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江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期开学收心检测数学试题

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2019-2020学年江苏省徐州市第一中学高二下学期开学收心检测数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省徐州市第一中学高二下学期开学收心检测数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省徐州市第一中学高二下学期开学收心检测数学试题一、单选题1．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A【解析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 2．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，15p =，则方差()D X 等于( ) A ．35B ．45C ．125D ．2【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望()3E X np ==,所以二项分布的方差()()()121315D X np p p =-=-=，应填选答案C ． 3．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ） A ．210- B ．120-C ．120D ．210【答案】B【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案．由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题． 4．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab 的值为（ ） A ．23-B ．23C ．13D ．13-【答案】A【解析】由条件可得(1)10(1)0f f =⎧⎨'=⎩，解出,a b 后再检验.【详解】由()3227f x x ax bx a a =++--得()232f x x ax b '=++因为函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10所以(1)10(1)0f f =⎧⎨'=⎩，即21710320a b a a a b ⎧++--=⎨++=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩①当2,1a b ==时()()()2341311f x x x x x '=++=--当113x <<时()0f x ¢<，当1x >时()0f x ¢> 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，与题意不符②当6,9a b =-=时()()()23129313f x x x x x '=-+=--当13x <<时()0f x ¢<，当1x <时()0f x ¢>所以函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意 则6293a b =-=-【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求出,a b 后检验是关键，否则容易产生多的根. 5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中（新球用完后即成旧球），此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为()P X k =，则()5P X =的值为（ ）A ．2755B ．1335C ．315D ．1127【答案】A【解析】由条件可得当5X =时表示的是取出的3个球中有2个新球和1个旧球，然后求出即可. 【详解】因为从盒子中任取3个球来用，用完装回盒中，此时盒中旧球个数5X = 即旧球的个数增加了2个所以取出的3个球中有2个新球和1个旧球所以()219331227555C C P X C === 故选：A 【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.6．凤鸣山中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(),i i x y （1,2,3,i n =L ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本的中心点(),x yC ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg . 【答案】D【解析】根据回归直线方程可以判断y 与x 具有正线性相关关系，回归直线过样本的中心点(),x y ，该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，该中学某高中女生身高为160cm ，只能估计其体重，不能得出体重一定是多少.根据回归直线方程ˆ0.8585.71y x =-，但看函数图象是单调递增，可以判断y 与x 具有正线性相关关系，所以A 选项说法正确；回归直线过样本的中心点(),x y ，所以B 选项说法正确；根据斜率得该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，所以C 选项说法正确；该中学某高中女生身高为160cm ，根据回归直线方程只能估计其体重，D 选项说“可断定其体重必为50.29kg ”，这种说法错误. 故选：D 【点睛】此题考查线性回归直线相关概念辨析，考查基础知识的掌握情况.7．已知函数()221xx x f x e+-=，若过原点的直线l 与曲线()y f x =有三个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,2e【答案】B【解析】首先利用导数得出()y f x =的单调性，然后画出其图象，然后根据导数的几何意义求出过点O 与曲线()y f x =相切的直线的斜率即可. 【详解】由()221x x x f x e +-=可得()()()2222213x x x x x x f x e e--+--+'==所以当x <x >()0f x ¢<，函数()f x 单调递减当x <()0f x ¢>，函数()f x 单调递增当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()0f x → 所以函数()f x 的图象如下：设过点O 与曲线()y f x =相切的直线的斜率为k ，切点为()00,P x y则由导数的几何意义可得()02003x x k f x e-+'== 所以020020000213x x x x x y e e x x +--+==，即()220000321x x x x -+=+- 即3200010x x x +--=，即()()200110x x -+=，解得01x =±当01x =时，()21k f e '==；当01x =-时，()12k f e '=-=； 如图，切线1l 的斜率为12k e=，切线2l 的斜率为22k e =则当20,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与曲线()y f x =有三个交点故选：B 【点睛】本题考查的是利用导数求函数的单调性及导数的几何意义，用到了数形结合的思想，属于中档题.8．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费=基准保费⨯（1+与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别浮动因素浮动比率为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（ ） A ．a 元 B ．0.958a 元C ．0.957a 元D ．0.956a 元【答案】D【解析】一辆品牌车在第四年续保时的费用X 的可取值有0.9,0.8,0.7,,1.1,1.2a a a a a a ，然后根据表格算出对应的概率即可【详解】由题意可知，一辆品牌车在第四年续保时的费用X 的可取值有0.9,0.8,0.7,,1.1,1.2a a a a a a ，且对应的概率分别为：()200.90.2100P X a === ()100.80.1100P X a ===()100.70.1100P X a ===()380.38100P X a === ()201.10.2100P X a ===()21.20.02100P X a ===所以0.90.20.80.10.70.10.38 1.10.2 1.20.02EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.956a =故选：D 【点睛】本题考查的是随机变量的分布列及期望，文字语言较多，仔细审题是解题的关键.二、多选题9．下列说法中不正确的是（ ）A ．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数B ．若()()22132i a a a -+++（a ∈R ）是纯虚数，则实数1a =± C ．设a ，b ，c ，d ∈R ，若iia b c d ++（i 0c d +≠）为实数，则0bc ad -= D ．若i 为虚数单位，图中复数平面内的点Z 表示复数z ，则表示复数()1i z +的点是H 【答案】AB【解析】由虚轴上的点除原点外均表示纯虚数得A 错误，由()()22132ia a a -+++（a ∈R ）是纯虚数得2210320a a a ⎧-=⎪⎨++≠⎪⎩，解出1a =知B 错误，由()()()()()22i i i i a b c di ac bd bc ad ia b c d c d c di c d +-++-+==++-+得C 正确，由()()()1i 21i 3z i i +=-+=+得D 正确【详解】在复平面内，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，故A 错误 若()()22132i a a a -+++（a ∈R ）是纯虚数，则2210320a a a ⎧-=⎪⎨++≠⎪⎩，解得1a =，故B 错误 ()()()()()22i i i i a b c di ac bd bc ad ia b c d c d c di c d +-++-+==++-+ 所以若iia b c d ++（i 0c d +≠）为实数，则有0bc ad -=，故C 正确 图中复数平面内的点Z 表示复数2z i =-，因为()()()1i 21i 3z i i +=-+=+，所以对应的点为()3,1，即为H 点 故D 正确 故选：AB 【点睛】本题考查的是复数的运算及复数的几何意义，较简单.10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C - 【答案】ABD【解析】若任意选择三门课程，选法总数为37C ，若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C +，若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为1221125255C C C C C +-.【详解】若任意选择三门课程，选法总数为37C ，故A 错误若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C +，故B 错误 若物理和历史不能同时选，选法总数为321725C C C -，故C 正确若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为1221125255C C C C C +-故D 错误故选：ABD 【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单.11．对某两名高三学生连续9次数学测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图.下列有关这两名学生数学成绩的分析中，正确的结论是（ ）A ．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分B ．根据甲同学成绩折线图中的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[]110,120内C ．乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关D ．乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 【答案】BCD【解析】观察甲、乙同学的成绩折线图即可得出答案 【详解】由甲同学的成绩折线图可得甲同学的成绩最高分为130分，平均成绩在区间[]110,120内故A 错误，B 正确由乙同学的成绩折线图可得乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性， 且为正相关，乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 故C 、D 正确 故选：BCD 【点睛】本题考查的是统计的相关知识，较简单. 12．下列不等式中正确的是（ ） A ．ln 332< B ．ln eππ<C ．15215< D ．3eln 242>【答案】AC【解析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()(23f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>2ln 3>=，故A 正确②ff>>，所以可得ln π>B 错误③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152=>所以ln15ln >15<，故C 正确④()f f e <lne e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 错误 故选：AC 【点睛】本题考查的是构造函数，利用函数的单调性比较大小，解题的关键是函数的构造和自变量的选择，属于较难题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种． 【答案】36【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有166C =种；复活选手中挑选1名选手，选法有16C 种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6636⨯=种．故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 14．已知函数()21x a f x x +=+（a ∈R ）的值域是1,4m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则常数a =______，m =______.【答案】341 【解析】由21x a y x +=+得20yx x y a -+-=，由()140y y a ∆=--≥得24410y ay --≤，然后可得1,4m -是方程24410y ay --=的两个根，然后利用韦达定理算出即可 【详解】 由21x a y x +=+得2yx y x a +=+，即20yx x y a -+-= 当0y =时，x a =-当0y ≠时，()140y y a ∆=--≥，即24410y ay --≤因为函数()21x a f x x +=+（a ∈R ）的值域是1,4m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以1,4m -是方程24410y ay --=的两个根所以由韦达定理得14m a -+=，1144m -⨯=- 从而解得31,4m a ==故答案为：34，1 【点睛】本题考查的是利用∆法求函数的值域，属于中档题.15．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．【答案】514【解析】由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数28C ，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解. 【详解】从八卦中任取两卦，共有2828C =种取法若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算； 当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法. 当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有339⨯=种取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1910+=种. 则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为1052814p == 【点睛】本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题．16．设函数2()ln 2f x x x x =-+, 若存在区间[]1,,2⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭a b ，使()f x 在[],a b 上的值域为[](2),(2)++k a k b , 则k 的取值范围为_______________________. 【答案】92ln 2(1,]10+ 【解析】()()1'2ln 1,''2f x x x f x x =-+=-,所以当12x ≥时，()()''0,'f x f x ≥∴在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()11''2ln 0,22f x f f x ⎛⎫≥=->∴ ⎪⎝⎭在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，[]()1,,,2a b f x ⎡⎫⊆+∞∴⎪⎢⎣⎭Q 在[],a b 上单调递增，()f x Q 在[],a b 上值域为()()()()()()22,2,2f a k a k a k b f b k b ⎧=+⎪⎡⎤++∴⎨⎣⎦=+⎪⎩，所以方程()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解,a b ，作出()y f x =与直线()2y k x =+的函数图象，则两图象有两交点.若直线()2y k x =+过点191,ln 2242⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则92ln 210k +=，若直线()2y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为()00,x y ，则()0020000002ln 22ln 1y k x y x x x x x k⎧=+⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =，92ln 2110k +∴<<，故答案为92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】已知函数有零点个数（方程根的个数）求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.四、解答题17．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z 2． （I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 【答案】（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【解析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和12z =列方程组，解方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11mz n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ， ∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z |=2，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1mi n i i +--=+-+，∴12112mn m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩．【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.18．如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Scm ．设AOC xrad ∠=．（1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】（1）()8001600sin 0S x x x π=+<<；（2）23π. 【解析】（1）求出扇形区域AOC 、三角形区域COD 的面积，即可求出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论． 【详解】（1）由题意，()()1140404080sin 8001600sin 022S x x x x x ππ=⋅⋅+⋅⋅⋅-=+<<；（2）()8001600cos 80012cos S x x '=+=+，0x <<πQ ，令()0S x '=，得23x π=. 当203x π≤<时，0S '>；当23x ππ<<时，0S '<.所以，当23x π=时，S 取得最大值)216003m π+. 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表【答案】（1）见解析；（2）（i ）男生有6人，女生有4人. （ii ）见解析 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i ）由男女生所占的比例直接求解；（ii ）分别求得X 不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可. 【详解】 （1）由22⨯列联表中数据，计算得到2K 的观测值为()2200602030901505090110k ⨯-⨯=⨯⨯⨯2006.061 5.02433=≈>. 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i ）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人. （ii ）X 的可能取值为0，1，2；()26210103C P X C ===，()11642108115C C P X C ===，()242102215C P X C ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题．20．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1（1）记杨辉三角的前n 行所有数之和为n T ，求n T 的通项公式；（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（3）已知n ，r 为正整数，且3n r ≥+.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，1C r n +，2C r n +，3C r n +不能构成等差数列.【答案】（1）21n n T =-（2）存在；第62行（3）证明见解析【解析】（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第1n -行的n 个数的和为：0111111C C C 2n n n n n n S -----=+++=L ，然后求出n T 即可 （2）由方程1C 3C 14k nk n k n k -==-+，145C C 1k n k n k n k ++==-解出即可 （3）若有n ，r （3n r ≥+），使得C r n ，1C r n +，2C r n +，3C r n +成等差数列，则由等差中项和组合数的知识可得出23n r =+，然后可得31223232323C C C C r r r r r r r r +++++++=<=，这与C r n ，1C r n +，2C r n +，3C r n +成等差数列相矛盾.【详解】（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第1n -行的n 个数的和为：0111111C C C 2n n n n n n S -----=+++=L ， ∴2112122221n n n n T S S S -=+++=++++=-L L .（2）杨辉三角形的第n 行由二项式系数C kn ，0k =，1，2，…，n 组成.如果第n 行中有1C 3C 14k nk n k n k -==-+，145C C 1k n k n k n k ++==-， 那么373n k -=-，495n k -=， 解这个联立方程组，得27k =，62n =.即第62行有三个相邻的数2662C ，2762C ，2862C 的比为3:4:5.（3）若有n ，r （3n r ≥+），使得C r n ，1C r n +，2C r n +，3C r n +成等差数列， 则122C C C r rr n n n ++=+，2132C C C r r r nn n +++=+，即()()()()()2!!!1!1!!!2!2!n n n r n r r n r r n r ⋅=++---+--， ()()()()()()2!!!2!2!1!1!3!3!n n n r n r r n r r n r ⋅=++--+--+--.所以有()()()()()()21111112r n r n r n r r r =++-----++， ()()()()()()211222123r n r n r n r r r =++------++，经整理得到()()2454220n r n r r -++++=，()()()24941320n r n r r -+++++=.两式相减可得23n r =+而由二项式系数的性质可知31223232323C C C C r r r r r r r r +++++++=<=，这与23C r r +，123C r r ++，223C r r ++，323C r r ++成等差数列矛盾， 所以原命题得证. 【点睛】本题考查的知识点有：等比数列的求和公式、等差数列、二项式系数的性质、组合数的计算，属于中档题.21．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x>，取*21,21k x k N k +=∈-ln(21)ln(21)k k >+--，而=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x '---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x+->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)n k n k k k π==>+--=+∑11ln(21)()2n i x n N *=∴>+∈. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22．绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y ，求()E Y ；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为(1,2,,50)n P n =L ，其中01P =，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈….【答案】（1）300；（2）（i ）0.8186；（ii ）8.186；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ．（2）（ⅰ）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得[]1(200350)(200400)(250350)2P X P X P X <=<+<剟?． （ⅱ）依题意有~(10,0.8186)Y B ，再利用二项分布的期望公式计算可得； （3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论．【详解】（1）0.002502050.004502550.009503050.00450x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯3550.00150405300+⨯⨯=（千米）.（2）（i ）由()2~300,50X N .[]1(200350)(200400)(250350)2P X P X P X ∴<=<+<剟? 0.95450.68270.477250.341350.818622=+=+=. （ⅱ）依题意有~(10,0.8186)Y B ，所以()8.186E Y =.（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种； ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -.②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -. 211122n n n P P P --∴=+，()11212n n n n P P P P ---∴-=--. 149n ∴剟时，数列{}1n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列． 1112P ∴-=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. ()()()11121001122n n n n n n n P P P P P P P P ----⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L112⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭(0,1,,49)n =L . ∴获胜的概率504921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 失败的概率4949504811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 50494849502111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ∴获胜的概率大. ∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题(含解析)_1

