基于Matlab的齿轮传动优化设计
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V = V 1+V 2 = π 2 π 2 d B1 + d 2 B 2 4 1 4
2
取设计变量 X = x1 , x2 , x3 T = [m n , z1, cos β]T ， 则目标函数即可写作
3 3 3 f ( X ) = 13 .923 x1 ⋅ x 2 ⋅ x− 3
[
]
(10)
2.2 确定约束条件 (1)小齿轮不发生根切条件：
min f ( X ) X ∈E
n
[
)] =
0
h j( X
[ຫໍສະໝຸດ Baidu
)]2
(7)
显 然 ， 当 X ∈ En 在 可 行 域 时 ， P( X , r1 , r 2 ) = f ( X ) ；否则，当 X ∈ E n 不在可行域 时， P( X , r1 , r 2 ) ≥ f ( X ) 。 通常，研究设计对象后可以建立优化数学模 型，给出合适的算法和程序，从而编制相应代码。 但常见的编程语言在代码生成方面需要很长时 间，效率较低。而基于 Matlab 优化设计工具箱解 决此类工程问题则显得尤为便捷。
[
]
对于外点罚函数法，有
0 G [g i ( X )] = [g ( X )]2 i H h j (X g i (X ) ≥ 0 g i (X ) < 0 h j (X ) = 0 h j (X ) ≠ 0
(6)
1 有约束优化设计
在同时含有不等式约束和等式约束的机械约 束优化设计中常用罚函数法。 这种方法可靠性高， 精度高，且很适合于作维数较高的设计。 考虑约束优化问题：
g 1 ( X ) = 17 − x 2 ≤ 0
(11)
(2)螺旋角条件：
g 2 ( X ) = x3 − 0 .9903 ≤ 0 g 3 ( X ) = 0. 9659 − x3 ≤ 0
(12) (13)
(3)动力传递的齿轮模数要求：
g 4 ( X ) = 2 − x1 ≤ 0
(14)
π mn B 2 2 ≈ z1 + z2 2 4 cos β
(1) (2) (3)
s.t
g i (X ) ≥ 0
i = 1, 2,..., p j = 1, 2,...,q
h j (X ) = 0
———————————— 收稿日期：2003－12－23
・２８・ 机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期
[3] 濮良贵等编．机械优化设计 [M]．西安：西北工业大学出版社， 1991，6． [4] 《机械零件设计手册》编写组．机械设计手册，上册（第二版） ． 北 京：化学工业出版社，1979． [5] 王沫然编． MATLAB6.0 与科学计算[M]．北京：电子工业出版社， 2002，2．
此即该齿轮传动（这里只计及齿轮副）的结 构体积和约束值。经计算、比较，优化后该齿轮 传动的体积（质量）较常规设计下降了 30%以上。 在命令窗口输入如下语句可清晰、形象地观
Optimal gear-driven design based on matlab JIN Xiang-shu
(Changzhou Institute of Technology Changzhou 213002， China) Abstract： Optimal theory is a practical subject, which is greatly important in modern machine design. The article researched into new method and technique of optimal gear-driven design based on subjected optimal theory and Matlab platform. Keywords ： optimal design, gear-driven, Matlab
V = 0 .8 π mn z1 4 cos β
3 3 3 mn z1 3 3 3
(1 + i2)
(9)
=13 .923
cos β
机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期 ・２９・ g(4)=2-x(1); g(5)=16-0.8*x(2)*x(3)^(-1); g(6)=0.8*x(2)*x(3)^(-1)-35; g(7)=404132*x(1)^(-1.5)*x(2)^(-1.5)*x(3)^1.5-1170; g(8)=2810702.8*x(1)^(-3)*x(2)^(-2)*x(3)^2-528.6; g(9)=2635413.4*x(1)^(-3)*x(2)^(-2)*x(3)^2-514.3; >> v=13.923*(x.^3).*(y.^3).*(z.^-3); >> slice(x,y,z,v,[2 2.3 2.5],[18 19 20],[0.9659 0.9692]); >> colorbar('horiz');
