初中数学中点模型的构造及应用

中点模型的构造及应用

一、遇到以下情况考虑中点模型：

任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段

出现两个或三个中点考虑三角形中线定理

已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”

有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、

等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中

点的图形通常考虑用中点模型

三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1

二、中点模型辅助线构造方法分类

（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）

当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：ADC≌EDB。作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问

题。

如图，在ABC中， D 为 BC中点，延长 ED到 F 使 ED=DF，连接 CF，则有：BED≌CFD。作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法

当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，

然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在R t ABC 中， A C B 9 0， D 为AB 中点，则有：1

CD AD BD AB

2

（四）等腰三角形三线合一

当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线

合一。

在中（:1）AC= ；（2）CD平分 ACB ；（ 3）AD= ，（ 4）CD AB “知二得二”：比如由（ 2）（ 3）可得出（ 1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法

当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

如图，在ABC中，D，E分别

是AB、 AC边中点，则有DE BC ，DE=

1

BC 。

2

三、练习

（一）倍长中线法

1.（ 2014 秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．

2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点 F．

（ 1）求证：△ ADE≌△ FCE；

（ 2）若 AB＝2BC，∠ F＝ 36°．求∠ B 的度数

3.（ 2017 江西萍乡， 15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD 的中点，过点 C 作 AB 的平行线交 AE的延长线于点 F，连接 BF．

（1）求证： CF＝AD；

（2）若 CA＝CB，试判断四边形 CDBF的形状，并说明理由．

4.（ 2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交 DC的延长线于点 F．且∠ AEC＝ 2∠ABE．连接 BF、AC．

（1）求证：四边形 ABFC的是矩形；

（2）在图 1 中，若点 M 是 BF 上一点，沿 AM 折叠△ ABM，使点 B 恰好落在线段DF 上的点 B′处（如图 2），AB＝13， AC＝12，求 MF 的长．

5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E 是BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△FEC，得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断．

AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________；

（2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．

（二）倍长类中线法

1.（2016 秋?江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE ＝∠ CDE．求证： AB＝ CD．

2.（ 2017?重庆， 24）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C

是 BM 延长线上一点，连接 AC．

（1）如图 1，若AB 3 2 ，BC＝5，求AC的长；

（2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点， MD＝MC，点 E 是△ ABC外一点， EC

＝AC，连接 ED 并延长交 BC于点 F，且点 F 是线段 BC的中点，求证：∠ BDF＝

∠ CEF．

3.（2017?山西， 17）已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得 BE＝DF．连接 EF，与对角线 AC交于点 O．求证： OE＝OF．

（三）直角三角形斜边中线法

1.（ 2016?乌鲁木齐， 9）如上图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把这个直角三

角形沿 CE折叠后，使点 B 恰好落到斜边 AC 的中点 O 处，若 BC＝3，则折痕 CE

的长为（）

A.3

B.23

C.33

D.6

2. （2015?乌鲁木齐， 9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时

针旋转 120°后点 P 的对应点的坐标是（）

A．（3，1） B.（1，-3）

C.（23， 2）

D.（2，-23）