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题(含解析)_1

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一､单项选择题(本大题共9小题，共45.0分)1.设命题.则为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题，故命题.则为.本题选择C选项.2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选A．【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图所给数据逐一分析．【详解】甲中位数是28，乙中位数是29，乙高，①错；甲均分为，乙均分为，甲低，②正确；甲方差为，乙方差为，乙更稳定，③正确，④错．因此正确的是②③．故选：C．【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体特征，解题时根据所给数据求出各样本数据特征即可．4.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.6.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.8.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，故，，两边除以得，解得9.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.二､多项选择题(本大题共3小题，共15.0分)10.下列说法中正确的是（）A. 若事件与事件是互斥事件，则B. 若事件与事件是对立事件：则C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】【分析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，，关于直线对称，正确；对于，当时，，，，正确；对于，当时，，，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（）A. B. 平面平面C. 直线平面D.【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质知正确；根据面面垂直的判定可知在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；根据可知与平面相交，错误；由正六边形特点和长度关系可确定正确.【详解】对于，平面，平面，，又底面为正六边形，，，平面，平面，又平面，，正确；对于，平面，平面，平面平面，同理可得：平面平面，则在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；对于，，平面，与平面也相交，错误；对于，，底面为正六边形，，在中，，，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系等命题的辨析；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，属于常考题型.三､填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应的基本事件个数，即可求出对应概率.【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有种情况；这两位同学参加同一个兴趣小组共有种情况，因此，这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14.已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】条件p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0<x<1.条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，根据包含关系可得a⩽0.则实数a的取值范围是：(−∞,0].故答案为(−∞,0].15.若数列满足，且，则______.【答案】【解析】【分析】利用累乘的方式可求得，代入即可求得结果.【详解】，时，，，即，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累乘法求解数列通项公式及数列中的项的问题，关键是明确当递推关系式满足时，采用累乘法可求得通项公式.16.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】依据题意作出图形，由抛物线定义得：点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值可转化成求点到直线距离问题，再由点到直线距离公式得解．【详解】依据题意作出图形，点到直线的距离与其到轴的距离之和为：，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可得：，所以的最小值问题可转化成的最小值问题.由图可得：的最小值就是点到直线距离，又,所以点到直线距离为：，所以点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及抛物线的简单性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式: ，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．试题解析：（1）由数据求得由公式求得再由所以关于的线性回归方程为.（2）当时, , ；同样, 当时, ,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.18.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；（2）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．【答案】（1）a＝0.006；76；（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a，设中位数为m，根据中位数平分直方图的面积求解.（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，列举出[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件的种数，再找出其中2人评分都在[50，60）内的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.详解】（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，解得a＝0006．由频率分布直方图，可设中位数为m，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝0.5，解得中位数m＝76．（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，故此2人评分都在[50，60）的概率为．【点睛】本题主要考查样本估计总体和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，､分别为､的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，可证得，得到四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）由线面垂直的性质、矩形的特点和线面垂直的判定定理可证得平面，由此得到，由等腰三角形三线合一得到，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理，结合平行关系即可证得结论.【详解】（1）取中点，连结､.是的中点，且，又底面为矩形，是中点，且，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）底面，平面，，又底面为矩形，，，平面，平面，平面，，，为中点，，又，平面，平面，由（1）知：，平面，又面，平面平面.【点睛】本题考查立体几何中线面平行、面面垂直关系的证明；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，考查学生的逻辑推理能力.20.已知数列的前项和为，且满足，.（1）证明：数列为等比数列.（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）利用可得到递推关系式，由此得到，求得后可确定首项，由此证得结论；（2）由等比数列通项公式求得后，可整理得到，采用分组求和的方式，结合错位相减法和等差数列求和公式可求得结果.【详解】（1），则当时，，两式相减得：，，即：，，又时，，解得：，，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，，又，，，设，则，两式相减可得：，，又，.【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等比数列、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是对数列进行分组求和时，需根据分组情况，对于两组分别采用错位相减法和等差数列求和公式来进行求和，要求学生对于数列求和的方法能够熟练掌握.21.在平面四边形中，已知，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中，即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，, .所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.22.已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）斜率之和为定值【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以①，将代入椭圆方程化简得：，因为直线与椭圆相切，所以②，解①②可得，，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设点，则有，由题意可知，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得：由题意可知③，通分后可变形得到将③式代入分子，所以斜率之和为定值.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一､单项选择题(本大题共9小题，共45.0分)1.设命题.则为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题，故命题.则为 .本题选择C选项.2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选A．【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图所给数据逐一分析．【详解】甲中位数是28，乙中位数是29，乙高，①错；甲均分为，乙均分为，甲低，②正确；甲方差为，乙方差为，乙更稳定，③正确，④错．因此正确的是②③．故选：C．【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体特征，解题时根据所给数据求出各样本数据特征即可．4.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.6.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.8.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，故，，两边除以得，解得9.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.二､多项选择题(本大题共3小题，共15.0分)10.下列说法中正确的是（）A. 若事件与事件是互斥事件，则B. 若事件与事件是对立事件：则C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】【分析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，，关于直线对称，正确；对于，当时，，，，正确；对于，当时，，，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（）A. B. 平面平面C. 直线平面D.【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质知正确；根据面面垂直的判定可知在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；根据可知与平面相交，错误；由正六边形特点和长度关系可确定正确.【详解】对于，平面，平面，，又底面为正六边形，，，平面，平面，又平面，，正确；对于，平面，平面，平面平面，同理可得：平面平面，则在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；对于，，平面，与平面也相交，错误；对于，，底面为正六边形，，在中，，，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系等命题的辨析；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，属于常考题型.三､填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应的基本事件个数，即可求出对应概率.【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有种情况；。