function [f,g]=gearopti(x) f=13.923*x(1)^3*x(2)^3*x(3)^-3; g(1)=17-x(2); g(2)=x(3)-0.9903; g(3)=0.9659-x(3);
图 1 斜齿圆柱齿轮传动示意图
分析该齿轮传动的布置形式及齿面性质，取 尺宽系数ψ = B d 1 = 0. 8 。因此，式（8）可化为
Ｂ１
(5)接触疲劳强度条件：
− − g 7 ( X ) = 404132 x1 2 x 2 2 x3 2 − 1017 ≤ 0 3 3 3
(17)
(6)弯曲疲劳强度条件： 小齿轮：
−3 2 2 g 8 ( X ) = 2810702 . 8 x1 ⋅ x− 2 ⋅ x 3 − 528. 6 ≤ 0 (18)
(
)
(8)
(4)尺宽的要求：
1 g 5 ( X ) = 16 − 0. 8 x2 x− 3 ≤0 1 g 6 ( X ) = 0. 8 x2 x− 3 − 35 ≤ 0
(15) (16)
式中：V 1、V 2 分别为小、大齿轮体积， mm3；d1 、 d2 分别为小、大齿轮分度圆直径，mm；z1 、z2 分 别为小、大齿轮齿数； i = n1 n2 = z 2 z1 ；B 1 、B 2 分别为小、大齿轮尺宽， mm ，为简化计算， B 1 =B2 =B；mn 为两齿轮法向模数，mm；β为齿轮 分度圆螺旋角，°。
罚函数的思想是将上述约束优化问题转化为 无约束优化问题，即
min P( X , r1 , r 2 )
X ∈ En
(4)
式中： r1 、 r2 分别为不等式约束和等式约束的罚因 子。其中，罚函数
K) (K) P(X , r1 , r 2 ) = f ( X ) + r( 1 ∑ G[g i ( X )]+ r 2 ∑ H h j ( X ) (5) p q i =1 j =1
机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期 ・２７・
基于 Matlab 的齿轮传动优化设计
金祥曙
(常州工学院 机电工程学院，江苏 常州 213002) 摘要：优化理论是一门实践性很强的学科，它在现代机械设计中占有非常重要的地位。本文以约束优化理论为基础，探 究了基于 Matlab 平台的齿轮传动优化设计的新思路和新方法。 关键词：优化设计；齿轮传动；Matlab 中图分类号：TH132.41 文献标识码：A 文章编号：1006－0316(2004)04－0027－03
所谓优化就是在处理各种事物的一切可能的 方案中寻求最优的方案。机械优化设计是把优化 理论和技术应用到机械设计中， 通过对机械零件、 机构乃至整个机械系统的优化设计，使其中某些 设计参数和指标获得最优值。绝对的最优，只有 在某些理论计算中才能达到，但对于实际的机械 优化设计，都带有一定的客观性和相对性。 Matlab 是美国 Mathworks 公司于 1967 年推 出的用于科学计算的可视化软件包。其方便、友 好的用户环境、强大的扩展能力使许多领域的科 学计算和工程应用节省时间、降低成本和提高效 率。
[1] 许镇宇，邱宣怀编．机械零件[M]．北京：高等教育出版社， 1987， 2．
Columns 4 through 6 -0.4531 -0.0545 -18.9455
[2] 黄锡恺，郑文纬编．机械原理（第六版） [M]．北京：高等教育 出版社，1989，4．
Columns 7 through 9 -0.0000 -55.8318 -71.0160
在命令窗口输入以下语句：
>> x0=[1,17,0.9903]; >> options(3)=1e-6; >> x=constr('gearopti',x0,options) x = 2.4531 19.4510 0.9692
图 2 优化目标函数 f(X)切片图
此即优化后的参数，倘要显示各项参数的中 间计算结果，可赋值 options(1)=1。显然，这种参 数须经圆整后方能使用。经圆整，主要参数值分 别为：模数 mn ＝2.5mm；齿数 z1 ＝18；分度圆螺 旋角 β = 13 °47 ′43 ′′ 。其他结构参数即可推导得出。 在命令窗口输入：
3 3 3 察到目标函数 f ( X ) = 13 .923 x1 ⋅ x 2 ⋅ x− 3 的四维切
片图。
>> [x,y,z]=meshgrid(2:.5:3,17:1:22, 0.9659:.01:0.9903);
(上接第 26 页)
[3]徐灏. 安全系数和许用应力[M]. 北京：机械工业出版社，1981. [4]R.N.Fitzgerald. Mechanics of materials. Addison Wesley，1982. [5]吕烈武. 刚结构构件稳定理论[M]. 北京：中国建筑工业出版社， 1983.
