能量的传递。其遵循傅里叶定律[5]：dT q dx

λ=-，其中λ是热导率， dT dx

是温度梯度，q 是热流密度。热对流是指在物体与其周围介质之间发生的热量交换。热对流分为自然对流和强制对流，用牛顿冷却方程描述为()w f q h t t =-，其中h 为表面传热系数，w t 为物体表面的温度，f t 为物体周围流体的温度。一个

物体或两个物体之间通过电磁波形式进行的能量传递交换称为热辐射，通常由斯

忒藩-波尔兹曼定律计算。就物体温度与时间的变化关系而言，热量的传递过程可以区分为稳态过程（又称定常过程）与非稳态过程（又称非定常过程）两类。凡是物体的各点温度不随时间而变化的热量传递过程都称为稳态热传递过程，反之温度随时间变化的热量传递过程则称为非稳态传热过程。

2.1 基本方程

在进行传热分析时，主要用到的定律方程有能量守恒定律、动量守恒方程和质量守恒方程。能量守恒定律也是热力学第一定律，它是自然界基本的一个定律。它指出能量是不能消灭，也不能创造的，只能从一种能量形式转化为另一种能量形式，或者由一种物质传递到另一种物质，并且在这种能量转化和能量传递过程中其总量保持不变。同时，对流传热的描述还会用到动量守恒方程和质量守恒方程，动量守恒方程是描述粘性流体流动过程的控制方程。在数值模拟计算中，这些方程采用的是时均形式的微分方程。

能量守恒方程

()

p D c T T q Dt

ρφλρ=+∆+

质量守恒方程 ()

0U t ρρ∂+∇=∂ 动量守恒方程

()D U

F p U Dt ρρμ=-∇+∆

式中： ρ为流体压力；T 为流体温度；q 为流体所吸收的热量；U 为速度矢量；μ为流体的动力粘度；F 为作用在流体上的质量力，在重力场中F g =；λ为导热系数；p c 为流体的比热容；φ为能量耗散函数：

[]2

2φμε=

其中[]ε为流体的变形张量，代表流体克服粘性所消耗的机械能，他将不可逆转化为热而耗散掉；在充分发展的湍流区域，反映湍流脉动量对流场影响的湍流动能方程和湍流应力方程可以通过标准k ε-方程得到，其形式为： t k b i k

i dk k G G dt x x μρμρεσ⎡⎤⎛⎫∂∂=+++-⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦

式中：t μ为湍流粘度，2t k C μμρε=； k 为湍流动能； ε为湍流动能耗散率。

2.2 基本控制方程求解的数值方法

在利用数学方法进行热传递分析时，首先假定研究对象内各点的密度、温度、

速度等都是空间坐标的连续函数。基本控制方程数值方法求解的基本思想是：把原来在时间和空间坐标中连续的物理场比如速度场、温度场等，用有限个一系列的离散点也就是节点上的值的集合来替代，再利用一定合理的原则建立这些有关离散点的表达变量值之间关系的代数方程即为离散方程，利用数学方法来求解所建立起来的这些代数方程并求得所求解变量的近似值。图2-1表示了基本控制方程的典型求解流程。

图2-1 控制方程数值求解流程

计算流动传热常用到的数值方法主要包括：有限分析法、有限差分法、有限元法以及有限容积法。在有限元分析软件ANSYS 中的有限容积法是指将计算区域划分成很多不互相重叠的网格，并且围绕每个网格节点都有一个控制体，再将每一个控制方程都在控制体上进行积分求解，可以得到包含一组节点计算变量值的离散化方程，可以保证具有守恒性，而且离散方程系数的物理意义明确，是目前流动与传热问题的数值计算中应用得最广的一种方法。

3.有限元概述

有限元分析方法是对真实的物理系统进行近似的数学模拟，用有限个单元去逼近无限未知量的过程。有限元的概念第一次提出是1943 年Courant 为研究St.Venant 的扭转问题采用了三角形分片上的连续函数和运用最小势能的原理。有限元方法发展相当缓慢，直到1956 年，Turner，Clough，Martin 和Topp 等人第一次真正通过运用直接刚度法来确定由弹性理论的方程求出三角单元特性解决平面应力问题，并且将其写入论文进行发表。由于计算机的出现，使得复杂的平面弹性问题求解更加容易，形成了新的研究方法。“有限元法”这个名称，