学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文（含解析）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共60分，每小题5分）1. 下列复数中，是实数的是（）A. 1+iB. i2C. -iD. mi【答案】B【解析】【分析】本题先判断1+i是虚数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数，再给出答案.【详解】解：1+i是虚数，不是实数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数.故选：B.【点睛】本题考查复数分类，是基础题2. 已知，，，，，…，则( )A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】由题意可得，，，，则，，，，，故选C.3. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=A. 1+2iB. 12iC.D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，故，则，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；【答案】C【解析】【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6. 用反证法证明命题“若，则且”时的假设为（）A. 且B. 或C. 时，时D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】先判断命题的结论，再写出它的反面，最后给出答案.【详解】解：命题结论为“且”，它的反面为：或，用反证法证明命题“若，则且”时的假设为或.故选：B.【点睛】本题考查反证法的假设，是基础题7. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.8. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第（）号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：观察不难发现，经过四次变换后又回到原位，用202除以4，根据余数的情况解答即可．解：由图可知，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵202÷4=50…2，∴第202次互换座位后，与第2次的座位相同，小兔的座位号为2．故选B点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得到经过四次变换后又回到原位是解题的关键．9. 命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误【答案】C【解析】【分析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【详解】解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限循环小数，以及整数，大前提是错误的，得到的结论是错误的，在以上三段论推理中，大前提错误故选：．【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．10. 下面四个推理不是合情推理的是（）A. 由圆的性质类比推出球的有关性质B. 由三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是，归纳出凸n边形的内角和是C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和是【答案】C【解析】【分析】根据合情推理包括类比推理与归纳推理，合情推理的结论不一定正确，对选项中的命题进行分析、判断即可得出结论．【详解】解：对于A，由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，属于合情推理；对于B，由三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，得出凸边形内角和是，是归纳推理，为合情推理；对于C，某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分，是由特殊到特殊的推理过程，故C不是合情推理；对于D，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，推出所有三角形的内角和都是，是归纳推理，属于合情推理；故选：．【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理的应用问题，合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确；在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性11. 命题“对于任意角θ，”的证明：“”，其过程应用了A. 分析法B. 综合法C. 综合法、分析法综合使用D. 间接证法【答案】B【解析】【分析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论．【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A. （–∞，1）B. （–∞，–1）C. （1，+∞）D. （–1，+∞）【答案】B【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每小题5分）13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______．【答案】37，f(n)=3n2-3n+1【解析】解：（1）由于f（2）-f（1）=7-1=6，f（3）-f（2）=19-7=2×6，f（4）-f（3）=37-19=3×6，所以f（4）=37f（5）-f（4）=61-37=4×6，因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n2-3n+1 15. 三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为___________.【答案】三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【解析】【分析】本题运用类比推理直接得到答案即可.【详解】根据类比推理，可以直接推出原来三角形的性质为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.故答案为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【点睛】本题考查类比推理，基础题.16. 已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将代入进行整体代换和合理拆项得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出的取值范围.【详解】解：由题意知，两个正数，满足，则，则，当时取等号，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 计算:（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】直接利用复数的乘除运算法则以及复数单位的幂运算化简求解即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．18. 已知数列中，.（1）求；（2）归纳猜想通项公式.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由分别代入递推关系，即可得答案；（2）根据前几项的特点，分母为，即可得答案；【详解】（1）当时，，当时，，当时，；（2）根据数列前几项的特点可得：；【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的项、不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 19. 己知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.【详解】（1）由题意得：，，又，在处的切线方程为，即.（2）由（1）知：，当时，；当时，；的单调递减区间为，.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.20. 已知，求证：至少有一个不大于.【答案】见解析【解析】【分析】至少有一个不大于可反设都大于，运用均值不等式及同向不等式相加的性质即可推出矛盾.【详解】假设因为矛盾，所以假设不成立所以至少有一个不大于.21. 如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为,.求证：（1）平面（指出所有大前提、小前提、结论）;（2）（用分析法证明）.【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解【解析】【分析】（1）先证明点是的中点，再证明，最后证明平面即可；（2）先分析到要证明：，只需证：（显然成立），，，再分别用分析法证明、即可得证.【详解】（1）证明：平面四边形的对角线相互平分，……大前提四边形是平行四边形，……小前提所以点是的中点，……结论三角形的中位线平行与底边，……大前提在中，点是的中点，点是的中点，是三角形的一条中位线，……小前提所以，……结论平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行，……大前提，平面，平面，……小前提平面，……结论（2）要证明：，只需证：平面只需证：（显然成立），，；要证明：，只需证：四边形是正方形，只需证：（已知显然成立），（直三棱柱中显然成立）所以；要证明：，只需证：平面只需证：（显然成立），（已知），（直三棱柱中显然成立）所以；所以（显然成立），（已证），（已证），所以【点睛】本题考查利用三段论证明线面平行、利用分析法证明线线垂直，是中档题.22. 选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．考点：推理证明．学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文（含解析）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共60分，每小题5分）1. 下列复数中，是实数的是（）A. 1+iB. i2C. -iD. mi【答案】B【解析】【分析】本题先判断1+i是虚数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数，再给出答案.【详解】解：1+i是虚数，不是实数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数.故选：B.【点睛】本题考查复数分类，是基础题2. 已知，，，，，…，则 ( )A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】由题意可得，，，，则，，，，，故选C.3. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=A. 1+2iB. 12iC.D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，故，则，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；【答案】C【解析】【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6. 用反证法证明命题“若，则且”时的假设为（）A. 且B. 或C. 时，时D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】先判断命题的结论，再写出它的反面，最后给出答案.【详解】解：命题结论为“且”，它的反面为：或，用反证法证明命题“若，则且”时的假设为或.故选：B.【点睛】本题考查反证法的假设，是基础题7. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.8. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第（）号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：观察不难发现，经过四次变换后又回到原位，用202除以4，根据余数的情况解答即可．解：由图可知，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵202÷4=50…2，∴第202次互换座位后，与第2次的座位相同，小兔的座位号为2．故选B点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得到经过四次变换后又回到原位是解题的关键．9. 命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误【答案】C【解析】【分析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【详解】解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限循环小数，以及整数，大前提是错误的，得到的结论是错误的，在以上三段论推理中，大前提错误故选：．【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．10. 下面四个推理不是合情推理的是（）A. 由圆的性质类比推出球的有关性质B. 由三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是，归纳出凸n边形的内角和是C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和是【答案】C【解析】【分析】根据合情推理包括类比推理与归纳推理，合情推理的结论不一定正确，对选项中的命题进行分析、判断即可得出结论．【详解】解：对于A，由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，属于合情推理；对于B，由三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，得出凸边形内角和是，是归纳推理，为合情推理；对于C，某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分，是由特殊到特殊的推理过程，故C不是合情推理；对于D，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，推出所有三角形的内角和都是，是归纳推理，属于合情推理；故选：．【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理的应用问题，合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确；在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性11. 命题“对于任意角θ，”的证明：“”，其过程应用了A. 分析法B. 综合法C. 综合法、分析法综合使用D. 间接证法【答案】B【解析】【分析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论．【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A. （–∞，1）B. （–∞，–1）C. （1，+∞）D. （–1，+∞）【答案】B【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每小题5分）13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______．【答案】37，f(n)=3n2-3n+1【解析】解：（1）由于f（2）-f（1）=7-1=6，f（3）-f（2）=19-7=2×6，f（4）-f（3）=37-19=3×6，所以f（4）=37f（5）-f（4）=61-37=4×6，因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n2-3n+115. 三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为___________.【答案】三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【解析】【分析】本题运用类比推理直接得到答案即可.【详解】根据类比推理，可以直接推出原来三角形的性质为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.故答案为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【点睛】本题考查类比推理，基础题.16. 已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将代入进行整体代换和合理拆项得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出的取值范围.【详解】解：由题意知，两个正数，满足，则，则，当时取等号，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 计算:（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】直接利用复数的乘除运算法则以及复数单位的幂运算化简求解即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．18. 已知数列中，.（1）求；（2）归纳猜想通项公式.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由分别代入递推关系，即可得答案；（2）根据前几项的特点，分母为，即可得答案；【详解】（1）当时，，当时，，当时，；（2）根据数列前几项的特点可得：；【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的项、不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.19. 己知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.【详解】（1）由题意得：，，又，在处的切线方程为，即.（2）由（1）知：，当时，；当时，；的单调递减区间为，.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.20. 已知，求证：至少有一个不大于.【答案】见解析【解析】【分析】至少有一个不大于可反设都大于，运用均值不等式及同向不等式相加的性质即可推出矛盾.【详解】假设。