>> [f,g]=gearopti(x) f = 1.6611e+006 g = Columns 1 through 3 -2.4510 -0.0211 -0.0033
3 结论
本文建立了齿轮传动约束优化数学模型，给 出了 Matlab 计算程序及其结果。显然这种方法功 能强大，优化效果好，耗时很短，它无疑将成为 机械优化设计领域中的重要工具。 参考文献：
2 算例
现有一搅拌机的传动装置——单级斜齿圆 柱齿轮减速器。电动机功率 P =22kW，转速 n1 ＝ 970rpm。用联轴器与高速齿轮联接，传动比 i＝ 4.6，单向传动，单班制工作，寿命 10 年。试设 计一体积（或质量）最小的传动方案。 2.1 建立优化设计目标函数模型 根据所需传递的功率和扭矩，选大、小齿轮 材料均为 40Cr ，高频淬火，小齿轮齿面硬度 HRC50-55，大齿轮齿面硬度 HRC48-53；载荷系 数 K=2.0。 如图 1 所示为该斜齿圆柱齿轮减速器示意 图，两齿轮的体积（这里姑且只计及齿轮的体积， 其余零部件也可作类似设计计算）可写作
Ｉ
１
大齿轮：
2 2 g 9 ( X ) = 2635413.4 x1−3 ⋅ x− 2 ⋅ x3 − 514.3 ≤ 0 (19)
Ⅱ
２ Ｂ２
2.3 Matlab 实现 根据以上所建立的优化目标函数和约束条件 可见，这是一个具有 9 个不等式约束的三维优化 问题，利用外点罚函数法求解会得到较理想的结 果。 编制如下函数文件 gearopti.m：
令 t = δ − µδ ，将其代入上式，化为标准正态
σδ
分布函数的形式，利用其对称性，式(6)变为
R= 1 2π ∫− ∞
z t2 − e 2 dt
(7)
[6][美]H.I. 劳森. 结构分析[M]. 北京：科学出版社，1995. [7]黄洪钟 . 机械设计模糊化原理及其应用[M]. 北京：科学出版社, 1997. [8] 郭惠昕等 . 模糊约束条件隶属函数的一种确定方法及其应用 [J].
2
取设计变量 X = x1 , x2 , x3 T = [m n , z1, cos β]T ， 则目标函数即可写作
3 3 3 f ( X ) = 13 .923 x1 ⋅ x 2 ⋅ x− 3
[
]
(10)
2.2 确定约束条件 (1)小齿轮不发生根切条件：
min f ( X ) X ∈E
n
[
)] =
0
h j( X
[ຫໍສະໝຸດ Baidu
)]2
(7)
显 然 ， 当 X ∈ En 在 可 行 域 时 ， P( X , r1 , r 2 ) = f ( X ) ；否则，当 X ∈ E n 不在可行域 时， P( X , r1 , r 2 ) ≥ f ( X ) 。 通常，研究设计对象后可以建立优化数学模 型，给出合适的算法和程序，从而编制相应代码。 但常见的编程语言在代码生成方面需要很长时 间，效率较低。而基于 Matlab 优化设计工具箱解 决此类工程问题则显得尤为便捷。
[
]
对于外点罚函数法，有
0 G [g i ( X )] = [g ( X )]2 i H h j (X g i (X ) ≥ 0 g i (X ) < 0 h j (X ) = 0 h j (X ) ≠ 0
(6)
1 有约束优化设计
在同时含有不等式约束和等式约束的机械约 束优化设计中常用罚函数法。 这种方法可靠性高， 精度高，且很适合于作维数较高的设计。 考虑约束优化问题：
g 1 ( X ) = 17 − x 2 ≤ 0
(11)
(2)螺旋角条件：
g 2 ( X ) = x3 − 0 .9903 ≤ 0 g 3 ( X ) = 0. 9659 − x3 ≤ 0
(12) (13)
(3)动力传递的齿轮模数要求：
g 4 ( X ) = 2 − x1 ≤ 0
(14)
π mn B 2 2 ≈ z1 + z2 2 4 cos β
(1) (2) (3)
s.t
g i (X ) ≥ 0
i = 1, 2,..., p j = 1, 2,...,q
h j (X ) = 0
———————————— 收稿日期：2003－12－23
・２８・ 机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期
[3] 濮良贵等编．机械优化设计 [M]．西安：西北工业大学出版社， 1991，6． [4] 《机械零件设计手册》编写组．机械设计手册，上册（第二版） ． 北 京：化学工业出版社，1979． [5] 王沫然编． MATLAB6.0 与科学计算[M]．北京：电子工业出版社， 2002，2．
