2014年华约自主招生数学试题及解答

2014年华约自主招生数学试题

1.12345,,,,x x x x x 是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.

2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是1()2

p p >,甲赢得比赛的概率是q ,求p 为多少时,q p -取得最大值.

3.函数()sin )sin()2sin (0)4

f x x x x a x b a π

=-+-+>的最大值为1,最小值为4-,求

,a b 的值.

4.(1)证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=;

(2)1()(),()()F x f x G x f x -=-=,若()G x 的反函数是()F x ,证明()f x 为奇函数.

5.已知椭圆22

221x y a b

+=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,

直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.

6.已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+.(1)若1q =,求n a ;(2)若||1,||1p q <<,求证:数列{}n a 有界.

7.已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x

n n e x n

--≤.

华约参考答案:

1.【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为123454()x x x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同

的和值只可能是46,从而有123454445464647

574

x x x x x ++++++++=

=,故这五个数

分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3p ;

若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -,因此 32323234(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,

所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,12

p >

; 设543()61510f p p p p p =-+-,1

2

p >,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221

()306030130[(21)]30

f p p p p p p p '=-+-=-+-,

所以22221()30[(1)]30(30f p p p p p p p '=--=--+, 又因为1

(,1)2p ∈,所以2p p <,

故20p p -<,

所以令()0f p '=时,

即20p p -=,

得12p =

=

±; 又因为1

(,1)2p ∈,

所以取12p =

+,

易知当11(,22p ∈+

时

,1()0,(2f p p '>∈+时,()0f p '<,

所以当12p =

+时,()f p 有唯一极大值,也是最大值. 3.【解】易知2221

()(cos sin )2sin sin 2sin 2

f x x x a x b x a x b =--+=--++,令sin t x =, 则问题等价于21

()22

g t t ax b =--++

在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-. ①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则 1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧

-=+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩

,解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩

②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则2

1()121(1)24

2g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩

,

消去b 得2240a a +-=,

解得1(0,1)a =-±,舍去.

综上①②可知,5

,14

a b ==-为所求.

4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,故

11()((()))()f x f f g y g y --==,从而111(())(())g f x g g y y ---==, 所以11(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数. (2)由()G x 的反函数是()F x ,故1(())(())G F x G G x x -==,

则()((())),f x f G F x =又因为1()()G x f x -=,所以1(())(())G F x f F x -=-,

代入得1()((())),((()))()()f x f G F x f f F x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数. 5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其

方程为2

(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b

x y a θθ

==

, 于是33

1||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a a

θ∆=⋅=

≥,

当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥,

即23123(1)(2)n n a p p p n p n -=++++-≥ (1)

①当1p =时,(1)

;2n n n a -=

当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,2

32(1)n n pa p p n p =+++- (2)

由(1)-(2)得231(1)n n n n a pa p p p p n p --=+++

+--,

所以112(1)

(1)(1)11(1)n n

n n n p p n p n p np p p

a p p -+-----+-==--,当1n =时,10a =也适合;

于是12(1)

1

2

(1)1

(1)n n

n n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩

.

(2)由1||||||||||||n n n n n n n a np qa np qa n p a +=+≤+≤+,所以1||||||n n n a a n p +-≤, 于是11||||1)||(2)n n n a a n p n ---≤(-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥

故12

1

2

(1)||||||

||||2||(1)||(1||)

n n n n n p n p p a p p n p p +---+≤++

+-=-,