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题 Word版含答案

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题 Word版含答案

绝密★启用前2019～2020学年度第二学期高二年级阶段检测数 学注意事项：本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟，考试形式为在线考试。

一、单项选择题：本题共17小题，每小题5分，共85分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数(2)i i -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ． 2 C ．12i + D ．2-2．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ）A ．43B ． 34C ．34AD ．34C3．函数2x y e -=的导数为（ ） A ．2'x y e -=B ． 1'ln(2)y x =-C ．2'2x y e -=-D ．21'(2)x y x e --=-4．若直线y x b =-+为函数1y x =图像的切线，则它们的切点的坐标为（ ）A ．(1,1)B ． (1,1)--C ．2或2-D ．(1,1)或(1,1)--5．已知i 是虚数单位，R n m ∈,且(1)m i ni +=，则2020()m ni m ni+=-（ ） A ．i B ． i - C ．1 D ． 1-6．从5名男医生和5名女医生中选3人组队参加援汉志愿者医疗队，其中至少有一名女医生入选的组队方案数为（ ） A ．180 B ．110 C ．100 D ．1207．函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．()0,1D ． ()0,+∞8． 若456,,n n n C C C 成等差数列，则n 值为（ ） A ．14 B ．12 C ．10 D ．89．徐州市政有五项不同的工程被三个公司中标，每项工程有且只有一个公司中标，且每个公司至少中标一项工程，则共有（ ）种中标情况． A ．100 B ．53C ．180D ．15010．设复数z 满足条件1z =，那么z i +的最大值是（ ）A ．4B ．16C ．2D ．11．已知不等式21ln 02x a x +>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ． 0e a -<≤ C ．a e >- D ．0a ≤12．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ）A ．54B ． 50C ．60D ． 5813．满足123232020nn n n n C C C nC ++++<L 的最大自然数n =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1014．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A ．462 B ． 126 C ．210 D ．132 15．设实部为正数的复数z ，满足10||=z ，且复数(12)i z +在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，若)(1R m iim z ∈+-+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．6-C ．10-D ．5-16． 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =有极值10，则a b +=（ ） A ．0 B ．0或7- C ．7- D ．717．设][x 表示不超过x 的最大整数（如2]2[=，1]45[=），对于给定的*N n ∈，定义)1][()1()1][()1(+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-=x x x x x n n n C x n ，[)+∞∈,1x ；当[)4,3∈x 时，函数x C 8的值域是（ ）A ．()12,58B ．()14,56C ．(]12,58D ．(]56,14二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二物理下学期开学收心检测试题(含答案)

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二物理下学期开学收心检测试题(含答案)

A．Va＞Vb，Ta＞Tb C．Va＜Vb，Ta＜Tb 3．下列说法不正确的是
B．Va＞Vb，Ta＜Tb D．Va＜Vb，Ta＞Tb
A．当一定量的气体吸热时，其内能可能减小
B．单晶体有固定的熔点，多晶体和非晶体都没有固定的熔点
C．一定量的理想气体在等温变化的过程中，随着体积减小，气体压强增大
D．已知阿伏加德罗常数、气体的摩尔质量和密度，可估算出该气体分子间的平均距离
16．（10 分）如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”（图 中 O 点），然后用横截面为等边三角形 ABC 的三棱镜压在这个标记上，小 标记位于 AC 边上．D 位于 AB 边上，过 D 点作 AC 边的垂线交 AC 于 F．该 同学在 D 点正上方向下顺着直线 DF 的方向观察．恰好可以看到小标记的 像；过 O 点作 AB 边的垂线交直线 DF 于 E；DE＝2 cm，EF＝1 cm．求三棱
③在南京大学做探究的同学还利用计算机绘制了当地两种单摆的振动图象（如图乙），由 图可知，两单摆摆长之比 La ＝________． Lb
15．（10 分）如图所示，按下压水器，能够把一定量的外界空气，经单向进气口 压入密闭水桶内．开始时桶内气体的体积 V0＝8.0 L．出水管竖直部分内外 液面相平，出水口与大气相通且与桶内水面的高度差 h1＝0.20 m．出水管内 水的体积忽略不计，水桶的横截面积 S＝0.08 m2．现压入空气，缓慢流出了 V1＝2.0 L 水．求压入的空气在外界时的体积 ΔV 为多少？已知水的密度 ρ＝1.0×103 kg/m3，外界大气压强 p0＝1.0×105 Pa，取重力加速度大小 g＝10 m/s2，设整个过程中气体可视为理想气体，温度保持不变．
18．（14 分）如图所示，一劲度系数为 k 的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接，小球的质量为 m，小球静止于 O 点．现将小球拉到 O 点下方距离为 A 的位置，由静止释放，此后运动过程中 始终未超过弹簧的弹性限度．规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点．以平衡位置 O 为坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系 Ox．忽略空气阻力的影响． （1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题： ①求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量 s； ②证明小球做简谐运动； （2）从教科书中我们明白了由 v－t 图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能 的学习，我们理解了重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力 做功与重力势能变化量之间的关系。图象法和比较法是研究物理问题的重要方 法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题： ①小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为 x 时，证明系统具有的重力势 1 能 EpG 和弹性势能 Ep 弹的总和 Ep 的表达式为 Ep＝2kx2； 1 ②求小球在振动过程中，运动到平衡位置 O 点下方距离为 2A 时的动能 Ek．并 根据小球运动过程中速度 v 与相对平衡位置的位移 x 的关系式，画出小球运动的全过程 中速度随振动位移变化的 v－x 图象．

徐州一中2019-2020学年度高二第一次调研测试数学试卷

徐州一中2019-2020学年度高二第一次调研测试数学试卷

绝密★启用前徐州市第一中学 2021届高二第一次调研测试 Z -DE 新高考研究中心数 学测试范围：常用逻辑用语、平面解析几何、空间向量与立体几何、导数及其应用、复数、计数原理（部分内容：两个基本计数原理、排列与组合）（基于旧课程）注意事项：本试卷共4页，包括单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13～16题，共20分）、简答题（第17～22题，共70分），满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．为美化环境，从黄、白、红、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率为A ．12B ．13C ．56D ．232．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a b 的值为A ．12B ．1C ．2D ．43．命题p ：“a ＞1”是命题q ：“函数f (x )＝ax ＋cos x 在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知f (x )＝log a x (a ＞1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则A ，B ，C 的大小关系为A ．C ＞B ＞A B ．C ＞A ＞B C ．B ＞A ＞CD ．A ＞B ＞C5．已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．22D ．236．如图1，在等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，BC ＝2，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，D为线段BM 上一个动点（异于两端点），△ABD 沿AD 翻折至B 1D ⊥DC ，点A 在平面B 1CD 上的投影为点O ，当点D 在线段BM 上运动时，以下说法不正确的是图1A ．线段NO 为定长B ．∠AMO ＋∠B 1DA ＞180°C ．CO ∈(1，2)D ．点O 的轨迹是圆弧 7．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A ．2＋ln 2B ．2－ln 2C ．2＋2ln 2D ．2－2ln 28．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为A ．120B ．240C ．360D ．480二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题(含解析)_1