此即该齿轮传动（这里只计及齿轮副）的结 构体积和约束值。经计算、比较，优化后该齿轮 传动的体积（质量）较常规设计下降了 30%以上。 在命令窗口输入如下语句可清晰、形象地观
Optimal gear-driven design based on matlab JIN Xiang-shu
(Changzhou Institute of Technology Changzhou 213002， China) Abstract： Optimal theory is a practical subject, which is greatly important in modern machine design. The article researched into new method and technique of optimal gear-driven design based on subjected optimal theory and Matlab platform. Keywords ： optimal design, gear-driven, Matlab
V = 0 .8 π mn z1 4 cos β
3 3 3 mn z1 3 3 3
(1 + i2)
(9)
=13 .923
cos β
机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期 ・２９・ g(4)=2-x(1); g(5)=16-0.8*x(2)*x(3)^(-1); g(6)=0.8*x(2)*x(3)^(-1)-35; g(7)=404132*x(1)^(-1.5)*x(2)^(-1.5)*x(3)^1.5-1170; g(8)=2810702.8*x(1)^(-3)*x(2)^(-2)*x(3)^2-528.6; g(9)=2635413.4*x(1)^(-3)*x(2)^(-2)*x(3)^2-514.3; >> v=13.923*(x.^3).*(y.^3).*(z.^-3); >> slice(x,y,z,v,[2 2.3 2.5],[18 19 20],[0.9659 0.9692]); >> colorbar('horiz');
function [f,g]=gearopti(x) f=13.923*x(1)^3*x(2)^3*x(3)^-3; g(1)=17-x(2); g(2)=x(3)-0.9903; g(3)=0.9659-x(3);
图 1 斜齿圆柱齿轮传动示意图
分析该齿轮传动的布置形式及齿面性质，取 尺宽系数ψ = B d 1 = 0. 8 。因此，式（8）可化为
Ｂ１
(5)接触疲劳强度条件：
− − g 7 ( X ) = 404132 x1 2 x 2 2 x3 2 − 1017 ≤ 0 3 3 3
(17)
(6)弯曲疲劳强度条件： 小齿轮：
−3 2 2 g 8 ( X ) = 2810702 . 8 x1 ⋅ x− 2 ⋅ x 3 − 528. 6 ≤ 0 (18)
(
)
(8)
(4)尺宽的要求：
1 g 5 ( X ) = 16 − 0. 8 x2 x− 3 ≤0 1 g 6 ( X ) = 0. 8 x2 x− 3 − 35 ≤ 0
(15) (16)
式中：V 1、V 2 分别为小、大齿轮体积， mm3；d1 、 d2 分别为小、大齿轮分度圆直径，mm；z1 、z2 分 别为小、大齿轮齿数； i = n1 n2 = z 2 z1 ；B 1 、B 2 分别为小、大齿轮尺宽， mm ，为简化计算， B 1 =B2 =B；mn 为两齿轮法向模数，mm；β为齿轮 分度圆螺旋角，°。
罚函数的思想是将上述约束优化问题转化为 无约束优化问题，即
min P( X , r1 , r 2 )
X ∈ En
(4)
式中： r1 、 r2 分别为不等式约束和等式约束的罚因 子。其中，罚函数
K) (K) P(X , r1 , r 2 ) = f ( X ) + r( 1 ∑ G[g i ( X )]+ r 2 ∑ H h j ( X ) (5) p q i =1 j =1
机械 ２００４ 年第 ３１ 卷第 ４ 期 ・２７・
基于 Matlab 的齿轮传动优化设计
金祥曙
(常州工学院 机电工程学院，江苏 常州 213002) 摘要：优化理论是一门实践性很强的学科，它在现代机械设计中占有非常重要的地位。本文以约束优化理论为基础，探 究了基于 Matlab 平台的齿轮传动优化设计的新思路和新方法。 关键词：优化设计；齿轮传动；Matlab 中图分类号：TH132.41 文献标识码：A 文章编号：1006－0316(2004)04－0027－03