2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题(含解析)_1

2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝∴A∩B＝故选D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A. 800B. 1 000C. 1 200D. 1 500【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．故选：C.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题．3.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A. 2B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.4.函数f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为，排除D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.【详解】因为β＜α，所以，所以，，又因为cos（α﹣β），sin（α+β），所以，则sin2β.故选：D【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D取的中点，连接，因为三棱锥的所有棱长都相等，分别是棱的中点，所以，所以是异面直线与所成的角，设三棱锥的所有棱长为，则，，所以，所以异面与所成的角的余弦值为．点睛：本题考查了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，则Sn最大时，n的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】根据数列{an}是等差数列，利用性质有，再根据，a10S21＜0，确定再求解.【详解】因为数列{an}是等差数列，所以，因为首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，所以，所以.所以n的值为10.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在△ABC中，，若，则λ+μ＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】△ABC中，根据，有，再由，利用待定系数法求解.【详解】在△ABC中，因为，所以，又因为，所以，所以λ+μ＝.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10.已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（）A. 12B.C. 15D. 10+2【答案】B【解析】【分析】由a＞0，b＞0且2，利用“1”的代换，将3a+b转化为利用基本不式求解.【详解】已知a＞0，b＞0且2，则3a+b=（3a+b）=，当且仅当且2，即取等号，所以3a+b的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④由（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；故选C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.12.已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.详解】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点，因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:不妨设当直线过时，的值分别为与1，由图可知，时直线与的图象有三个交点，时, 方程有三个不相等的实数根,同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是；【答案】【解析】【详解】试题分析：如图所示，半径为的圆中，是正三角形，其边长为.显然，当点落在弧上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是．考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．【答案】【解析】【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【详解】如图：在平行四边形ABCD中，取的中点O，则，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①；②；③f（x）的单调递增区间是；④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____【答案】①②④【解析】【分析】先转化f（x）＝asin2x+bcos2x，根据f（x）对一切x∈R恒成立，得到是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为，①由相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于对称.③根据是f （x）的最大值或最小值结合单调性判断.④由f（x）是奇函数，f（x）是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.【详解】设f（x）＝asin2x+bcos2x，因为f（x）对一切x∈R恒成立，所以是f（x）的最大值或最小值.又因为f（x）的周期为，①为四分之一个周期，所以，故正确.②因为，关于对称，所以，故正确.③若是f（x）的最大值，则；f（x）的单调递减区间，故错误.④由，所以函数不可能转化为f （x）或f（x）的形式，所以函数y＝f （x）既不是奇函数也不是偶函数，故正确.⑤若存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则直线与横轴平行且，不成立，故错误.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（共六题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．【答案】（1），s2；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，利用平均数和方差的公式求解.（2）先明确是古典概型，用列举法将总的基本事件数列出，再找出所研究事件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】（1）X＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为（8+8+9+10）＝8.75，方差为s2[2×（8﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2]；（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10；分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A1，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一件事，则C中的结果有4个，他们是：（A1，B1），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）．【点睛】本题主要考查了茎叶图和古典概型的概率，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.18.已知数列{an}满足，且．(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，判断数列是等差数列，并写出它的通项公式以及{an}的通项公式；（2）根据数列{an}的前n项和定义，利用错位相减法求出Sn；【详解】(1)证明：因an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.所以Sn＝(2n－3)2n＋3.【点睛】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，是综合性题目．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos（A）asin（B）＝0，且sinA，sinB，2sinC 成等比数列．（1）求角B；（2）若a+c＝λb（λ∈R），求λ的值．【答案】（1）B；（2）λ【解析】【分析】（1）根据bcos（A）asin（B）＝0，由诱导公式化简bsinA acosB＝0，再由正弦定理可得：sinB sinA sinAcosB再消去sinA＞0求解.（2）根据sinA，sinB，2sinC成等比数列．得到sin2B＝2sinAsinC，再由正弦定理转化为边有b2＝2ac，然后结合B ，由余弦定理求解.【详解】（1）∵bcos（A）asin（B）＝0，∴bsinA acosB＝0，∴由正弦定理可得：sinB sinA sinAcosB，由sinA＞0，可得：sinB cosB，即tanB，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵sinA，sinB，2sinC成等比数列．∴sin2B＝2sinAsinC，由正弦定理可得：b2＝2ac，∵B，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，∴解得：（a+c）2＝5ac，∵a+c＝λb（λ∈R），∴（λb）2＝5ac，解得：λ2b2＝2acλ2＝5ac，解得：λ．【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在四校锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4的正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，点E 是AD的中点，点Q是侧棱PC的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD体积；（2）求证：PA∥平面BDQ；（3）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？【答案】（1）16；（2）见解析；（3）存在，AF【解析】【分析】（1）根据底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，边长为4，求面积，再由正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，，得到平面ABCD，PE是底面上的高，然后代入体积公式求解.（2）由O是AC中点，点Q是侧棱PC的中点，根据中位线得到OQ∥PA，再利用线面平行的判定理证明.（3）建立空间直角坐标系，设在线段AB上存在点F，且，求得相应点的坐标，进而得到向量的坐标，再利用直线PF与平面PAD所成的角为30°，代入线面角的向量法公式求解.【详解】（1）如图所示：连结PE，BE，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4，∴S四边形ABCD＝AD×BE＝48，又因为正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，所以平面ABCD，又PE2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积：VP﹣ABCD16．（2）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OQ，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点Q是侧棱PC的中点，∴OQ∥PA，∵PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，∴PA∥平面BDQ．（3）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），设在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，且F（a，b，c），，即（a﹣2，b，c）＝（﹣2λ，2，0），λ∈[0，1]，即a＝2﹣2λ，b＝2λ，c＝0，∴F（2﹣2λ，2，0），因为平面PAD的法向量（0，1，0），（2﹣2，﹣2），且直线PF与平面PAD所成的角为30°，∴sin30°，解得，符合λ∈[0，1]，∴AF＝λAB．∴在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，且AF．【点睛】本题主要考查了几何体的体积，线面平行的判断定理和空间向量法研究线面角问题，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.21.已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第一象限．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于不同两点、，且，求实数的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题得和，解方程即得圆的方程；（Ⅱ）取的中点，则，化简得，即得m的值.【详解】（Ⅰ）由，得圆的圆心为，圆关于直线对称，①．圆的半径为，②又圆心在第一象限，，，由①②解得，，故圆的方程为．（Ⅱ）取的中点，则，，，即，又，解得．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数f（x），x∈R．（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围；（3）当a＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）a；（2）（]；（3）（，log4]【解析】【分析】（1）根据f（x）是偶函数，有f（﹣x）＝f（x），得log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax化简求解.（2）由a＞0，结合对数函数和一次函数的单调性，得到函数f （x）＝log2（2x+1）+ax是增函数，然后利用单调性的定义，将不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0，转化为sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立，利用三角函数的性质求解.（3）根据题意，有 f（0）＝1，将方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1，转化为f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．再利用函数的单调性，转化为变形为：1og4a，通过函数g（x）的图象与y＝a有2个交点求解.【详解】（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f （x），则有log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax，变形可得2ax＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝﹣x，解得a；（2）当a＞0时，函数y＝log2（2x+1）和函数y＝ax都是增函数，则函数f（x）＝log2（2x+1）+ax为增函数，∵不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0，所以f（）≥f （4+t）对任意的x∈恒成立∴sinx cosx≥4+t，对任意的x∈恒成立；∴t≤2sin（x）﹣4对任意的x∈恒成立；∴t≤（2sin（x）﹣4）min，x∈；由x∈，得x∈[]，∴当x时，sin（x）﹣4的最小值为4；∴t；故t的取值范围为（]．（3）根据题意，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax，有f（0）＝1，则f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1即f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．又由当a＞0时，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax增函数，则有f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）＝0，即log2（2x+1）﹣1og4（2x﹣1）＝a，变形可得：1og4a，设g（x）＝1og4，若方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，对于g（x）＝1og4，设h（x），则h（x）（2x﹣1）4．又由1≤x≤2，则1≤2x﹣1≤3，则h（x）min＝8，h（1）＝9，h （2），则h（x）max＝9，若函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，必有log48a≤log4，故a的取值范围为（，log4]．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝∴A∩B＝故选D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A. 800B. 1 000C. 1 200D. 1 500【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．故选：C.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题．3.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A. 2B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.4.函数f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为，排除D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.【详解】因为β＜α，所以，所以，，又因为cos（α﹣β），sin（α+β），所以，则sin2β.故选：D【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中点，连接，因为三棱锥的所有棱长都相等，分别是棱的中点，所以，所以是异面直线与所成的角，设三棱锥的所有棱长为，则，，所以，所以异面与所成的角的余弦值为．点睛：本题考查了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，则Sn最大时，n 的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】根据数列{an}是等差数列，利用性质有，再根据，a10S21＜0，确定再求解.【详解】因为数列{an}是等差数列，所以，因为首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，所以，所以.所以n的值为10.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在△ABC中，，若，则λ+μ＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】△ABC中，根据，有，再由，利用待定系数法求解.【详解】在△ABC中，因为，所以，又因为，所以，所以λ+μ＝.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10.已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（）A. 12B.C. 15D. 10+2【答案】B【解析】【分析】由a＞0，b＞0且2，利用“1”的代换，将3a+b转化为利用基本不式求解.【详解】已知a＞0，b＞0且2，则3a+b=（3a+b）=，当且仅当且2，即取等号，所以3a+b的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④由（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；故选C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.12.已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.详解】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点，因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:不妨设当直线过时，的值分别为与1，由图可知，时直线与的图象有三个交点，时, 方程有三个不相等的实数根,同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是；【答案】【解析】【详解】试题分析：如图所示，半径为的圆中，是正三角形，其边长为.显然，当点落在弧上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是．考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．【答案】【解析】【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【详解】如图：在平行四边形ABCD中，取的中点O，则，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①；②；③f（x）的单调递增区间是；④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____【答案】①②④【解析】【分析】先转化f（x）＝asin2x+bcos2x，根据f（x）对一切x∈R恒成立，得到是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为，①由相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于对称.③根据是f（x）的最大值或最小值结合单调性判断.④由f （x）是奇函数，f（x）是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.【详解】设f（x）＝asin2x+bcos2x，因为f（x）对一切x∈R恒成立，所以是f（x）的最大值或最小值.又因为f（x）的周期为，①为四分之一个周期，所以，故正确.②因为，关于对称，所以，故正确.③若是f（x）的最大值，则；f（x）的单调递减区间，故错误.④由，所以函数不可能转化为f（x）或f（x）的形式，所以函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故正确.⑤若存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则直线与横轴平行且，不成立，故错误.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（共六题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．【答案】（1），s2；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，利用平均数和方差的公式求解.（2）先明确是古典概型，用列举法将总的基本事件数列出，再找出所研究事件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】（1）X＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为（8+8+9+10）＝8.75，方差为s2[2×（8﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2]；（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10；分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A1，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A4，B4），。

江苏省徐州一中2019_2020学年高二数学下学期第四次线上检测试题

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江苏省徐州一中2019-2020学年高二数学下学期第四次线上检测试题一、选择题（本题共10小题，每小题 5 分，共 50 分．） 1．在()81x +的展开式中，含2x 项的系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．82．设()62601262x a a x a x a x L -=++++，则126a a a ++⋯+的值是（ ） A ．665B ．729C ．728D ．633．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24B ．18C ．12D ．94．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-105．以圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ） A ．76 B ．78 C ．81 D ．846．某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ） A ．24种B ．36种C ．48种D ．56种7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） A ．60B ．72C ．84D ．968．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+， ⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素的个数为 ( )A ．60B ．100C ．120D ．13010．（多选题）对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.二、填空题（本题共4小题，每小题 5 分，共20分．12题两空分别得2,3分）11．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A B +发生的概率为________（B 表示B 的对立事件）．12．市内某公共汽车站有7个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答） 13．已知()()()()()2962100201210011111x x a a x a x a x -+=+++++⋯++，则210012100222a a a ++⋯+=_________． 14．化简022436201820182018201820181(3332C C C C -+-10082016100920182018201833)=C C +⋅⋅⋅+- ． 三、解答题（本题共2小题，每小题15 分，共 30 分．） 15．已知数列{}n a 满足11a k=，*2k k N ≥∈，，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1.61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T .①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，求4T ； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，求n T ．16．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x +++， *n N ∈．记()021nn n k k T k a -==∑+．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．周练4参考答案1．在()81x +的展开式中，含2x 项的系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．8 【答案】A【解析】试题分析： ()81x +的展开式的通项公式为： 18r r r T C x +=，所以含2x 项的系数为. 考点：二项式定理.2．设()62601262x a a x a x a x L -=++++，则126a a a ++⋯+的值是()n nA ．665B ．729C ．728D ．63【答案】A 【解析】分析：由二项式定理可知0246,,,a a a a 均为正数，135,,a a a 均为负数，可得012a a a ++660123456(21)729a a a a a a a a ++=-+-+-+=+=L 把1,0x x =-=代入已知式子计数可得结果．详解：因为6260126(2)x a a x a x a x -=++++L ，由二项式定理可知0246,,,a a a a ，均为正数，135,,a a a 均为负数，令1x =-时，601260123456(21)729a a a a a a a a a a a ++++=-+-+-+=+=L当0x =时，60264a ==，所以126665a a a L +++=故选A ．点睛：本题主要考查了二项展开式的系数和的问题，其中恰当的赋值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 【答案】B 【解析】解：从E 到F ，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C 42C 22＝6种走法．同理从F 到G ，最短的走法，有C 31C 22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法． 故选B ．4．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D.5．以圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ） A ．76 B ．78 C ．81 D ．84 【答案】A 【解析】圆的方程化成标准形式，得(x −1)2+(y −1)2=3 ∴圆心C(1,1),半径3满足横坐标与纵坐标均为整数的点，且在圆内的点有 (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)， (2,0),(2,1),(2,2)共9个点9个点中任取3个,共有3984C =种取法，其中三点共线的情况共有8种∴这9个点能构成三角形的个数为84−8=76个 本题选择A 选项.6．某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．56种 【答案】C 【解析】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的5个位子有顺序的就坐，坐法有3560A =种，因为连续空座至多有2个，所以出现连续3个空座的情况为最左端的3个为空座，甲、乙、丙三人坐在第4、5、6个位子上，第7个位子是最右端，只能空着，则这种情况为336A =，同理，连续3个空座的情况为最右端的3个为空座，这种情况为336A =，所以，满足要求的坐法有3353248A A -=种.故选：C.7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A ．60 B ．72 C ．84 D ．96 【答案】C 【解析】根据题意，可分三种情况讨论：①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有122C =种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序222A =种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有222312A A ⨯=种安排方法，此时有221248⨯⨯=种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体， 小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有224⨯=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A =种情况，此时有22624⨯⨯=种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有222A =种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A =种情况，此时，共有2612⨯=种不同坐法；综上所述，共有48241284++=种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。

2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理科)试题Word版含解析

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2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则等于（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]3．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）4．已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．a C．D．3a5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为（）A．B．C．D．6．已知图甲是函数f（x）的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（）A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（﹣|x|）7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．已知，且，则=（）A．B．C． D．9．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．311．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④12．定义在上的函数f（x），f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ．14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是．15．已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= ．16．设G是△ABC的重心，且，则角B的大小为．三．解答题（共70分）17．（10分）在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．18．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x ＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．20．（12分）如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．21．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．22．（12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k ＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理科）试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则等于（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由复数z求出，然后代入计算得答案．【解答】解：由z=1+i，得，则=﹣i•（1+i）+i（1﹣i）=2．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2]，∴A∩B=[﹣2，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由“x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0”可等有“x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（﹣∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为减函数，由n+1＞n＞n﹣1＞0，可得结论．【解答】解：x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0∴x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（﹣∞，0]为增函数∵f（x）为偶函数∴f（x）在（0，+∞）为减函数而n+1＞n＞n﹣1＞0，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1）∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）故选C．【点评】本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．4．已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．a C．D．3a【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的几何性质可得焦点坐标以及渐近线的方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点坐标为F（±2，0），其渐近线方程为：y=±x，设F（±2，0）到渐近线y=±x的距离d==，故选A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，计算出焦点坐标以及渐近线的方程．5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=24=16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两所大学都有考生参观的概率．【解答】解：高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n=24=16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，∴甲、乙两所大学都有考生参观的概率：p=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．已知图甲是函数f（x）的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（）A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（﹣|x|）【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】根据图乙的对称性和两图象的相似性得出答案．【解答】解：设图乙对应的函数为g（x），由图象可知当x＜0时，g（x）=f（x），当x≥0时，g（x）=g（﹣x）=f（﹣x），∴g（x）=f（﹣|x|），故选C．【点评】本题考查了函数图象的变换，属于中档题．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】EF：程序框图；E9：程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．8．已知，且，则=（）A．B．C． D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sin α，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．【解答】解：因为，所以，解得tanα=，因为，所以sinα=﹣；====．故选A【点评】本题是基础题，考查两角和的正切公式的应用，三角函数的表达式的化简求值，考查计算能力，注意角的范围，三角函数的值的符号的确定，以防出错．9．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题11．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【分析】本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．【解答】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C【点评】本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．12．定义在上的函数f（x），f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，则（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系判断函数g（x）的单调性即可．【解答】解：定义在上的函数f（x），恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，即f（x）•sinx+f'（x）cosx＜0，设g（x）=，则g′（x）==＜0，则函数g（x）在上单调递减，则g（）＜g（），即＜，即，故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ﹣1 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据x2产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a．【解答】解：因为（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则=5，即10+5a=5，解得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确x2项产生的可能，计算系数．14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是21 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】可以看到第三行起每一行空心圆点的个数都是前两行空心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可．【解答】解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{an}表示空间心圆点的个数变化规律，令a 1=1，a2=0，n≥3时，an=an﹣1+an﹣2，本数列中的n对应着图形中的第n行中空心圆点的个数．由此知a10即所求．故各行中空心圆点的个数依次为1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，．．a10=21，即第10行中空心圆点的个数是21故答案为：21．【点评】本题主要考查了数列的应用，解题的关键构造这样一个数列{an}表示空间心圆点的个数变化规律，令a1=1，a2=0，n≥3时，an=an﹣1+an﹣2，属于中档题．15．已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= 2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据夹角相等列出方程解出m．【解答】解： =（m+4，2m+2）. =m+4+2（2m+2）=5m+8， =4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴ =，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的夹角公式，数量积运算，属于基础题．16．设G是△ABC的重心，且，则角B的大小为60°．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再根据G为三角形重心，利用中线的性质及向量法则变形，求出a，b，c，利用余弦定理表示出cosB，即可确定出B的度数．【解答】解：∵G是重心，∴，∴，∵，∴（﹣）sinA+3sinB+3sinC=，∴（3sinB﹣sinA）+（3sinC﹣sinA）=，∵，不共线，∴3sinB=sinA=3sinC，∴3b=a=3c，设3b=a=3c=k，k＞0，则a=，b=，c=，∴cosB===，0°＜B＜180°∴B=60°．故答案为：60°．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共70分）17．（10分）（2016秋•江岸区校级期末）在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，∴落在[59.5，69.5）的第二小组的小长方形的高h==0.04，则补全的频率分布直方图如图所示：（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人∵第二小组的频数为40人，频率为0.4，∴=0.4，解得x=100，所以这两个班参赛的学生人数为100人．因为0.3×100=30，0.4×100=40，0.15×100=15，0.1×100=10，0.05×100=5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．【点评】本题考查了频率分布直方图、中位数的概念和画统计图的能力．18．（12分）（2016秋•江岸区校级期末）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；2K：命题的真假判断与应用；33：函数的定义域及其求法．【分析】利用对数函数的定义域是R求得p真，不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，求出q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．【解答】解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，∴ax2﹣x+a＞0恒成立，⇒解得a＞1；∵命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，令g（x）=3x﹣9x，∵g（x）=3x﹣9x=﹣（3x﹣）2+＜0，∴a≥0．∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，∴命题p与命题q一真一假．若p真q假，则a∈∅；若p假q真，即，则0≤a≤1．综上所述，实数a的取值范围：[0，1]．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求得分别求得p真与q真时x的范围是关键，突出考查函数恒成立问题，属于中档题．19．（12分）（2014秋•湖北期末）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．【考点】CF：几何概型；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求【解答】解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以，所求概率为．…（12分）【点评】本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解，属于基本方法的简单应用20．（12分）（2014•蓟县校级二模）如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）四棱锥P﹣ABCD的体积V=，由此能求出结果．（2）连结AC，由已知条件条件出BD⊥AC，BD⊥PC，从而得到BD⊥平面PAC，不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，由此能证明BD⊥AE．（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣C的正切值．【解答】（1）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，PC=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积：V===．（2）证明：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴BD⊥AE．（3）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），∴，，设平面PBD的法向量，则，取x=2，得，由题意知，设二面角P﹣BD﹣C的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞==，∴tanθ=2．∴二面角P﹣BD﹣C的正切值为2．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2016春•遵义期末）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【考点】K7：抛物线的标准方程；KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得 k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系．22．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知： =∴=，∴a2=4b2．…（2分）又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…（3分）故所求椭圆C的方程为…（4分）（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…（7分）所以四边形AEBF的面积为==…（9分）===，…（11分）当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．。