所谓优化就是在处理各种事物的一切可能的 方案中寻求最优的方案。机械优化设计是把优化 理论和技术应用到机械设计中， 通过对机械零件、 机构乃至整个机械系统的优化设计，使其中某些 设计参数和指标获得最优值。绝对的最优，只有 在某些理论计算中才能达到，但对于实际的机械 优化设计，都带有一定的客观性和相对性。 Matlab 是美国 Mathworks 公司于 1967 年推 出的用于科学计算的可视化软件包。其方便、友 好的用户环境、强大的扩展能力使许多领域的科 学计算和工程应用节省时间、降低成本和提高效 率。
[1] 许镇宇，邱宣怀编．机械零件[M]．北京：高等教育出版社， 1987， 2．
Columns 4 through 6 -0.4531 -0.0545 -18.9455
[2] 黄锡恺，郑文纬编．机械原理（第六版） [M]．北京：高等教育 出版社，1989，4．
Columns 7 through 9 -0.0000 -55.8318 -71.0160
在命令窗口输入以下语句：
>> x0=[1,17,0.9903]; >> options(3)=1e-6; >> x=constr('gearopti',x0,options) x = 2.4531 19.4510 0.9692
图 2 优化目标函数 f(X)切片图
此即优化后的参数，倘要显示各项参数的中 间计算结果，可赋值 options(1)=1。显然，这种参 数须经圆整后方能使用。经圆整，主要参数值分 别为：模数 mn ＝2.5mm；齿数 z1 ＝18；分度圆螺 旋角 β = 13 °47 ′43 ′′ 。其他结构参数即可推导得出。 在命令窗口输入：
3 3 3 察到目标函数 f ( X ) = 13 .923 x1 ⋅ x 2 ⋅ x− 3 的四维切
片图。
>> [x,y,z]=meshgrid(2:.5:3,17:1:22, 0.9659:.01:0.9903);
(上接第 26 页)
[3]徐灏. 安全系数和许用应力[M]. 北京：机械工业出版社，1981. [4]R.N.Fitzgerald. Mechanics of materials. Addison Wesley，1982. [5]吕烈武. 刚结构构件稳定理论[M]. 北京：中国建筑工业出版社， 1983.
>> [f,g]=gearopti(x) f = 1.6611e+006 g = Columns 1 through 3 -2.4510 -0.0211 -0.0033
3 结论
本文建立了齿轮传动约束优化数学模型，给 出了 Matlab 计算程序及其结果。显然这种方法功 能强大，优化效果好，耗时很短，它无疑将成为 机械优化设计领域中的重要工具。 参考文献：
2 算例
现有一搅拌机的传动装置——单级斜齿圆 柱齿轮减速器。电动机功率 P =22kW，转速 n1 ＝ 970rpm。用联轴器与高速齿轮联接，传动比 i＝ 4.6，单向传动，单班制工作，寿命 10 年。试设 计一体积（或质量）最小的传动方案。 2.1 建立优化设计目标函数模型 根据所需传递的功率和扭矩，选大、小齿轮 材料均为 40Cr ，高频淬火，小齿轮齿面硬度 HRC50-55，大齿轮齿面硬度 HRC48-53；载荷系 数 K=2.0。 如图 1 所示为该斜齿圆柱齿轮减速器示意 图，两齿轮的体积（这里姑且只计及齿轮的体积， 其余零部件也可作类似设计计算）可写作
Ｉ
１
大齿轮：
2 2 g 9 ( X ) = 2635413.4 x1−3 ⋅ x− 2 ⋅ x3 − 514.3 ≤ 0 (19)
Ⅱ
２ Ｂ２
2.3 Matlab 实现 根据以上所建立的优化目标函数和约束条件 可见，这是一个具有 9 个不等式约束的三维优化 问题，利用外点罚函数法求解会得到较理想的结 果。 编制如下函数文件 gearopti.m：
令 t = δ − µδ ，将其代入上式，化为标准正态
σδ
分布函数的形式，利用其对称性，式(6)变为
R= 1 2π ∫− ∞
z t2 − e 2 dt
(7)
[6][美]H.I. 劳森. 结构分析[M]. 北京：科学出版社，1995. [7]黄洪钟 . 机械设计模糊化原理及其应用[M]. 北京：科学出版社, 1997. [8] 郭惠昕等 . 模糊约束条件隶属函数的一种确定方法及其应用 [J].