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、选择题1.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合求出，再利用集合的交集运算即可得.【详解】，，故选：D【点睛】本题考查了集合的补集以及集合的交集运算，属于容易题.2.如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及算数的性质即可得.【详解】由题意得：，因为复数是实数，所以解得故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于容易题.3.若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】命题“”为假命题的判断，是这两个命题至少有一个假命题，命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，则前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以可得出结论.【详解】因为命题“”为假命题的判断，则可得这两个命题至少有一个假命题，又因为命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，所以前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以前者是后者的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了和真假命题判断，以及充分条件和必要条件的判断，属于较易题.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的函数的单调性以及对数的运算性质即可得.【详解】因为，，，，所以故选：C【点睛】本题考查了对数函数的单调性，以及对数的运算性质，属于较易题.5.若tan+=4,则sin2=A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为，所以..【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等6.设为一次函数，若，且成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据题意求出的表达式，则是以公差为2的等差数列，即可得到此等差数列的前项的和.【详解】设，因为得，又因为成等比数列，所以有：，解得：，所以，则故选：C【点睛】本题考查了等差数列的前项的和，考查了学生的计算能力，属于较易题.7.已知定义在上的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【分析】由题意可得在上单调递增，再对不等式进行移项和奇函数的定义得到，再利用函数的单调性求解即可.【详解】因为时，单调递增，且在上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以即，解得：故选：B【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质以及利用单调性求解抽象函数的不等式，属于较难题.8.已知点满足，，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意画出可行域，目标函数，根据可行域求出目标函数的最大值即可.【详解】因为点满足，所以点的可行域（如图）目标函数，由图可得，当目标函数经过时达到最大值10故选：A【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及线性规划求目标函数的最值，属于一般题.9.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三视图还原几何体是直四棱柱被平面截去一个三棱锥的几何体，再结合三视图所给的数据，即可求出几何体的体积.【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截去一个三棱锥所得，（如图），其中点为的中点，所以几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，再根据这个几何体求出体积，考查了学生的计算能力和空间想象能力，属于较难题.10.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意先对实数满足进行化简可得：，再分情况讨论判断函数的单调性以及函数的对称性即可得出.【详解】因实数满足，化简可得，且过点，，当时，为增函数，再根据函数图像关于对称得到函数图象为B选项的图像.故选：B【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性来判断函数的大致图像，关键在于判断函数的图像是关于对称，属于一般题.11.a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )A. －4或1B. 1C. 4D. 4或－1【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列通项公式分别表示出进而分别看成等比数列，成等比数列和成等比数列时，利用等比中项的性质，得和和进而求得和的关系．【详解】根据题意，若成等比数列，则，得到与条件矛盾；若成等比数列，则（，得到则若成等比数列，则，则若成等比数列，则，得到与条件矛盾综上所述：或故选A．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．属中档题.12.已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③①②代入③得：||=，即，所以，所以．考点：本题考查椭圆的基本性质；椭圆的离心率；直线的斜率公式．点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题13.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【答案】【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.故答案为.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．14.在平面四边形，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件利用向量的加法把转化为，再代入即可.【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了向量的加法以及数量积的运算，属于较易题.15.已知直线交圆于两点，则弦长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得：圆的圆心，半径，当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，利用勾股定理求出弦长的最小值.【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径，所以当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，因为，，所以，半径，所以有故答案：【点睛】本题考查了求圆内弦长的最值，关键是需要判断什么情况下弦长取到最小值，属于一般题.16.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意有分母和（常数），所以把乘上1再化简成后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为（常数），所以，当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，关键巧用“1”的乘积，属于一般题.三、解答题17.（1）已知定义在上的函数的最小值为，求的值；（2）若为实数，求证：.【答案】(1)3；(2)见解析；【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值的三角不等式即可求出函数的最小值；(2)先对不等式两边同时乘以2，再利用基本不等式即可证明.【详解】(1)因为函数，所以有：当时等号成立，即函数的最小值；(2)，则有，即证【点睛】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值，以及利用基本不等式证明不等式，属于一般题.18.函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，（1）试求函数的解析式；和其单调递增区间；（2）为的内角，满足，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意利用最小正周期求出的值，再利用图像变换后为奇函数和求出的值即可求出函数的解析式；再以整体代入法求出单调递增区间；(2)由求出，再利用正弦定理把边转化成角，求出三角函数的取值范围即可.【详解】解：∵，∴又为奇函数，，∴∴∴单调递增区间为（2）∵，，∴，，∴，由正弦定理得，即：，，∴又，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及图像变换，利用正弦定理把边转化成角求两边和的取值范围，属于一般题.19.数列的前项和记为，，点在直线上，.（1）当实数为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)由题意得点在直线上，可得到数列的前项和与的关系，根据这个关系可得到，，根据已知条件求出，代入即可求出实数的值；(2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出.【详解】解：（1）∵点直线上∴，，，∴，，∴当时，，数列是等比数列.（2）在（1）的结论下，，，，，【点睛】本题考查了已知数列的前项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前项和，属于一般题.20.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，求点的坐标；（2）求证：经过（其中点为圆的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】（1）或（2）证明见解析；和【解析】【分析】(1)设，根据已知条件可得，结合和两点间的距离公式即可；(2) 设，求出经过三点的圆的方程，再对方程进行合并项，含的式子的系数为零即可求出定点坐标.【详解】解：（1）由条件可得圆的圆心坐标为，，设，则，解得，或，所以点的坐标为或.（2）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为，整理得，即.由得或∴该圆必经过定点和.【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆过定点问题，关键要求出含参数的圆的方程，属于一般题.21.如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．（1）证明：平面ACD平面；（2）若，，，试求该简单组合体的体积V．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【详解】（１）证明：∵DC平面ABC ,平面ABC ∴．∵AB是圆O的直径∴且∴平面ADC．∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC∴平面ADC又∵平面ADE ∴平面ACD平面（2）所求简单组合体的体积：∵，，∴,∴∴该简单几何体的体积22.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆，直线.试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)由题意先求出即，再根据椭圆上的点到点的最大距离为，即，结合计算即可；(2) 由圆，直线可求出圆心直线的距离，再代入弦长公式，结合根据直线与圆恒相交以及椭圆方程即可求出被圆所截得弦长的取值范围.【详解】解：（1）由，得，所以直线过定点，即.设椭圆方程，所以椭圆方程为（2）因为点在椭圆上，所以，圆心到直线的距离为所以直线与圆恒相交.又直线被圆截得的弦长为，由于，所以，则，即直线被圆截得的弦长的取值范围是.【点睛】本题考查了圆内弦长公式以及椭圆的简单性质，属于一般题.学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、选择题1.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合求出，再利用集合的交集运算即可得.【详解】，，故选：D【点睛】本题考查了集合的补集以及集合的交集运算，属于容易题.2.如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及算数的性质即可得.【详解】由题意得：，因为复数是实数，所以解得故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于容易题.3.若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】命题“”为假命题的判断，是这两个命题至少有一个假命题，命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，则前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以可得出结论.【详解】因为命题“”为假命题的判断，则可得这两个命题至少有一个假命题，又因为命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，所以前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以前者是后者的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了和真假命题判断，以及充分条件和必要条件的判断，属于较易题.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的函数的单调性以及对数的运算性质即可得.【详解】因为，，，，所以故选：C【点睛】本题考查了对数函数的单调性，以及对数的运算性质，属于较易题.5.若tan+=4,则sin2=A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为，所以..【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等6.设为一次函数，若，且成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出的表达式，则是以公差为2的等差数列，即可得到此等差数列的前项的和.【详解】设，因为得，又因为成等比数列，所以有：，解得：，所以，则故选：C【点睛】本题考查了等差数列的前项的和，考查了学生的计算能力，属于较易题.7.已知定义在上的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得在上单调递增，再对不等式进行移项和奇函数的定义得到，再利用函数的单调性求解即可.【详解】因为时，单调递增，且在上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以即，解得：故选：B【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质以及利用单调性求解抽象函数的不等式，属于较难题.8.已知点满足，，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意画出可行域，目标函数，根据可行域求出目标函数的最大值即可.【详解】因为点满足，所以点的可行域（如图）目标函数，由图可得，当目标函数经过时达到最大值10故选：A【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及线性规划求目标函数的最值，属于一般题.9.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三视图还原几何体是直四棱柱被平面截去一个三棱锥的几何体，再结合三视图所给的数据，即可求出几何体的体积.【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截去一个三棱锥所得，（如图），其中点为的中点，所以几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，再根据这个几何体求出体积，考查了学生的计算能力和空间想象能力，属于较难题.10.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意先对实数满足进行化简可得：，再分情况讨论判断函数的单调性以及函数的对称性即可得出.【详解】因实数满足，化简可得，且过点，，当时，为增函数，再根据函数图像关于对称得到函数图象为B选项的图像.故选：B【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性来判断函数的大致图像，关键在于判断函数的图像是关于对称，属于一般题.11.a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )A. －4或1B. 1C. 4D. 4或－1【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列通项公式分别表示出进而分别看成等比数列，成等比数列和成等比数列时，利用等比中项的性质，得和和进而求得和的关系．【详解】根据题意，若成等比数列，则，得到与条件矛盾；若成等比数列，则（，得到则若成等比数列，则，则若成等比数列，则，得到与条件矛盾综上所述：或故选A．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．属中档题.12.已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③①②代入③得：||=，即，所以，所以．考点：本题考查椭圆的基本性质；椭圆的离心率；直线的斜率公式．点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题13.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【答案】【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.故答案为.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．14.在平面四边形，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件利用向量的加法把转化为，再代入即可.【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了向量的加法以及数量积的运算，属于较易题.15.已知直线交圆于两点，则弦长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得：圆的圆心，半径，当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，利用勾股定理求出弦长的最小值.【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径，所以当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，因为，，所以，半径，所以有故答案：【点睛】本题考查了求圆内弦长的最值，关键是需要判断什么情况下弦长取到最小值，属于一般题.16.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意有分母和（常数），所以把乘上1再化简成后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为（常数），所以，当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，关键巧用“1”的乘积，属于一般题.三、解答题17.（1）已知定义在上的函数的最小值为，求的值；（2）若为实数，求证：.【答案】(1)3；(2)见解析；【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值的三角不等式即可求出函数的最小值；(2)先对不等式两边同时乘以2，再利用基本不等式即可证明.【详解】(1)因为函数，所以有：当时等号成立，即函数的最小值；(2)，则有，即证【点睛】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值，以及利用基本不等式证明不等式，属于一般题.18.函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，（1）试求函数的解析式；和其单调递增区间；（2）为的内角，满足，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意利用最小正周期求出的值，再利用图像变换后为奇函数和求出的值即可求出函数的解析式；再以整体代入法求出单调递增区间；(2)由求出，再利用正弦定理把边转化成角，求出三角函数的取值范围即可.【详解】解：∵，∴又为奇函数，，∴∴∴单调递增区间为（2）∵，，∴，，∴，由正弦定理得，即：，，∴又，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及图像变换，利用正弦定理把边转化成角求两边和的取值范围，属于一般题.19.数列的前项和记为，，点在直线上，.（1）当实数为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)由题意得点在直线上，可得到数列的前项和与的关系，根据这个关系可得到，，根据已知条件求出，代入即可求出实数的值；(2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出.【详解】解：（1）∵点直线上∴，，，∴，，∴当时，，数列是等比数列.（2）在（1）的结论下，，，，，【点睛】本题考查了已知数列的前项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前项和，属于一般题.20.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，求点的坐标；（2）求证：经过（其中点为圆的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】（1）或（2）证明见解析；和【解析】【分析】(1)设，根据已知条件可得，结合和两点间的距离公式即可；(2) 设，求出经过三点的圆的方程，再对方程进行合并项，含的式子的系数为零即可求出定点坐标.【详解】解：（1）由条件可得圆的圆心坐标为，，设，则，解得，或，所以点的坐标为或.（2）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为，整理得，即.由得或∴该圆必经过定点和.【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆过定点问题，关键要求出含参数的圆的方程，属于一般题.21.如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．（1）证明：平面ACD平面；（2）若，，，试求该简单组合体的体积V．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【详解】（１）证明：∵DC平面ABC ,平面ABC ∴．∵AB是圆O的直径∴且∴平面ADC．∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC∴平面ADC又∵平面ADE ∴平面ACD平面（2）所求简单组合体的体积：∵，，∴,∴∴该简单几何体的体积22.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆，直线.试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)由题意先求出即，再根据椭圆上的点到点的最大距离为，即，结合计算即可；(2) 由圆，直线可求出圆心直线的距离，再代入弦长公式，结合根据直线与圆恒相交以及椭圆方程即可求出被圆所截得弦长的取值范围.【详解】解：（1）由，得，所以直线过定点，即.设椭圆方程，所以椭圆方程为（2）因为点在椭圆上，所以，圆心到直线的距离为所以直线与圆恒相交.又直线被圆截得的弦长为，由于，所以，则，即直线被圆截得的弦长的取值范围是.【点睛】本题考查了圆内弦长公式以及椭圆的简单性质，属于一般题.。

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江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期
开学收心检测数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知是的共轭复数,则（）
D．
A．
B．C．
2. 设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于( )
D．
A．B．C．
3. 的展开式中的系数是（）
A．B．C．120 D．210
4. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（）
A．B．C．D．
5. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中（新球用完后即成旧球），此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）
A．B．C．D．
6. 凤鸣山中学的高中女生体重 (单位：kg)与身高(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）
A．与具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.
7. 已知函数，若过原点的直线l与曲线有三个交点，则直线l的斜率的取值范围为（）
D．
A．B．C．
8. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费基准保费（与道路交通事故相
交强险浮动因素和浮动费率比率表
类别浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮
下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路
上浮交通事故
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮
为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满类型
数量20 10 10 38 20 2
若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（）
A．a元B．元C．元D．元
二、多选题
9. 下列说法中不正确的是（）
A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数
B．若（）是纯虚数，则实数
C．设a，b，c，，若（）为实数，则
D．若i为虚数单位，图中复数平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是H
10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
11. 对某两名高三学生连续9次数学测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图.下列有关这两名学生数学成绩的分析中，正确的结论是（）
A．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为
130分
B．根据甲同学成绩折线图中的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内
C．乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关D．乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分
12. 下列不等式中正确的是（）
A．
C．D．
B．
三、填空题
13. 某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．
四、双空题
14. 已知函数（）的值域是，则常数______，
______.
五、填空题
15. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线
和三根阴线的概率__________．
16. 设函数, 若存在区间，使在上的值域为, 则的取值范围为_______________________.
六、解答题
17. 已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且
（i为虚数单位），||=．
（I）求的值；
（II）若的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．
18. 如图，某城市有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为．设．
（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值．
19. 中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分
平均每天锻炼
的时间/分钟
总人数20 36 44 50 40 10
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
锻炼不达标锻炼达标合计
男
女20 110
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706
3.841 5.024 6.635
20. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些
.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列.
21. 已知函数，函数，其中，是
的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
22. 绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为
50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；
（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车
中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现
正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两
格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中
，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
，，
.。

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